7．4 数学建模活动：周期现象的描述
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．(文化情境命题)我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，2021年是牛年，那么1949年是( )
A．牛年 B．虎年
C．兔年 D．龙年
2．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的运动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
3．已知简谐运动y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0，)，则该简谐运动的频率和初相是( )
A.，B．，
C．， D．，
4．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)表示血压，t为时间(单位：分)，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos [(x－6)](x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温为________ ℃.
6．如图，某港口某天6时到18时的水深(单位：m)变化曲线近似符合函数y＝4sin (x＋φ)＋k的部分图象，则这段时间水深的最大值为________ m.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车平面图，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)(t≥0，ω>0，|φ|<).则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
8．已知国际油价在某一段时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin (ωπt＋)＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150时，油价最低，则ω的最小值为________．
9．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin (100πt－)，t∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行________次(从最大值到相邻最大值算一次往复).
10．(文化情境命题)干支纪年历法(农历)是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f(x)＝sin ＋cos 3x的最小正周期为( )
A．15π B．12π
C．6π D．3π
11．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin (x－)＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin (x－)(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin (x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N*)
12．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝A sin (ωt＋φ)，ω>0，0<φ<，函数图象如图所示，则φ＝________．
13．(数学建模)如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d(米)(在水平面以下d为负数)与时间t(秒)满足函数关系式d＝A sin (ωt＋φ)＋1(A>0，ω>0，|φ|<)，则函数关系式为____________．
14．建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．下图是该市夏季一天的气温(单位：℃)随时间(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，若该曲线可以近似地看作函数y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A＞0，ω>0，|φ|<π)的部分图象．
(1)求函数y＝f(t)的表达式；
(2)请根据(1)中的结论，判断该商场的中央空调应在何时开启，何时关闭．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.某景区内的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份及以上的食物？
7．4 数学建模活动：周期现象的描述
必备知识基础练
1．答案：A
解析：2021－1949＝72，72÷12＝6，所以1949年是牛年．
2．答案：D
解析：由题中图象及简谐运动的有关知识知，T＝0.8s，振幅为5cm.当t＝0.1s或0.5s时，速度为零．质点在0.3s和0.7s时位于平衡位置，位移为零．
3．答案：B
解析：由题意可知A＝，32＋＝52，则T＝8，ω＝＝，∴y＝sin (x＋φ).由图象过点(0，)得sinφ＝，∴sinφ＝，∵|φ|<，∴φ＝，因此频率是，初相为，故选B.
4．答案：C
解析：由f(t)＝24sin160πt＋110，可得函数的最小正周期为T＝＝，所以此人每分钟的心跳次数为＝80，故选C项．
5．答案：20.5
解析：由题意得∴∴y＝23＋5cos [(x－6)].当x＝10时，y＝23＋5×＝20.5.
6．答案：10
解析：由题图可知，这段时间水深(单位：m)的最小值为－4＋k＝2，解得k＝6.故这段时间水深的最大值为4＋k＝10(m).
关键能力综合练
7．答案：ABD
解析：由题意，R＝＝6，T＝＝60，∴ω＝.又当t＝0时，y＝f(t)＝－3，∴6sinφ＝－3.∵|φ|<，∴φ＝－，A项正确；f(t)＝6sin (t－)，当t∈[35，55]时，t－∈[π，]，∴点P到x轴的距离的最大值为6，B项正确；当t∈[10，25]时，t－∈[，]，函数y＝f(t)不单调，C项错误；当t＝20时，t－＝，点P的纵坐标为6，横坐标为0，故|PA|＝＝6，D项正确．故选ABD.
8．答案：
解析：由A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为.
9．答案：25
解析：据I＝5sin (100πt－)知ω＝100πrad/s，该电流的周期为T＝＝＝0.02s，则这种交流电电流在0.5s内往复运行次数为n＝＝＝25(次).
10．答案：C
解析：函数f(x)＝sin＋cos3x的最小正周期相当于函数y＝sin的最小正周期＝3π与函数y＝cos3x的最小正周期的“最小公倍数”，故为6π.
11．答案：A
解析：由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8.又ω>0，则ω＝，f(x)＝2sin (x＋φ)＋7.∵当x＝3时，y＝9，∴2sin (＋φ)＋7＝9，即sin (＋φ)＝1.∵|φ|<，∴φ＝－.∴f(x)＝2sin (x－)＋7(1≤x≤12，x∈N*)，故选A.
12．答案：
解析：根据图象，知(，0)，(，0)两点的距离刚好是个周期，所以T＝－＝，所以T＝1.又ω>0，则ω＝＝2π.因为当t＝时，函数取得最大值，所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<，所以φ＝.
13．答案：d＝2sin (πt－)＋1
解析：∵水轮的半径为2米，水轮圆心O距离水面1米，∴A＝2.又∵水轮每分钟旋转4圈，∴转一圈需要15秒且ω>0，∴T＝15＝，∴ω＝π.由题可得t＝0时，d＝0，则2sinφ＋1＝0，得φ＝2kπ－或2kπ－(k∈Z).∵|φ|<，∴φ＝－，∴d＝2sin (πt－)＋1.
14．解析：(1)由题图可知，T＝2×(14－2)＝24，
所以＝24，解得ω＝.
由题图得b＝＝24，A＝＝8，
所以f(t)＝8sin (t＋φ)＋24.
将点(2，16)代入函数解析式得8sin (×2＋φ)＋24＝16，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
即φ＝2kπ－(k∈Z).
而|φ|<π，所以φ＝－.
所以f(t)＝8sin (t－)＋24(0≤t≤24).
(2)令8sin (t－)＋24>28，则sin (t－)>，
所以＋2kπ
解得10＋24k令k＝0，得10故中央空调应在10时开启，18时关闭．
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15．解析：(1)设该函数为f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π)，其中x＝1，2，…，12.
由①，可知这个函数的周期是12个月；
由②，可知f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，
故该函数的振幅为200；
由③，可知f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500.
