2024华东师大版数学九年级下学期课时练--26.3 实践与探索（含解析）

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2024华东师大版数学九年级下学期
第26章　二次函数
26.3　实践与探索
基础过关全练
知识点1　应用二次函数解决抛物线形问题
1.(2023山西忻州原平模拟)为了使居住环境更加美观,某小区建造了一个小型喷泉,水流从地面上的点O喷出,某方向上水流的形状如图所示,落点A到点O的距离为4,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式y=ax2+x,则水流在该方向上喷出的最大高度为(　　)
A. m　　　　B.5 m　　
C. m　　　　D.6 m
2.【中华优秀传统文化】(2023福建寿宁模拟)廊桥是中国古老的文化遗产,下图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图.已知抛物线的函数表达式为y=-x2+10,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB8米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离是(　　)
A.8米　　　　B.10米　　
C.6米　　　　D.8米
3.【跨学科·体育与健康】(2023山西长治上党模拟)掷实心球是某市中考体育测试中的一个项目,如图所示,一名男生掷实心球,实心球行进的路线是一段抛物线,已知实心球出手时离地面2米,当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点,此时离地面3.6米,这名男生此次抛掷实心球的成绩是　　　　米.
4.(2023吉林长春净月高新区模拟)如图1所示的是可移动的灌溉装置,以水平地面为x轴,点O为原点建立平面直角坐标系,喷水头A在y轴上,如图2所示,其水柱的高度y(单位:m)与水柱距离喷水头的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系式y=-x2+x+.当水柱在某一个高度时,总对应两个不同的水平位置,则x的取值范围是　　　　.
　　
5.(2023河南洛阳嵩县模拟)如图,排球运动员站在点M处练习发球,将球从M点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足抛物线解析式.已知球达到最高点D时,离地面的高度ED为2.6 m,与M点的水平距离EM为6 m.
(1)在图中建立恰当的平面直角坐标系,并求出此时的抛物线解析式;
(2)球网BC与点M的水平距离为9 m,高度为2.43 m.球场的边界距M点的水平距离为18 m.该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界,你认为他的判断对吗 请说明理由.
知识点2　应用二次函数解决最值问题
6.(2023吉林长春东北师大附中净月实验学校期末)如图,点P是抛物线y=-x2+2x+2在第一象限上的点,过点P分别向x轴和y轴引垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为　　　　.
7.(2023辽宁辽阳二中协作校模拟)为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台相关政策,该市企业提供产品给大学毕业生自主销售,政府还给予大学毕业生一定补贴.王华按相关政策投资销售某品牌服装,已知这种品牌服装的成本价为每件100元,每件政府补贴20元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系满足一次函数:y=-3x+900.
(1)若王华将销售单价定为160元,那么政府每个月补贴多少元
(2)设王华每月获得的总收益为w(元),当销售单价定为多少元时,每月的总收益最大 最大总收益是多少元 (每月总收益=每月销售利润+每月政府补贴)
8.(2023辽宁抚顺望花模拟)2022年12月,神舟十四号载人飞船成功返回地球,航天模型、航天玩具备受青少年的喜爱.某公司在百货大楼销售神舟飞船纪念章,已知神舟飞船纪念章的成本价为每枚8元,销售单价不低于成本价且不高于18元.经销售发现,日销售量y(枚)与销售单价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
销售单价x(元) … 9 10 11 …
日销售量y(枚) … 2 100 2 000 1 900 …
(1)请求出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式;
(2)当销售单价定为多少时,销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大 最大利润为多少元
知识点3　二次函数与一元二次方程
9.【新独家原创】在平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2+bx+c(a,b、c为常数,且a≠0)的图象如下,已知其对称轴为直线x=1,则下列判断错误的是(　　)
A.一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根
B.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根可能为x1=,x2=
C.b2-4ac>0
D.一元二次方程ax2+bx+c=0的两根一定满足x1+x2=1
10.(2023吉林长春双阳期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的x与y的部分对应值如表:
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y -0.06 -0.08 -0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c=0.02的一个解x的取值范围是(　　)
A.3C.3.2411.(2023湖南衡阳北斗星实验中学月考)抛物线y=x2-2x+0.5如图所示,利用图象可得方程x2-2x+0.5=0的近似解为　　　　(精确到0.1).
