2024华东师大版数学九年级下学期课时练--27.2.1 点与圆的位置关系（含解析）

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2024华东师大版数学九年级下学期
第27章　圆
27.2　与圆有关的位置关系
27.2.1　点与圆的位置关系
基础过关全练
知识点1　点与圆的位置关系
1.(2023广东珠海斗门模拟)已知☉O的半径为3 cm,点P到圆心O的距离OP=2 cm,则点P(　　)
A.在☉O外　　　　B.在☉O上　　
C.在☉O内　　　　D.无法确定
2.(2023吉林长春南关模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,
sin A=,以点C为圆心,R为半径作圆,使A、B两点中一点在圆内,一点在圆外,那么R的取值范围是　　　　.
3.(2023河南周口太康期末)在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,M为AB的中点.
(1)若以点C为圆心,2为半径作☉C,试判断点A,B,M与☉C的位置关系;
(2)若以点C为圆心作☉C,要使A,B,M三点中至少有一点在☉C内,且至少有一点在☉C外,则☉C的半径r的取值范围是多少
知识点2　圆的确定及三角形的外接圆
4.【易错题】(2023山西晋城陵川期末)已知AB=7 cm,则过点A,B,且半径为5 cm的圆有(　　)
A.0个　　B.1个　　C.2个　　D.无数个
5.【新独家原创】小明在上体育课时,不小心把眼镜的一个圆形镜片打碎了,需要配制一块同样大小的镜片.眼镜店的工作人员在一块镜片残片的边缘描出了点A、B、C,绘出三角形ABC,则这块镜片的圆心是(　　)
A.∠A、∠C平分线的交点
B.AB、AC边上的高线的交点
C.AB、AC边的垂直平分线的交点
D.AB、AC边上的中线的交点
6.【一题多解】(2023山西临汾尧都期末)如图,☉O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则☉O的直径为　　　　.
7.如图,在公路l的同侧有村庄A和村庄B,请经过A、B作一个圆,使该圆的圆心在公路l上.
8.2022年11月21日《世界知识产权指标》报告显示,2021年,中国成为有效专利数量、有效商标注册量以及工业品外观设计有效注册量最多的国家,展现出强劲的创新活力.爱设计的小华也设计了一款时尚的商标,该商标如图所示,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,BO的延长线交AC于点D,若∠ABD=23°,求∠A的度数.
能力提升全练
9.(2023江西中考,6,★☆☆)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为(　　)
A.3　　B.4　　C.5　　D.6
10.(2023四川巴中中考,8,★☆☆)如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO=(　　)
A.25°　　B.50°　　C.60°　　D.65°
11.【教材变式·P55习题T1】
【一题多变·已知圆,确定点与圆的位置关系】(2023吉林长春四十五中模拟,8,★★☆)已知矩形ABCD中,AB=8,BC=3,点P在边AB上,且BP=3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD长为半径的圆,那么下列判断正确的是(　　)
A.点B、C均在圆P外
B.点B在圆P外、点C在圆P内
C.点B在圆P内、点C在圆P外
D.点B、C均在圆P内
[变式·已知点与圆的位置关系,求圆的半径的取值范围](2023山东威海模拟,16,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是　　　　　　.
12.(2023内蒙古包头中考,9,★★☆)如图,☉O是锐角三角形ABC的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,连结DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为　(　　)
A.8　　　　 B.4　　 C.3.5　　　　D.3
13.(2022广西玉林中考,17,★★☆)如图,在7×5的网格中,各小正方形的边长均为1,点O,A,B,C,D,E均在格点处,点O是△ABC的外心,在不添加其他字母的情况下,除△ABC外,把你认为外心也是O的三角形都写出来:　　　　　　　　　　.
14.【子母模型】(2023陕西中考,24,★★☆)如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=45°,过点B作BC的垂线,交☉O于点D,并与CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足为M,交☉O于点F.
(1)求证:BD=BC;
(2)若☉O的半径r=3,BE=6,求线段BF的长.
素养探究全练
15.【推理能力】(2023吉林松原模拟)如图,△ABC是☉O的内接三角形,直径HF交AC于D,HF、BC的延长线交于点E.
(1)若HF⊥AB,求证:∠OAD=∠E;
(2)若A点是下半圆上一动点,当点A运动到什么位置时,△CDE的外心在△CDE一边上 请简述理由.
答案全解全析
基础过关全练
C　∵☉O的半径r=3 cm,点P到圆心的距离OP=d=2 cm,∴d∴点P在☉O内.