根据上述分析可得＝12，
故ω＝，又解得
当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大，
故sin (2×＋φ)＝－1，且sin (8×＋φ)＝1.
又|φ|<π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为
f(x)＝200sin (x－)＋300(x＝1，2，…，12).
(2)由条件，可知200sin (x－)＋300≥400，
化简得sin (x－)≥，
即2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10.
即客栈在6，7，8，9，10月份要准备400份及以上的食物．7．3.5 已知三角函数值求角
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝( )
A． B． C． D．
2．若tan α＝，且α∈(，)，则α＝( )
A． B． C． D．
3．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝( )
A． B．
C．或 D．或
4．若sin (＋θ)＝－，θ∈[0，2π)，则θ＝________．
5．求不等式sin x＞－的解集．
6．已知cos α＝－，试求符合下列条件的角α.
(1)α是三角形的内角；
(2)0≤α<2π；
(3)α是第三象限的角；
(4)α∈R.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．若cos (π－x)＝，x∈(－π，π)，则x＝( )
A．， B．±
C．± D．±
8．方程tan (2x＋)＝在区间[0，2π)上的解的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
9．(多选)函数f(x)＝A sin (2x＋φ)(A>0，|φ|<)部分图象如图所示，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝，则( )
A．a＋b＝π B．b－a＝
C．φ＝ D．f(a＋b)＝
10.若x＝是方程2cos (x＋α)＝1的解，其中α∈(0，2π)，求α的值．
11．(逻辑推理命题)方程cos 2x＝0在区间[0，100]内的所有解的个数是________．
12．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则方程f(x)＝1在(0，π]上的解集为________．
13．求不等式2cos (2x＋)－＜0的解集．
14．已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sin (ωx－)(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.若f(α)＝，α∈[－π，π]，求α的值组成的集合．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|<)在一个周期内的简图如图所示，则方程f(x)＝m(m为常数且1＜m＜2)在[0，π]内所有解的和为( )
A． B．
C． D．π
7．3.5 已知三角函数值求角
必备知识基础练
1．答案：B
解析：因为x∈(π，2π)且cosx＝－，所以x＝.
2．答案：C
解析：因为tan＝，所以α＝＋kπ，k∈Z.又因为α∈(，)，所以α＝.
3．答案：D
解析：因为sinα＝，所以α＝＋2kπ，k∈Z或α＝＋2kπ，k∈Z，又因为α为三角形的内角，所以α∈(0，π)，所以α＝或.
4．答案：或
解析：因为sin (π＋θ)＝－，所以－cosθ＝－，即cosθ＝，又θ∈[0，2π)，所以θ＝或θ＝.
5．解析：当sinx＝－时，x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为{x|－＋2kπ6．解析：满足cosα＝的锐角为.
(1)∵α是三角形的内角，∴0<α<π，∴α＝π－＝π.
(2)∵0≤α<2π，∴α＝π－＝π或α＝π＋＝π.
(3)∵α是第三象限角，∴α＝2kπ＋π，k∈Z.
(4)∵α∈R，∴α＝(2k＋1)π±，k∈Z.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：由cos (π－x)＝－cosx＝得，cosx＝－.又因为x∈(－π，π)，所以x在第二或第三象限，所以x＝±.
8．答案：C
解析：方法一：令t＝2x＋，作出函数y＝tant的图象如图：
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z.
又由0≤＜2π，所以k＝0，1，2，3.
故在区间[0，2π)上有4个解．
方法二：由tan (2x＋)＝＞0，设t＝2x＋，
所以角2x＋对应的正切线方向朝上，而且长度为，如图所示，
可知2x＋的终边可能是OT，也可能是OT′，
因为tan＝tan＝，
所以2x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z.
又由0≤＜2π，所以k＝0，1，2，3.
故在区间[0，2π)上有4个解．
9．答案：BC
解析：由三角函数的最大值可知A＝2，设＝m，则x1＋x2＝2m，由对称性可知f(m)＝2，则2sin (2m＋φ)＝2，解得2m＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，f(x1＋x2)＝2sin [2(x1＋x2)＋φ]＝2sin (2×2m＋φ)＝2sin [2×(2m＋φ)－φ]＝2sin [2×(2kπ＋)－φ]＝2sin (4kπ＋π－φ)＝2sinφ＝，则sinφ＝，结合|φ|<，得φ＝，则f(x)＝2sin (2x＋)，由五点作图法可知：2a＋＝0，2b＋＝π，所以a＝－，b＝，所以a＋b＝，b－a＝，f(a＋b)＝f＝2sin (2×＋)＝.
10．解析：∵x＝是方程2cos (x＋α)＝1的解，
∴2cos (＋α)＝1，即cos (＋α)＝.
∵α∈(0，2π)，∴＋α∈(，)，
∴＋α＝，∴α＝.
11．答案：64
解析：因为cos2x＝0，所以2x＝＋kπ(k∈Z)，所以x＝＋(k∈Z)，因为x∈[0，100]，所以k＝0，1，2，…，63，因此所有解的个数是64.
12．答案：{，}
解析：由题意可得：＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋)＝1，可得sin (2x＋)＝，因为x∈(0，π]，所以2x＋∈(，]，所以2x＋＝或，即：x∈{，}．
13．解析：不等式变为cos (2x＋)＜，
则＋2kπ＜2x＋＜＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，
所以不等式的解集为{x|＋kπ14．解析：因为g(x)＝sin (ωx－)(ω>0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝cos2x.
由f(α)＝，得cos2α＝，即cos2α＝，
所以2α＝2kπ±，k∈Z，则α＝kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，所以α∈{－，－，，}．
核心素养升级练
15．答案：B
解析：根据函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的简图，可得A＝2，再把点(0，1)代入可得2sinφ＝1，求得sinφ＝，所以φ＝.再根据五点法作图可得ω·＋＝π，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin (2x＋)，令2x＋＝＋2kπ，k∈Z得x＝kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，故函数的对称轴是x＝，故由图象可得方程f(x)＝m(m为常数且1＜m＜2)在[0，π]内所有的解共有2个，且这2个解的和等于2×＝.7．3.4 正切函数的性质与图象
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．函数f(x)＝tan (x＋)的最小正周期为( )
A． B．
C．π D．2π
2．下列函数中，最小正周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 8x
C．y＝cos D．y＝tan (－8x)
3．函数y＝ 的定义域为( )
A．[kπ，＋kπ)，k∈Z
B．[kπ，＋kπ)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋]，k∈Z
D．(kπ－，kπ]，k∈Z
4．函数f(x)＝tan 2x在[－，]上的最大值与最小值的差为( )
A．2 B．
C．2 D．
5．已知a＝tan ，b＝tan ，c＝sin ，则( )
A．aC．c6．函数f(x)＝tan (－)的单调递增区间是( )
A．[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
B．(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
C．[4kπ－，4kπ＋]，k∈Z
D．(4kπ－，4kπ＋)，k∈Z
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)已知函数f(x)＝tan (2x－)，以下判断正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)的最小正周期为π
C．(，0)是y＝f(x)图象的一个对称中心
D．(，0)是y＝f(x)图象的一个对称中心
8．已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，f(x)的部分图象如图，则f＝( )
A．2＋ B． C． D．2－
9．在函数①y＝cos |2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos (2x＋)；④y＝tan (2x－)中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
10.若tan (2x＋)＝，则在区间[0，2π]上解的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
11．(多选)关于函数f(x)＝|tan x|的性质，下列叙述正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称
D．f(x)在每一个区间(kπ，kπ＋)(k∈Z)内单调递增
12．函数y＝tan (＋)的定义域为__________．
13．已知函数f(x)＝tan (x＋φ)的图象的一个对称中心为点(，0)，且|φ|<，则φ的值为________．
14．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M(－，0)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求－1≤f(x)≤的解集．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15．(1)求函数f(x)＝tan (x＋)，x∈[－，]的值域；
(2)求函数y＝tan2x－2tanx(|x|≤)的值域．
7．3.4 正切函数的性质与图象
必备知识基础练
1．答案：D
解析：由题意知f(x)的最小正周期为＝2π，故选D项．
2．答案：D
解析：A项，T＝＝8π，故A不符合；B项，T＝＝，故B不符合；
C项，T＝＝8π，故C不符合；D项，T＝＝，故D符合．故选D.
3．答案：A
解析：由题意得tan (x＋)－1≥0，即tan (x＋)≥1，故＋kπ≤x＋<＋kπ，k∈Z，解得x∈[kπ，＋kπ)，k∈Z，故选A项．
4．答案：A
解析：∵函数f(x)＝tan2x在[－，]上是单调递增函数，∴f(x)max＝tan (2×)＝，f(x)min＝tan [2×]＝－，∴最大值与最小值的差为2，故选A项．
5．答案：C
解析：∵y＝tanx在(0，)上单调递增且0<<<，∴tan0，∴tan－sin>0，即a>c.∴c6．答案：B
解析：由题意，令－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，解得2kπ－关键能力综合练
7．答案：AD
解析：由正切函数的性质知：T＝，A正确，B错误；f()＝tan≠0，故(，0)不是f(x)的对称中心，C错误；f()＝tan0＝0，故(，0)是f(x)的对称中心，D正确．故选AD.
8．答案：B
解析：由图象可知，T＝2×(－)＝，所以ω＝2，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝.又f(0)＝1，所以Atan＝1，得A＝1，所以f(x)＝tan (2x＋)，所以f＝tan (＋)＝tan＝，故选B项．
9．答案：A
解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y＝cos2x相同，所以其最小正周期T＝＝π；②中函数y＝|cosx|的最小正周期是函数y＝cosx最小正周期的一半，即T＝π；③中函数的最小正周期T＝＝π；④中函数的最小正周期T＝.故选A项．
10．答案：B
解析：∵tan (2x＋)＝，∴2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝－＋(k∈Z).∵x∈[0，2π]，∴x＝或或或.故选B.
11．答案：BCD
解析：由题意，得
f(x)＝|tanx|＝
根据正切函数的特点作出函数f(x)＝|tanx|的简图，如图所示．
由函数f(x)＝|tanx|的图象知，f(x)的最小正周期为π，故A不正确；函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)是偶函数，故B正确；函数f(x)的图象关于直线x＝(k∈Z)对称，故C正确；由f(x)的图象知，f(x)在每一个区间(kπ，kπ＋)(k∈Z)内单调递增，故D正确．故选BCD.
12．答案：{x|x≠＋2kπ，k∈Z}
解析：由＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋2kπ，k∈Z，即函数y＝tan (＋)的定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}．
13．答案：或－
解析：因为点(，0)为函数f(x)＝tan (x＋φ)的图象的一个对称中心，所以＋φ＝(k∈Z)，φ＝－(k∈Z).又|φ|<，所以φ的值为或－.
14．解析：(1)由函数f(x)的图象与x轴相邻两交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.
因为ω>0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan (2x＋φ).
因为函数y＝f(x)的图象关于点M(－，0)对称，
所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，所以φ＝，
故f(x)＝tan (2x＋).
(2)由(1)知，f(x)＝tan (2x＋)，
令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋所以函数的单调递增区间为(－＋，＋)，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由－1≤tan (2x＋)≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以－1≤f(x)≤的解集为{x|－＋≤x≤＋，k∈Z}．
核心素养升级练
15．解析：(1)令z＝x＋，∵x∈[－，]，∴z∈[0，].
∵函数y＝tanz在[0，]上是单调递增函数，
∴tan0≤tanz≤tan，即0≤tanz≤1，
∴函数f(x)在[－，]上的值域是[0，1].
(2)令u＝tanx，因为|x|≤，即－≤x≤，
所以u∈[－，].