12.【一题多解】如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,对称轴为直线x=2.若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,-113.【新考向·代数推理】(2023河南驻马店驿城期中)已知二次函数y=x2-mx+m-3,求证:
(1)无论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点;
(2)当m=1时,函数有最小值-.
知识点4　二次函数与不等式
14.(2023宁夏吴忠韦州中学模拟)在同一平面直角坐标系中,y1=-x2+4x和y2=2x的图象如图所示,则不等式y1>y2的解集是(　　)
A.x<0　　　　 B.0C.x<0或x>2　　　　D.x>2
15.(2023辽宁葫芦岛绥中利伟实验中学月考)二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,由图象可知,不等式-x2+bx+c<0的解集为　　　　.
16.(2023福建福州鼓楼三牧中学期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c是常数)的图象如图所示,则不等式ax2+(b-2)x+c>0的解集是　　　　.
能力提升全练
17.【新课标例71变式】【一题多变·一边有墙】(2023天津中考,12,★★☆)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆围成,且这三边的和为40 m.有下列结论:
①AB的长可以为6 m;
②AB的长有两个不同的值可以满足菜园ABCD的面积为192 m2;
③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中,正确结论的个数是(　　)
A.0　　　　B.1　　C.2　　　　D.3
[变式1·两边有墙](2023湖南衡阳南岳期末,10,★★☆)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=m米.若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15米和6米,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S的最大值为(　　)
A.193平方米　B.194平方米　　C.195平方米　　　　D.196平方米
[变式2·一边有墙且有间隔](2023山东菏泽中考,21,★★☆)某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园分为A,B两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药.学校已订购篱笆120米.
(1)设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积;
(2)在花园面积最大的条件下,A,B分别种植牡丹和芍药,每平方米种植2株,已知牡丹每株售价25元,芍药每株售价15元,学校计划购买费用不超过5万元,求最多可以购买多少株牡丹.
18.(2023广东湛江模拟,14,★☆☆)已知二次函数y=-x2+bx+c与一次函数y=mx+n的图象相交于点A(-2,4)和点B(6,-2),则不等式
-x2+bx+c>mx+n的解集是　　　　.
19.【一题多变·与x轴有一个交点】(2023湖南郴州中考,12,★☆☆)已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,则m=　　　　.
[变式1·与x轴有两个交点]【易错题】(2023吉林长春二道力旺实验中学模拟,15,★☆☆)关于x的函数y=(k-2)x2-3x+1的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是　　　　　　　.
[变式2·与x轴没有交点](2023四川成都武侯模拟,15,★☆☆)已知二次函数y=-x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是　　　　.
[变式3·与坐标轴有三个交点](2023江苏无锡东林中学教育集团期末,18,★★☆)把二次函数y=x2+4x-10的图象向左平移1个单位长度,再向上平移m个单位长度(m>0),如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点,那么m应满足的条件为　　　　　　.
20.【跨学科·物理】(2023陕西宝鸡模拟,25,★★☆)对于向上抛的物体,当空气阻力忽略不计时,有下面的关系式:h=v0t-gt2(h是物体离起点的高度,v0是初速度,g是重力系数,取10 m/s2,t是抛出后经过的时间).杂技演员在进行抛球表演时,以10 m/s的初速度把球向上抛出.
(1)球抛出后经多少秒回到起点
(2)球抛出几秒时离起点的高度达到1.8 m
(3)球离起点的高度能达到6 m吗 请说明理由.
21.(2023四川南充中考,23,★★☆)某工厂计划从A,B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品成本价为m元/件(m为常数,且4≤m≤6),售价为8元/件,每日最多产销500件,同时每日共支付专利费30元;B产品成本价为12元/件,售价为20元/件,每日最多产销300件,同时每日支付专利费y元,y(元)与x(件)满足关系式y=80+0.01x2.