2.5解析　在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,sin A=,
∴sin A==,∴BC=5,∴AC===12.要使A、B两点中一点在圆内,一点在圆外,且CB3.解析　(1)在△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=3,AB的中点为M,∴AB===,CM=AB=.以点C为圆心,2为半径作☉C,∵AC=2,∴点A在圆上,∵CM=<2,∴点M在圆内,∵BC=3>2,∴点B在圆外.
(2)以点C为圆心作☉C,使A、B、M三点中至少有一点在☉C内时,r>,当至少有一点在☉C外时,r<3,故☉C的半径r的取值范围为4.C　本题容易出现忽视在弦AB的两侧各一个圆心而出错.如图,经过点A,B的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上,
则AM= cm,OA=5 cm,∴OM= cm,∴符合条件的圆有2个.
5.C　三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点.
6.4
解析　(解法1:构造直角三角形)如图,连结BO并延长,交☉O于点D,连结CD.∵BD为☉O的直径,∴∠BCD=90°.∵=,∴∠D=∠A=45°,∴∠DBC=90°-∠D=45°=∠D,∴BC=DC=4.在Rt△BCD中,BD2===4,∴☉O的直径为4.
(解法2:构造等腰直角三角形)如图,连结OB,OC,∵∠A=45°,∴∠BOC=90°,∵OB=OC,∴△BOC是等腰直角三角形,∵BC=4,∴BO=CO=BC·cos 45°=2,∴☉O的直径为4.
7.解析　如图,连结AB,作出AB的垂直平分线交直线l于O点,以O为圆心,OA的长为半径作圆,则☉O即为所求作的圆.
8.解析　如图,延长BD交☉O于E,连结AE,则∠BAE=90°.∵∠ABD=23°,∴∠AEB=90°-∠ABD=67°,∴∠ACB=∠AEB=67°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=67°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=46°.
9.D　根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆可知,经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为6.
10.D　如图,连结OB,∵∠C=25°,∴∠AOB=2∠C=50°,∵OA=OB,∴∠BAO=∠ABO==65°.
11.C　依据题意画出图形如下,连结CP.
∵AB=8,点P在边AB上,且BP=3AP,∴AP=2,∴r=PD==7,PC===9,∵PB=6<7,PC=9>7,∴点B在圆P内、点C在圆P外.
[变式]　答案　3解析　连结BD(图略),在直角△ABD中,AB=4,AD=3,则BD==5,由题图可知312.B　∵OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,∴AD=BD,AF=CF,BE=CE,∴DE,DF,EF是△ABC的中位线,∴DE=AC,DF=BC,EF=AB,∴DE+DF+EF=(AC+BC+AB)=×21=10.5,∵DE+DF=6.5,∴EF=10.5-6.5=4.
13.△ABD,△ACD,△BCD
解析　由题图可知OA==,OB==,OC==,OD==,OE==,∴OA=OB=OC=OD≠OE,∴除△ABC外,△ABD,△ACD,△BCD的外心都是点O,故答案为△ABD,△ACD,△BCD.
14.解析　(1)证明:如图,连结DC,则∠BDC=∠BAC=45°,∵BD⊥BC,∴∠BCD=90°-∠BDC=45°,∴∠BCD=∠BDC.∴BD=BC.
(2)∵∠DBC=90°,∴CD为☉O的直径,∴CD=2r=6,∴BC=CD·sin∠BDC=6×=3,∴EC===3,∵BF⊥AC,∴∠BMC=90°=∠EBC,∵∠BCM=∠BCM,∴△BCM∽△ECB,∴==,∴BM===2,CM===,连结CF,则∠F=∠BDC=45°,∴∠MCF=45°=∠F,∴MF=MC=,∴BF=BM+MF=2+.
方法解读　如图所示的是“子母型”相似三角形的三个基本模型,其共同特点是:相似的一大一小两个三角形存在“包含”关系,且有一个公共角和一条公共边.
15.解析　(1)证明:如图,连结OB,∵HF⊥AB,∴=,∴∠AOH=∠ACB=∠AOB,∵∠AOD+∠AOH=180°,∠ECD+∠ACB=180°,∴∠AOD=∠ECD,∵∠ODA=∠CDE,∴∠OAD=∠E.
(2)当AB是直径或AC⊥HF时,△CDE的外心在△CDE的一边上.理由如下:
①当AB是直径时,∠ACB=90°,∴∠DCE=90°,即△CDE是直角三角形,∴△CDE的外心在△CDE的边DE上;
②当A运动到使AC⊥HF时,△CDE是直角三角形,此时△CDE的外心在△CDE的边CE上.
综上所述,当AB是直径或AC⊥HF时,△CDE的外心在△CDE的一边上.
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