所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，].
因为二次函数图象的开口向上，对称轴方程为u＝－＝1，
所以当u＝1时，ymin＝12－2×1＝－1.
当u＝－时，ymax＝3＋2.
所以f(x)的值域为[－1，3＋2].7．3.3 余弦函数的性质与图象
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．函数f(x)＝cos (2x－1)的最小正周期是( )
A．4π B．2π
C．π D．
2．下列区间中是函数y＝1－cos x的单调递增区间的是( )
A．[－2π，0] B．[0，2π]
C．[0，π] D．[－π，0]
3．函数y＝cos (x＋)，x∈[0，]的值域是( )
A．(－，) B．[－，]
C．[，1] D．[，1]
4．函数y＝sin (2x－)的图象与函数y＝cos (x－)的图象( )
A．有相同的对称轴但无相同的对称中心
B．有相同的对称中心但无相同的对称轴
C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心
D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴
5．满足不等式2 cos x＋1>0成立的x的取值集合为( )
A.{x|2kπ－B．{x|2kπ－C．{x|2kπ＋D．{x|2kπ－6．已知函数f(x)＝cos (2x＋).
(1)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．如果函数y＝3cos (2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A． B．
C． D．
8．已知函数f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)且f＝f，若f(x)在区间(，)上有最大值，无最小值，则ω的最大值为( )
A． B． C． D．
9.(多选)对于函数f(x)＝下列说法中不正确的是( )
A．该函数的值域是[－1，1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π10．下列区间中，函数f(x)＝2cos (－x)单调递增的区间是( )
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
11．函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象关于原点对称，则φ＝________________．
12．当x∈[0，π]时，方程cos (x－)＋1＝a有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．
13．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x∈(0，)，求f(x)的取值范围．
14．已知函数f(x)＝2sin2x＋cosx－2.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)当x∈[α，]时，函数f(x)的最小值为－1，求α的取值范围．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.已知函数f(x)＝2cos ωx(ω>0)，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f()的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
7．3.3 余弦函数的性质与图象
必备知识基础练
1．答案：C
解析：由题意，函数f(x)＝cos (2x－1)的最小正周期T＝＝π.故选C.
2．答案：C
解析：y＝1－cosx的单调递增区间即y＝cosx的单调递减区间，选项中只有[0，π]是y＝cosx的单调递减区间，故选C项．
3．答案：B
解析：由x∈[0，]，得x＋∈[，]，所以y＝cos (x＋)，x∈[0，]的值域为[－，]，故选B.
4．答案：A
解析：由2x－＝k1π＋，k1∈Z，可得函数y＝sin (2x－)的图象的对称轴为直线x＝＋，k1∈Z.由x－＝k2π，k2∈Z，可得函数y＝cos (x－)的图象的对称轴为直线x＝k2π＋，k2∈Z.当k1＝k2＝0时，二者有相同的对称轴．由2x－＝k3π，k3∈Z，可得函数y＝sin (2x－)的图象的对称中心为点(＋，0)，k3∈Z.由x－＝k4π＋，k4∈Z，可得函数y＝cos (x－)的图象的对称中心为点(k4π＋，0)，k4∈Z.令＋＝k4π＋，k3，k4∈Z，解得k3＝2k4＋，与k3，k4∈Z矛盾．故两个函数的图象没有相同的对称中心，故选A项．
5．答案：A
解析：由2cosx＋1>0得：cosx>－，当x∈[－π，π]时，－6．解析：(1)令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，
可得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ－]，k∈Z.
(2)由(1)知，当k＝1时，f(x)在[，]上单调递增，
可得f(x)在[－，]上单调递减，
而x∈[－，]，
从而f(x)在[－，]上单调递减，在[，]上单调递增，
故f(x)min＝f＝－1，
f(x)max＝max{f(－)，f()}＝f(－)＝.
关键能力综合练
7．答案：A
解析：函数图象关于点(，0)中心对称，则3cos (2×＋φ)＝0，即cos (＋φ)＝0，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z，所以当k＝0时，|φ|＝，此时|φ|最小，故选A项．
8．答案：D
解析：∵函数f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)且f()＝f()，∴直线x＝×(＋)＝为f(x)＝cos (ωx－)(ω>0)的图象的一条对称轴，又f(x)在区间(，)上有最大值，无最小值，所以当x＝时，f(x)取到最大值，且T>－＝，∴ω·－＝2kπ，k∈Z，且>，解得ω＝＋k，k∈Z，且ω<12，∴当k＝4时，ω＝＋＝为最大值，故选D项．
9．答案：ABC
解析：画出函数f(x)的图象如图所示，由图象容易看出：该函数的值域是[－，1]；当且仅当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π10．答案：D
解析：由题意，f(x)＝2cos (－x)＝2cos (x－)，令π＋2kπ≤x－≤2π＋2kπ，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，故函数f(x)＝2cos (－x)单调递增的区间是[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.令k＝0，得[，]，由于(，2π) [，]，且(0，)，(，π)，(π，)均不包含在单调递增区间内．故选D.
11．答案：＋kπ(k∈Z)
解析：函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象关于原点对称，则φ＝＋kπ(k∈Z).
12．答案：[，2)
解析：cos (x－)＋1＝a，即cos (x－)＝a－1，令t＝x－，∵x∈[0，π]，∴t∈[－，]，依题意y＝cost，t∈[－，]与y＝a－1有两个不同的交点，作出y＝cost，t∈[－，]的图象如图．由图知≤a－1<1，即≤a<2.
13．解析：(1)由题图知A＝2，＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2cos (2x＋φ).
又f(x)的图象过点(，2)，∴2cos (＋φ)＝2，
∴cos (＋φ)＝1，∴＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2cos (2x－).
(2)∵x∈(0，)，∴2x－∈(－，)，
∴cos (2x－)∈(－，1]，∴f(x)∈(－，2].