(1)若产销A,B两种产品的日利润分别为w1元,w2元,请分别写出w1,w2与x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)分别求出产销A,B两种产品的最大日利润;(A产品的最大日利润用含m的代数式表示)
(3)为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品 并说明理由.
注:利润=(售价-成本)×产销数量-专利费
素养探究全练
22.【模型观念】【跨学科·体育与健康】(2023内蒙古赤峰中考)乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中,中国队包揽了五个项目的冠军,成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的.图2是乒乓球台(图1)的截面示意图,一位运动员从球台边缘正上方以28.75 cm的高度(OA=28.75 cm)击球,将乒乓球向正前方击打到对面球台,乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分.
　
乒乓球到球台的竖直高度记为y(单位:cm),乒乓球运行的水平距离记为x(单位:cm),测得如下数据:
水平距离 x/cm 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)在平面直角坐标系xOy中,描出表格中各组数值所对应的点(x,y),并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象;
(2)①当乒乓球到达最高点时,与球台之间的距离是　　　　cm,当乒乓球落在对面球台上时,到起始点的水平距离是　　　　cm;
②求满足条件的抛物线解析式;
(3)技术分析:如果只上下调整击球高度OA,乒乓球的运行轨迹形状不变,那么为了确保乒乓球既能过网,又能落在对面球台上,需要计算出OA的取值范围,以利于有针对性的训练.如图2,乒乓球台OB长274 cm,球网CD高15.25 cm.现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度OA的值约为1.27 cm.请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时,击球高度OA的值(乒乓球的大小忽略不计).
答案全解全析
基础过关全练
1.A　∵点A到点O的距离为4,∴A(4,0),把A(4,0)代入y=ax2+x得16a+×4=0,∴a=-,∴y=-x2+x,∵y=-(x2-4x+4-4)=-(x-2)2+,∴水流喷出的最大高度为 m.
2.A　∵两盏警示灯E、F距水面都是8米,∴两盏警示灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线的两交点的横坐标差的绝对值,
∴令-x2+10=8,解得x1=4,x2=-4,∴两盏警示灯之间的水平距离EF=|x1-x2|=|4-(-4)|=8(米).
3.10
解析　由题意得抛物线的顶点为(4,3.6),设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3.6,把(0,2)代入解析式可求得a=-,∴抛物线的解析式为y=-(x-4)2+3.6,当y=0时,即-(x-4)2+3.6=0,解得x1=-2(舍去),x2=10,∴这名男生此次抛掷实心球的成绩是10米.
4.0≤x≤6且x≠3
解析　由题意可得,当x=0时,y=,∴A,∵y=-x2+x+=-(x-3)2+3,∴顶点坐标为(3,3),对称轴为直线x=3,∴点A关于对称轴对称的点为,∵当水柱在某一个高度时,总对应两个不同的水平位置,即与x轴平行的直线与抛物线有两个交点,∴x的取值范围为0≤x≤6且x≠3.
5.解析　(1)如图,以点M为坐标原点,建立平面直角坐标系,则点A,E,D的坐标分别为(0,2),(6,0),(6,2.6),由题意知抛物线的顶点为(6,2.6),∴设球运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)的抛物线解析式为y=a(x-6)2+2.6,将点A(0,2)代入得2=36a+2.6,∴a=-,故此时抛物线的解析式为y=-(x-6)2+2.6.
(2)该球员的判断不对,理由如下:当x=9时,y=-×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能过网.当y=0时,即-(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+2>18,x2=6-2(负值舍去),∴球会出界.
6.
解析　易知四边形OAPB为矩形,设P(x,-x2+2x+2),四边形OAPB的周长=2PA+2OA=-2x2+4x+4+2x=-2x2+6x+4=-2+,∴当x=时,四边形OAPB的周长有最大值,最大值为.
7.解析　(1)当x=160时,y=-3×160+900=420,∵每件政府补贴20元,
∴政府每个月补贴420×20=8 400(元).
(2)根据题意得w=(x-100+20)(-3x+900)=-3(x-190)2+36 300,∵-3<0,
∴当x=190时,w取得最大值,最大值为36 300,∴当销售单价定为190元时,每月的总收益最大,最大总收益是36 300元.
