2023-2024学年江苏省南通市崇川区、通州区高二上学期11月期中联考数学试题(含解析）

2023-2024学年江苏省南通市崇川区、通州区高二上学期11月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为
A. B. C. D.
2.直线的一个方向向量是
A. B. C. D.
3.已知在三棱锥中，，分别是和的中点．设，，，则
A. B.
C. D.
4.已知椭圆：的焦点在轴上，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
5.圆：关于直线对称圆的方程为
A. B.
C. D.
6.中国古代数学瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的左焦点为，为上一动点，定点，则的最大值为
A. B. C. D.
8.已知圆：，，是圆上两点，满足，，则
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.对于直线：，下列说法正确的是
( )
A. 的斜率一定存在 B. 恒过定点
C. 时，的倾斜角为 D. 时，不经过第二象限
10.下列结论正确的是
A. 若向量，，，则，，共面
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量，则
C. 若向量，，则在上的投影向量为
D. 若空间三点，，，则点到直线的距离为
11.已知点在圆：上，直线：与轴、轴分别交于，两点，则
A. 点到直线的距离大于
B. 点到直线的距离小于
C. 当最大时，
D. 以为直径的圆与圆的公共弦所在直线的方程为
12.已知双曲线：的一条渐近线的方程为，，是的左、右焦点，是上一点，连结交于点，则
A. 的离心率为 B.
C. 的周长为 D. 的内切圆半径为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知直线：和直线：垂直，则________．
14.已知椭圆以矩形的两个顶点，为焦点，且经过，两点．若，则的离心率为________．
15.写出满足下列两个条件的一个双曲线的方程：________．焦距为；直线与的一支有个公共点．
16.已知正四棱柱中，，若是侧面上的一个动点含边界，且，则点形成的轨迹长度为 ；若是侧面上的一个动点含边界，且，则点形成的轨迹长度为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知三角形的三个顶点是，，，边上的高所在直线为．
求直线的方程；
求直线关于点对称的直线的方程．
18.本小题分
已知圆：，点．
过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程；
若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，．，分别为和的中点，为棱上的点．
证明：；
当时，求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，斜率不为的直线与交于，两点．
若是线段的中点，求直线的方程；
若直线经过点点在点，之间，直线与的另一个交点为，求证：点，关于轴对称．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，点在线段上．
当是中点时，求点到平面的距离；
当二面角的正弦值为时，求的值．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆：，点，以线段为直径的圆与圆相切，记动点的轨迹为．
求的方程；
设点在轴上，点，在上是否存在两点，，使得当，，三点共线时，是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标和直线的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间点关于平面对称的点的坐标的求法，是基础题．
利用空间中点的对称性求解．
【解答】解：在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为： ．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查了直线的方向向量，属于基础题．
首先将直线的方程化为斜截式，即可得到直线的方向向量，即可判断．
【解答】解：因为，所以，
所以直线的方向向量为，
因为，
所以直线的一个方向向量是．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的基本定理及应用，属于基础题．
根据空间向量的基本定理及应用，即可求得结果．
【解答】
解：如图所示：
因为，，分别是和的中点．设，，，
所以
．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义与标准方程，属于基础题．
根据椭圆的焦点位置可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围．
【解答】
解：因为椭圆的焦点在轴上，
则
解得．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求圆的标准方程，属于基础题．
求出所求圆的圆心和半径，即可得圆的方程．
【解答】
解：因为圆 ，即 ，圆心为，半径为，
设点关于直线 对称的点为
则
故所求圆的圆心为，又半径为，
则圆的方程为 ．
6.【答案】
【解析】本题考查异面直线所成角。
建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，离开空间向量的夹角公式求解即可。
由题意得，。
连接，则平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，过做轴的垂线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图。
则，，，，，
，
设与所成角为
则
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质及几何意义，属于中档题．
椭圆的左焦点为，由已知条件推导出，当点在的延长线上时，可得的最大值．
【解答】
解： 点为椭圆的右焦点， ，
点为椭圆上任意一点，点的坐标为，点在椭圆内，
椭圆的左焦点为， ，
，当点在的延长线上时取等号，
，则的最大值为，
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程的应用，属于基础题．
根据题意可得， ，在直线上，结合点到直线距离公式即可求解．
【解答】
解：由题意可得，，设，
则，
得到，所以，
故圆心到直线的距离等于，
因为，所以，在直线上，
故有，解得．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线方程．
根据直线方程的斜截式判断，根据直线过定点的求法判断，根据直线的倾斜角与斜率的关系判断，根据直线方程的斜截式判断．
【解答】
解：对于，，的斜率一定存在，A正确
对于，由直线，得，直线过定点，B正确
对于，当时，直线：，设此时直线的倾斜角为，则，，，C错误
对于，当时，直线，此时直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，直线不经过第二象限，D正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的共面，向量的平行，投影向量，利用向量求点到直线距离，属于中档题．
由题意，利用空间向量的性质，对照选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于选项A，，故，，共面， A正确；