∴当x∈(0，)时，f(x)的取值范围是(－，2].
14．解析：(1)由sin2x＋cos2x＝1得：f(x)＝－2cos2x＋cosx，
令f(x)＝0，解得cosx＝0或cosx＝，
当cosx＝0时，x＝＋kπ，k∈Z；
当cosx＝时，x＝2kπ±，k∈Z.
所以函数f(x)的零点为＋kπ，2kπ±，k∈Z.
(2)因为f(x)＝－2cos2x＋cosx，
令cosx＝t，则f(x)＝g(t)＝－2t2＋t，
因为f(x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1(等号可取)，
解得－≤t≤1(等号可取)，即－≤cosx≤1(等号可取)，
因为x∈[α，]，且cos＝－，
由－≤cosx≤1(等号可取)x∈[α，]可得－≤α<，
所以α的取值范围为[－，).
核心素养升级练
15．解析：(1)因为函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，
所以f(x)的最小正周期T＝π，
故＝π，所以ω＝2.
所以f(x)＝2cos2x.所以f＝2cos＝.
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝f(x－)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝f(－)的图象，
所以g(x)＝f(－)＝2cos [2(－)]＝2cos (－).
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为[4kπ＋，4kπ＋](k∈Z).第2课时 正弦型函数的性质
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．若函数f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( )
A． B．
C． D．
2．函数y＝3sin (2x＋)的图象的一条对称轴方程是( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝－ D．x＝
3．函数y＝2sin (x－)(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A．[－π，－] B．[－，－]
C．[－，0] D．[－，0]
4．已知ω>0，0<φ<π，直线x＝和直线x＝是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A． B．
C． D．
5．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝( )
A．－2 B．－
C． D．2
6．已知函数f(x)＝2sin (2x－)，x∈R.写出函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)设函数f(x)＝sin (2x＋)＋1，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的一个周期为2π
B．f(x)是奇函数
C．f(x)的一个最高点坐标为(π，2)
D．f(x)是偶函数
8．已知函数f(x)＝2sin (x＋)，若 x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是( )
A．4 B．2
C．1 D．
9．(多选)若将函数f(x)＝A sin (2x－)(A≠0)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则下列选项错误的是( )
A．g(x)的最大值为A
B．g(x)的图象有一条对称轴是直线x＝
C．g(x)的图象有一个对称中心是点(－，0)
D．g(x)是奇函数
10．已知函数y＝sin (2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是________．
11．已知f(x)＝sin (x＋)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＝________．
12．若函数f(x)＝3sin ωx(ω>0)能够在某个长度为3的闭区间上至少出现三次最大值3，且在[－，]上是单调函数，则整数ω的值是________.
13．已知函数f(x)＝sin (2x－)＋.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)求f(x)在区间[0，]上的值域．
14．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<)的最小正周期为π，且图象上一个最低点为M(，－2).
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，]时，求f(x)的最值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.已知函数f(x)＝sin (2ωx＋)＋＋b.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
第2课时 正弦型函数的性质
必备知识基础练
1．答案：C
解析：由题意，得＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝3kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝，故选C项．
2．答案：B
解析：令sin (2x＋)＝±1，得2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝π＋(k∈Z)，取k＝1，得x＝.
3．答案：D
解析：由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为[－，0].
4．答案：A
解析：因为直线x＝和x＝是函数f(x)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z).又0<φ<π，所以φ＝，故选A项．
5．答案：C
解析：由f(x)为奇函数，可知f(0)＝Asinφ＝0，由|φ|<π可得φ＝0.将y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g(x)＝Asinωx的图象．由g(x)的最小正周期为2π，可得T＝＝2π，所以ω＝2，g＝Asin＝，可得A＝2，所以f(x)＝2sin2x，则f＝2sin＝，故选C项．
6．解析：由2x－＝kπ＋，k∈Z，解得f(x)图象的对称轴方程是x＝＋π，k∈Z.
由2x－＝kπ，k∈Z，解得f(x)图象的对称中心是[＋π，0]，k∈Z.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z；
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
解得f(x)的单调递减区间是[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
关键能力综合练
7．答案：ACD
解析：函数f(x)＝sin (2x＋)＋1＝cos2x＋1，T＝＝π，所以2π也是f(x)的周期，故A正确；因为x∈R，f(－x)＝cos2x＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故B错误，D正确；因为x∈R，－1≤cos2x≤1，所以0≤f(x)＝cos2x＋1≤2，所以f(π)＝cos2π＋1＝2，f(x)的一个最高点坐标为(π，2)，故C正确．故选ACD.
8．答案：B
解析：设T为函数f(x)的最小正周期，则T＝＝4.由于 x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)＝f(x)min＝－2，f(x2)＝f(x)max＝2，从而|x1－x2|的最小值为，即为2.
9．答案：ACD
解析：将函数f(x)＝Asin (2x－)(A≠0)的图象向左平移个单位得到函数g(x)＝Asin [2(x＋)－]＝Asin (2x＋)的图象，因为A≠0，正负不知，所以A错；又因为g＝Asin (2×＋)＝Asin＝A，所以直线x＝是g(x)图象的一条对称轴，所以B正确；因为g＝Asin [2×＋]＝Asin≠0，所以C错；g(x)＝Asin (2x＋)为非奇非偶函数，所以D错．
10．答案：－
解析：由题意可得sin (＋φ)＝±1，所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z).又因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－.
11．答案：0
解析：函数f(x)＝sin (x＋)的最小正周期为T＝＝6，当k∈Z时，f(6k)＝sin＝，f(6k＋1)＝sin (＋)＝1，f(6k＋2)＝sin (＋)＝，f(6k＋3)＝sin (π＋)＝－，f(6k＋4)＝sin (＋)＝－1，f(6k＋5)＝sin (＋)＝－，所以，f(6k)＋f(6k＋1)＋f(6k＋2)＋f(6k＋3)＋f(6k＋4)＋f(6k＋5)＝0，∵2022＝337×6，因此，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝0×337＝0.