8.解析　(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),把x=9,y=
2 100和x=10,y=2 000代入上式得解得∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=
-100x+3 000.
(2)设日销售利润为w元,则w=(x-8)(-100x+3 000)=-100x2+3 800x-
24 000=-100(x-19)2+12 100,∵-100<0,8≤x≤18,∴当x=18时,w最大值=
-100×(18-19)2+12 100=12 000,故当销售单价定为18元时,销售这种神舟飞船纪念章的日获利最大,最大利润为12 000元.
9.D　由题图可知选项A、B、C均正确;设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,且x1<1,x2>1,则有1-x1=x2-1,∴x1+x2=2.故选D.
10.D　由题表可以看出,当x取3.25与3.26之间的某个数时,y=0.02,即这个数是ax2+bx+c=0.02的一个根,故ax2+bx+c=0.02的一个解x的取值范围为3.2511.1.7或0.3
解析　∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点的横坐标就是方程x2-2x+0.5=0的两个根,∴令y=0,即x2-2x+0.5=0,解得x1≈0.3,x2≈1.7,
∴方程x2-2x+0.5=0的两个近似根是1.7或0.3.
12.4解析　(解法1:利用抛物线的对称性)根据题中图象可知,原点与表示4的点到直线x=2的距离相等,表示-1的点与表示5的点到直线x=2的距离相等,∵-1(解法2:利用不等式的性质)已知抛物线的对称轴为直线x=2,∴=2,∴x2=4-x1.∵-113.证明　(1)Δ=(-m)2-4(m-3)=m2-4m+12=(m-2)2+8,∵(m-2)2≥0,∴Δ>0,∴无论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点.
(2)当m=1时,二次函数的解析式为y=x2-x-2.
∵y=x2-x-2=-,a=1>0,∴当m=1时,函数有最小值,最小值为-.
14.B　∵抛物线y1=-x2+4x和直线y2=2x交点的横坐标为0和2,∴不等式-x2+4x>2x的解集为0y2的解集为015.x<-1或x>3
解析　∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的一个交点坐标为(-1,0),∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),∴不等式-x2+bx+c<0的解集为x<-1或x>3.
16.x<1或x>3
解析　整理ax2+(b-2)x+c>0得ax2+bx+c-2x>0,即ax2+bx+c>2x,作y=2x的图象,如图,由图象可知,不等式ax2+bx+c>2x的解集为x<1或x>3.
能力提升全练
17.C　设AD的长为x m,则AB的长为 m,当AB=6 m,即=6时,解得x=28,∵AD的长不能超过26 m,∴x≤26,故①不正确;∵菜园ABCD的面积为192 m2,∴x·=192,整理得x2-40x+384=0,解得x=24或x=16,∴AB的长有两个不同的值可以满足菜园ABCD的面积为192 m2,故②正确;设菜园ABCD的面积为y m2,根据题意得y=x·=-(x2-40x)=-(x-20)2+200,∵-<0,20<26,∴当x=20时,y有最大值,最大值为200,故③正确.故选C.
[变式1]　C　∵AB=m米,∴BC=(28-m)米,则S=AB·BC=m(28-m)=
-m2+28m,即S=-m2+28m(0∴当m=13时,S最大=195,即花园面积S的最大值为195平方米.
[变式2]　解析　(1)设垂直于墙的一边长x米,围成的矩形面积为S平方米,则平行于墙的一边长(120-3x)米,根据题意得S=x(120-3x)=
-3x2+120x=-3(x-20)2+1 200,∵-3<0,∴当x=20时,S取得最大值,最大值为1 200,∵120-3x=120-3×20=60,∴设计方案为垂直于墙的一边长20米,平行于墙的一边长60米,花园面积最大为1 200平方米.
(2)设购买牡丹m株,则购买芍药1 200×2-m=(2 400-m)株,∵学校计划购买费用不超过5万元,∴25m+15(2 400-m)≤50 000,解得m≤1 400,
∴最多可以购买1 400株牡丹.