对于选项B，与显然不平行，故不垂直于平面，B错误；
对于选项C，在上的投影向量为，C正确；
对于选项D，，，故C到直线的距离
而，故，D错误．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周上点到直线的距离最值问题，圆的切线，公共弦方程，属于中档题．
利用圆与直线的位置关系，可以判断，，结合几何关系，得到当当最大时，与圆相切，进而判断，利用两圆一般式相减，可以得到两圆的公共弦方程，进而判断．
【解答】
解：由题意，圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离为，
故直线直线与圆相交，到直线的最小距离为，最大距离为，故A错误，B正确；
由题意，坐标为，当最大时，与圆相切，
此时，C正确；
由题意，，，故以为直径的圆方程为，
即，圆的方程为，
从而它们的公共弦所在的直线方程为，D正确．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线得渐近线，离心率，焦点三角形的周长，三角形内切圆的半径，属于较难题．
由题意，求出双曲线的标准方程，再对照选项逐一判断即可．
【解答】
解：由题意，，且，可以求得，从而双曲线方程为，焦点
对于选项A，，A正确；
对于选项B，，故，B正确；
对于选项C，，从而，故，从而，而的周长为 ，C错误；
对于选项D，由得，和为直角三角形，
设，则
由题意，，解得
从而的面积为，其周长
故，D正确
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两条直线垂直的判定，属于基础题．
由题意利用两条直线垂直的判定，计算求得结果．
【解答】
解：直线和直线垂直，
，
解得．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率，属于基础题．
设正方形的长为，宽为，从而可得，，从而解得．
【解答】解：设矩形的长为，宽为
则由题意知，，
故，
，
故
故答案为：．
15.【答案】答案不唯一 或 ，其中
【解析】【分析】
【分析】
本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
根据焦距讨论双曲线的焦点在轴或轴上时，联立直线与双曲线方程，根据判别式和韦达定理求解即可．
【解答】
【解答】
解：由焦距为可知，即，
若双曲线的焦点在轴上，设其方程为，
由得，
由题可得，解得，
若双曲线的焦点在轴上，设其方程为，
由得，
由题可得，解得，
综上所述，双曲线 的方程可以为 或 ，其中 ，
写出一个具体的双曲线方程为答案不唯一．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与圆相关的轨迹问题，
结合题意分别确定点形成的轨迹形状，进一步求其长度即可．
【解答】
解：由题意得平面，若是侧面上的一个动点含边界，且，
则只需点满足到点的距离为即可，
所以在侧面上找到点的距离为的点的集合即为点形成的轨迹长度，
则点形成的轨迹长度为，
若是侧面上的一个动点含边界，且，
不妨以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，其中，，
则，
即，
整理得点的坐标满足，
所以点形成的轨迹为侧面上的这个圆与面的交线，
，点形成的轨迹长度为．
17.【答案】解：因为点，，所以．
因为 ，所以．
因为经过点，
所以直线 的方程为．
设直线的方程为．
由点到直线和直线的距离相等，
得，
解得，
所以直线的方程为．
【解析】本题考查求直线方程，属于中档题．
利用与垂直得直线的斜率，又点在直线上，利用点斜式写出直线方程；
利用与平行，可得直线方程．
18.【答案】若直线的斜率不存在，则的方程为，
将代入圆的方程，解得或，
所以，符合条件
若直线的斜率存在，设的方程为，
即．
因为，圆的半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以，
解得，所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
设圆的方程为．
因为圆经过点，且与圆相切于点，
所以圆心在直线上，
所以解得
所以圆的方程为．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程．
分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式即可求解．
结合已知条件得方程组从而即可求解．
19.【答案】解：证明：因为直三棱柱中，，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
因为侧面为正方形，，如图，
，分别为和的中点，为棱上的点，
所以，，，，
设，则．
由，
得，即．
当时，则，，．
设平面的法向量为，
则由即取．
设直线与平面所成角为，
则，，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查了空间向量在立体几何的综合应用，涉及了利用空间向量求解线面角的应用，空间向量垂直的坐标表示，属于中档题．根据给定条件，得，，两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答．
设出平面的法向量，，联立得利用空间向量求解作答．
20.【答案】解：设，，
则两式相减，得，
即．
因为是线段的中点，所以，，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
根据椭圆的对称性，欲证点，关于轴对称，
只需证，即证．
设直线的方程为，
由消得，
所以，．
所以
．
因为
，
所以，即点，关于轴对称．
【解析】本题考查了椭圆中点弦问题以及直线与椭圆位置关系，属于中档题
利用点差法求解即可；
根据椭圆的对称性，欲证点 关于 轴对称，只需证 ，即证 则联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及斜率公式即可求证．
21.【答案】解：因为平面，，平面，
所以，．
在平面内作，又，
所以，，两两垂直，
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，，是中点，则，，，，
，，．
设平面的法向量，
则即取．
所以点到平面的距离．
因为是的中点，所有，设，
则，，．
设平面的法向量，
则即取．
设平面的法向量，
则即取
设二面角的大小为，则．
设，因为二面角的正弦值为，
所以，解得，此时，
所以．
【解析】本题考查点面间的距离，二面角，空间向量法的应用，属于中档题．
建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
设，利用空间向量法和已知的二面角余弦值即可求得点坐标，即可得出结论．
22.【答案】解：设，以线段为直径的圆的圆心为点，圆与圆相切于点，则．
因为为的中点，为的中点，
所以，．
当圆与圆内切时，
当圆与圆外切时，，
所以为定值．
又因为，所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线．
设它的方程是，
则，，即，所以的方程为．
假设存在符合题意的点，，
由，，三点共线，知直线斜率存在．
设直线的方程为，，，
由消去并整理，得，
则解得，且，
，．
设线段的中点为，
则，．
设点，则，．
连结，则，
即，即，整理得．
由，
得，
即，
即，
所以，
整理，得，解得，
显然满足条件，且．
当时，点的坐标为，直线的方程为
当时，点的坐标为，直线的方程为．
所以存在满足题意的两点，，此时，直线的方程为
或，直线的方程为．
【解析】本题主要考查双曲线标准方程，双曲线与直线的关系，属于难题．
由题意为定值，，根据双曲线定义可得的方程；
设直线的方程为，则利用及可得点的坐标和直线的方程．
第1页，共1页