12．答案：5
解析：函数y＝3sinωx能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3，由三角函数的图象与性质可知2×≤3，解得ω≥π.又f(x)在[－，]上为单调函数，∴－≤ωx≤，且解得ω≤5.综上，正整数ω＝5.
13．解析：(1)∵函数f(x)＝sin (2x－)＋，
∴f(x)最小正周期T＝＝π，
∵sin (2x－)≤1，sin (2x－)＋≤，
∴当sin (2x－)＝1时，f(x)max＝.
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤π，
∴当2x－＝时，即x＝时，f(x)max＝，
当2x－＝－时，即x＝0时，f(x)min＝0，
∴f(x)在区间[0，]上的值域为[0，].
14．解析：(1)由函数f(x)图象上一个最低点为M(，－2)，
得A＝2.由最小正周期T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在图象上，得2sin (＋φ)＝－2，
即sin (＋φ)＝－1，
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
故φ＝2kπ－(k∈Z).
又0<φ<，所以k＝1，φ＝.
所以函数解析式为f(x)＝2sin (2x＋).
(2)因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]，
故当2x＋＝，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；
当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值.
核心素养升级练
15．解析：(1)∵函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴2ω·＋＝nπ＋，n∈Z.
又∵ω∈[0，3]，解得ω＝1，
∴f(x)＝sin (2x＋)＋＋b.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)由(1)知，f(x)＝sin (2x＋)＋＋b.
由f(x)＝0，得sin (2x＋)＝－－b.
令t＝2x＋，由x∈[0，]得t∈[，].
由y＝sint，t∈[，]的图象及y＝－－b的图象，可知函数f(x)有且只有一个零点时，－－b＝1或－≤－－b<，
解得b＝－或－2∴实数b的取值范围是(－2，]∪{－}．第1课时 正弦型函数的图象
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．用“五点法”作y＝2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
2．为了得到函数y＝sin (x－1)的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移π个单位
D．向右平移π个单位
3．将函数f(x)＝sin 2x的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin (x－)
B．g(x)＝sin (x＋)
C．g(x)＝sin (4x－)
D．g(x)＝sin (4x－)
4．函数y＝sin (2x－)在区间[－，π]上的简图是( )
5．已知函数f(x)＝sin (2x－).请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图．
6．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示．求函数f(x)的解析式．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)有下列四种变换方式：
①向左平移个单位，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)；
②横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位；
③横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位；
④向左平移个单位，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变).
其中能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin (2x＋)的图象的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
8．已知k∈Z，则“函数f(x)＝sin (2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．把函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin x，则( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
10．若把函数y＝sin (2x＋)的图象向右平移m(m>0)个单位后，得到y＝sin 2x的图象，则m的最小值为( )
A． B．
C． D．
11．分别对函数y＝sin x的图象进行如下变换：①先向左平移个单位，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的，得到y＝f(x)的图象；②先将其上各点的横坐标缩短到原来的，然后向左平移个单位，得到y＝g(x)的图象．以下结论正确的是( )
A．f(x)与g(x)的图象重合
B．f(x)的图象向左平移个单位可得g(x)的图象
C．f(x)的图象向右平移个单位可得g(x)的图象
D．f(x)的图象向左平移个单位可得g(x)的图象
12．已知函数f(x)＝sin (2x－).
利用“五点法”完成下面表格，并画出函数f(x)在区间[，]上的图象．
2x－
x
f(x)
13.已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．求f(x)的解析式．
14．已知函数f(x)＝2sin (ωx－)(ω>0)的图象与直线y＝1的交点中距离最近的两个交点距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用“五点法”作出函数f(x)在[，]上的图象．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.将函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
第1课时 正弦型函数的图象
必备知识基础练
1．答案：B
解析：由五点法，令2x＝0，，π，π，2π，解得x＝0，，，π，π.
2．答案：B
3．答案：C
解析：函数f(x)＝sin2x的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的，得到y＝sin4x的图象，再向右平移个单位长度后得到g(x)＝sin [4(x－)]＝sin (4x－)的图象，故选C项．
4．答案：A
解析：当x＝0时，y＝sin＝－<0，排除B、D；当x＝时，y＝sin (2×－)＝sin0＝0，排除C，故选A.
5．解析：因为f(x)＝sin (2x－)，
取值列表：
x
2x－ 0 π 2π
f(x) 0 1 0 －1 0
描点连线，可得函数图象如图所示：
6．解析：由图可知A＝2.
设函数f(x)的最小正周期为T，则＝－＝，所以T＝π，
又因为ω>0，由T＝＝π，解得ω＝2.
又由图可知函数f(x)经过点(，2)，则2sin (2×＋φ)＝2，
又因为－<φ<，所以φ＝－，
所以函数f(x)＝2sin (2x－).
关键能力综合练
7．答案：AB
解析：①向左平移个单位，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin (2x＋)的图象；②横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位，则正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)的图象；③横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位，则正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)的图象；④向左平移个单位，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数y＝sinx的图象变为y＝sin (2x＋)的图象．因此①和②符合题意，故选AB.
8．答案：B
解析：当f(x)＝sin (2x＋θ)为偶函数时sin (θ－2x)＝sin (2x＋θ)，则2sin2xcosθ＝0恒成立，即θ＝＋kπ，k∈Z；当θ＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)＝sin (2x＋)＝cos2x为偶函数；综上，“函数f(x)＝sin (2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ”的必要不充分条件．故选B.
9．答案：B
解析：解法一(逆向变换)：将函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为y＝sin2x，再将此函数图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为y＝sin [2(x－)]，即y＝sin (2x－)，所以ω＝2，φ＝－，故选B项．
解法二(正向变换)：将y＝sin (ωx＋φ)的图象向左平移个单位后，得到y＝sin (ωx＋＋φ)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即得y＝sin (ωx＋＋φ)的图象，又sin (ωx＋＋φ)＝sinx，ω>0，|φ|<π，从而ω＝1，＋φ＝0，解得ω＝2，φ＝－，故选B项．
10．答案：A
解析：由题意可得y＝sin [2(x－m)＋]＝sin2x，∴2m－＝2kπ，k∈Z，即m＝＋kπ，k∈Z.∵m>0，∴m的最小值为.故选A.