18.-2解析　根据题意画出函数大致图象如下,观察函数图象知,当-2mx+n,∴不等式-x2+bx+c>mx+n的解集是-219.9
解析　∵抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,∴方程x2-6x+m=0有唯一解,即Δ=b2-4ac=36-4m=0,解得m=9.
[变式1]　答案　k<且k≠2
解析　本题易因忽略抛物线表达式的二次项系数不为0而致错.根据题意得解得k<且k≠2.
[变式2]　答案　k<-4
解析　∵二次函数y=-x2-4x+k中a=-1<0,∴该函数的图象开口向下,∵该函数图象的顶点在x轴下方,∴二次函数y=-x2-4x+k的图象与x轴没有交点,∴Δ=(-4)2-4×(-1)×k<0,解得k<-4.
[变式3]　答案　0解析　函数解析式可整理为y=(x+2)2-14,由题意可得平移后的函数解析式为y=(x+2+1)2-14+m=x2+6x-5+m,∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点,∴抛物线与x轴有两个交点,即方程x2+6x-5+m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=62-4×1×(m-5)>0,解得m<14,当m=5时,函数为y=x2+6x,过坐标原点,不符合题意,∴m应满足的条件为020.解析　∵初速度为10 m/s,g取10 m/s2,
∴h=10t-×10t2=10t-5t2.
(1)当h=0时,即10t-5t2=0,解得t=0(舍去)或t=2,
∴球抛出后经2秒回到起点.
(2)当h=1.8时,10t-5t2=1.8,解得t=0.2或t=1.8,∴球抛出0.2秒或1.8秒时离起点的高度达到1.8 m.
(3)球离起点的高度不能达到6 m,理由如下:若h=6,则10t-5t2=6,整理得5t2-10t+6=0,Δ=(-10)2-4×5×6=-20<0,∴原方程无实数解,∴球离起点的高度不能达到6 m.
21.解析　(1)根据题意得,w1=(8-m)x-30(0≤x≤500),w2=(20-12)x-(80+0.01x2)=-0.01x2+8x-80(0≤x≤300).
(2)∵8-m>0,∴w1随x的增大而增大,又0≤x≤500,∴当x=500时,w1有最大值,w1最大=-500m+3 970.w2=-0.01x2+8x-80=-0.01(x-400)2+1 520.
∵-0.01<0,对称轴为直线x=400,∴当0≤x≤300时,w2随x的增大而增大,∴当x=300时,w2有最大值,=-0.01×(300-400)2+1 520=1 420.综上,产销A产品的最大日利润为(-500m+3 970)元,产销B产品的最大日利润为1 420元.
(3)①若=,则-500m+3 970=1 420,解得m=5.1,
②若>,则-500m+3 970>1 420,解得m<5.1,
③若<,则-500m+3 970<1 420,解得m>5.1.
∵4≤m≤6,
∴当m=5.1时,选择A,B两种产品产销均可;
当4≤m<5.1时,选择A种产品产销;
当5.1素养探究全练
22.解析　(1)描出各点,画出图象如下:
(2)①观察表格数据可知,当x=50和x=130时,函数值相等,∴对称轴为直线x==90,顶点坐标为(90,49),∵抛物线开口向下,∴当乒乓球到达最高点时,乒乓球与球台之间的距离是49 cm,当y=0时,x=230,
∴当乒乓球落在对面球台上时,到起始点的水平距离是230 cm.
②设抛物线解析式为y=a(x-90)2+49,将(230,0)代入得,0=a(230-90)2+49,解得a=-0.002 5,∴抛物线解析式为y=-0.002 5(x-90)2+49.
(3)当OA=28.75 cm时,抛物线的解析式为y=-0.002 5(x-90)2+49,设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时,击球高度OA的值为h,则平移距离为(h-28.75)cm,∴平移后的抛物线的解析式为y=-0.002 5(x-90)2+49+h-28.75,当x=274时,y=0,∴-0.002 5×(274-90)2+49+h-28.75=0,解得h=64.39,故乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时,击球高度OA的值为64.39 cm.
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