11．答案：D
解析：①将y＝sinx的图象向左平移个单位得到y＝sin (x＋)的图象，再将y＝sin (x＋)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到f(x)＝sin (2x＋)的图象；②将y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到y＝sin2x的图象，再将其图象向左平移个单位，得到g(x)＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)的图象，故选项A错误．g(x)＝sin (2x＋)＝sin [2(x＋)＋]＝f(x＋)，所以f(x)的图象向左平移个单位可得g(x)的图象，故选项D正确，B、C错误，故选D.
12．解析：由正弦函数的性质，[，]上的五点如下表：
2x－ 0 π 2π
x
f(x) 0 0 － 0
函数图象如下：
13．解析：由图可知，A＝2，＝＋＝，则T＝＝π.
因为ω>0，所以ω＝2.
由f＝－2，得2sin (2×＋φ)＝－2，
所以2×＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又因为|φ|<，所以φ＝.
故f(x)＝2sin (2x＋).
14．解析：(1)由题意，2sin (ωx－)＝1，ωx－＝2kπ＋或ωx－＝2kπ＋，k∈Z，
所以相距最近的两个点的横坐标满足|ωx1－ωx2|＝.
又函数图象与直线y＝1的交点中距离最近的两个交点距离|x1－x2|＝，
因此ω＝2，即函数解析式为f(x)＝2sin (2x－).
(2)列表：
2x－ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
描点连线得f(x)在[，]上的图象如图：
核心素养升级练
15．解析：(1)将y＝sinx的图象向左平移个单位得到y＝sin (x＋)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sin (x＋)的图象．
所以f(x)的解析式为f(x)＝sin (x＋).
(2)因为x∈[0，3π]，
所以x＋∈[，]，sin (x＋)∈[－1，1].
因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，令t＝x＋，则y＝sint的图象如图所示．故方程f(x)＝m有唯一实数根时，m的取值范围为(－，)∪{1，－1}．第2课时 正弦函数的图象
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是图中的( )
2．(多选)下列对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是( )
A．周期为2π
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
3．函数y＝sin |x|的图象是( )
4．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数y＝－2sin x＋5，x∈[0，]的值域是( )
A．[3，7] B．[5，7]
C．[－7，5] D．[3，5]
6．在[0，2π]内，不等式sin x<－的解集为( )
A．(0，π) B．(，)
C．(，) D．(，2π)
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．方程x＋sin x＝0的根有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
8．方程sin x＝lg x的实根有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无穷多个
9．(多选)函数y＝1＋sin x，x∈(，2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
10．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为[－1，]，则b－a的最大值和最小值之和等于( )
A． B．
C．2π D．4π
11．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是________________________________．
12．若函数y＝sin x－(x∈[，])有两个零点，则实数m的取值范围为________．
13．已知函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
14．用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sin x的最大值、最小值及相应的自变量的值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.(逻辑推理命题)已知定义在(－∞，3]上的单调减函数f(x)，使得f(1＋cos2x)≤f(a－2sinx)对一切实数x都成立，求a的取值范围．
第2课时 正弦函数的图象
必备知识基础练
1．答案：B
解析：∵y＝1－sinx的图象是由y＝sinx的图象先关于x轴对称，再向上平移1个单位得到的，∴由y＝sinx，x∈[0，2π]的图象可知B正确．
2．答案：ABD
解析：由正弦函数y＝sinx的图象可知A，B，D正确，C不正确．故选ABD.
3．答案：B
解析：∵y＝sin|x|是偶函数，∴其图象关于y轴对称，当x≥0时，y＝sin|x|的图象与y＝sinx的图象相同，故选B项．
4．答案：B
解析：作出函数y＝1＋sinx在[0，2π]上的图象，如图，由图可知该函数的图象与直线y＝2只有一个交点，故选B项．
5．答案：D
解析：当0≤x≤时，0≤sinx≤1，∴3≤－2sinx＋5≤5.故选D.
6．答案：C
解析：作出y＝sinx，x∈[0，2π]的图象，如图所示，令sinx＝－，x∈[0，2π]，则x＝或x＝，由图可知不等式sinx<－的解集为(，)，故选C项．
关键能力综合练
7．答案：B
解析：设f(x)＝－x，g(x)＝sinx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点，则方程x＋sinx＝0仅有一个根．
8．答案：C
解析：在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象，如图．由图可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)(i＝1，2，3)，其中xi是方程sinx＝lgx的解，且xi∈(1，10)，故选C项．
9．答案：ABC
解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝1＋sinx，x∈(，2π)的图象和直线y＝t，如图所示．
由图可知，当t>2或t<0时，交点个数为0；当010．答案：C
解析：作出y＝sinx的一个简图，如图所示．∵函数的值域为[－1，]，且sin＝sin＝，sin＝－1，∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝，定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝，故可得，b－a的最大值与最小值之和为2π.
11．答案：{x|－解析：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝的图象，如图所示，由图易得－＜x＜0或＋2kπ＜x＜π＋2kπ，k∈N.
12．答案：[，2)
解析：由sinx－＝0得sinx＝.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sinx(x∈[，])的图象与直线y＝，如图所示．由图知，当≤<1，即≤m<2时，两图象有两个交点，则原函数有两个零点，此时m∈[，2).
13．答案：(1，3)
解析：f(x)＝sinx＋2|sinx|＝的图象如图．若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据图象可得k的取值范围是(1，3).
14．解析：按五个关键点列表：
x －π － 0 π
sinx 0 －1 0 1 0
1－2sinx 1 3 1 －1 1
描点连线得：
(1)由图象可知函数y＝1－2sinx在x∈(－π，0)时，y>1，在x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点时，1所以a的取值范围是{a|1(3)由图象可知ymax＝3，此时x＝－；ymin＝－1，此时x＝.
核心素养升级练
15．解析：根据题意，有：
?1＋cos2x≤3，
a－2sinx≤3，
a－2sinx≤1＋cos2x?
∴a≤－1.第1课时 正弦函数的性质
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
2．下列命题中正确的个数为( )
①y＝sin x的递增区间为[2kπ，2kπ＋](k∈Z)
②y＝sin x在第一象限是增函数
③y＝sin x在[－，]上是增函数
A．1 B．2
C．3 D．0
3．函数y＝9－sin x的单调递增区间是( )
A．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
B．[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
C．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
D．[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
4．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
5．(逻辑推理命题)若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
6．求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝2sin x－1；
(2)y＝－sin2x＋sinx＋.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知函数f(x)＝cos2x＋sinx，x∈[，]，则( )
A．最大值为2，最小值为1
B．最大值为，最小值为1
C．最大值为＋，最小值为1
D．最大值为，最小值为－1
8．y＝的最小值是( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
9．已知α，β∈(0，)，且cos α>sin β，则α＋β与的大小关系为( )
A．α＋β≥ B．α＋β>
C．α＋β≤ D．α＋β<
10．(多选)下列说法正确的是( )
A．y＝|sin x|的定义域为R
B．y＝3sin x＋1的最小值为1
C．y＝－sin x为奇函数
D．y＝sin x－1的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈R)
11．将sin 1，sin 2，sin 3，sin 4按由大到小的顺序排列为________________．
12．求函数y＝的定义域(k∈Z)和单调递减区间．
13．已知函数f(x)＝sin x－1.
(1)写出f(x)的单调区间；
(2)求f(x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合；
(3)比较f与f的大小．
14．已知f(x)＝－sin (π＋x)＋1.
(1)求f的值；
(2)若x∈[－，π]，求f(x)的值域．
核心素养升级练 进阶训练第三层
15.函数y＝a sin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3.
(1)求实数a的值；
(2)求该函数的单调递增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间．
第1课时 正弦函数的性质
必备知识基础练
1．答案：B
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数．
2．答案：A
解析：由y＝sinx的单调性知①②错，③正确．
3．答案：B
解析：y＝9－sinx的单调递增区间与y＝sinx的单调递减区间相同，故选B项．
4．答案：A
解析：由题意，知f(0)＝0，即－|a|＝0，a＝0，故选A项．
5．答案：[－1，0]
解析：因为－1≤sinx≤1，sinx＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.
6．解析：(1)由－1≤sinx≤1知，当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sinx－1取得最大值，ymax＝1；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sinx－1取得最小值，ymin＝－3.
(2)y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sinx－)2＋.
因为－1≤sinx≤1，
所以当sinx＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝；
当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－.
关键能力综合练
7．答案：B
解析：f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－(sinx－)2＋，x∈[，]时，sinx∈[，1]，∴当sinx＝时，f(x)最大值为；当sinx＝1时，f(x)最小值为1.故选B.
8．答案：B
解析：由y＝＝2－，当sinx＝－1时，y＝取得最小值－2.
9．答案：D
解析：∵α，β∈(0，)，∴－α∈(0，).∵cosα>sinβ，∴sin (－α)>sinβ.∵y＝sinx在(0，)上是增函数，∴－α>β，即α＋β<.
10．答案：AC
解析：选项A、C正确．对于B，y＝3sinx＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于D，y＝sinx－1的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z.故B、D不符合题意．故选AC.
11．答案：sin2>sin1>sin3>sin4
解析：∵sin2＝sin (π－2)，sin3＝sin (π－3)，且0<π－3<1<π－2<，函数y＝sinx在[0，]上单调递增，且sin4<0，∴sin (π－2)>sin1>sin (π－3)>0，即sin2>sin1>sin3>sin4.
12．解析：由－2sinx≥0，得sinx≤0，
∴2kπ－π≤x≤2kπ(k∈Z)，
即函数的定义域是[2kπ－π，2kπ](k∈Z).
∵y＝与y＝sinx的单调性相反，
∴函数的单调递减区间为[2kπ－，2kπ](k∈Z).
13．解析：(1)因为函数f(x)＝sinx－1与g(x)＝sinx的单调区间相同，
所以f(x)＝sinx－1的增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，减区间为[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).
(2)因为函数g(x)＝sinx，
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，取最大值1，
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，取最小值－1.
所以函数f(x)＝sinx－1，
当x∈{x|x＝＋2kπ(k∈Z)}时，取最大值0，
当x∈{x|x＝＋2kπ(k∈Z)}时，取最小值－2.
(3)f＝sin－1，f＝sin－1，
因为－<－<－<，
且y＝sinx在[－，]上是增函数，
所以sin＜sin.
所以f＞f.
14．解析：(1)f(x)＝－sin (π＋x)＋1＝＋sinx＋1＝cos2x＋sinx＋1＝－sin2x＋sinx＋2，
故f＝－sin2＋sin＋2＝.
(2)f(x)＝－sin2x＋sinx＋2＝－(sinx－)2＋，
当x∈[－，π]时，sinx∈[－，1]，
故sinx－∈[－1，]，
故－(sinx－)2＋∈[，]，
故f(x)的值域为[，].
核心素养升级练
15．解析：(1)∵ymax＝1－a，∴a<0，
故ymin＝1＋a＝－3，
∴a＝－4，∴y＝－4sinx＋1.
(2)函数y＝－4sinx＋1的单调递增区间，即y＝sinx的单调递减区间，
∴y＝－4sinx＋1的递增区间为[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).
(3)∵x∈[－π，π]，[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)∩[－π，π]＝[－π，－]∪[，π]，
∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sinx＋1的单调递增区间为[－π，－]，[，π].