2024华东师大版数学九年级下学期课时练--27.2.3 切线（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024华东师大版数学九年级下学期课时练--27.2.3 切线（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 630.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-30 20:29:36 | ||
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文档简介
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2024华东师大版数学九年级下学期
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
27.2.3 切线
基础过关全练
知识点1 切线的判定与性质
1.(2023重庆中考B卷)如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,连结AC,若∠ACD=50°,则∠BAC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.(2023河北石家庄晋州期末)如图所示,△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是( )
A.∠O+∠P=90°
B.∠O+∠P=∠OMP
C.OM2+PM2=OP2
D.点N是OP的中点
3.(2023海南临高新盈中学模拟)如图,在☉O中,AB是直径,弦CD垂直AB于点P,过点D作☉O的切线,与AB的延长线相交于点E.若∠ABC=63°,则∠E等于 °.
4.(2023湖南衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
5.【新课标例75变式】如图,AD是☉O的直径,AB是弦,∠A+∠C=90°,CD∥AB,求证:BC是☉O的切线.
6.【新课标例76变式】(2023北京四中期中)下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知:☉O和☉O外一点P.
求作:过点P的☉O的切线.
作法:如图,
①连结OP;
②分别以点O和点P为圆心,大于OP的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;
③作直线MN,交OP于点C;
④以点C为圆心,CO的长为半径作圆,交☉O于A,B两点;
⑤作直线PA,PB.
直线PA、PB即为所求作☉O的切线.
(1)请根据上述作法完成尺规作图;
(2)连结OA,OB,可证∠OAP=∠OBP=90°,理由是 ;
(3)直线PA,PB是☉O的切线,依据是 .
知识点2 切线长的定义及定理
7.(2023甘肃天水清水期末)如图,PA,PB切圆O于点A、B,EF切圆O于点C,交PA,PB于E、F,PA=10,则△PEF的周长为 .
8.【易错题】(2023山东滨州中考)如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,且∠APB=56°,若点C是☉O上异于点A,B的一点,则∠ACB的大小为 .
9.【一题多解】如图,PA、PB分别与☉O相切于点A、B,☉O上有一点C,已知点A、B、C三等分☉O,∠P=60°,求证:四边形PACB是菱形.
知识点3 三角形的内切圆
10.(2023山东菏泽单县模拟)如图,点I是△ABC的内心,若∠AIB=125°,则∠C等于( )
A.65° B.70° C.75° D.80°
11.【易错题】(2023陕西师范大学附中月考)如图,△ABC的内心为I,连结AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是( )
A.DI=DB B.DI>DB
C.DI12.【教材变式·P73T15】(2023福建厦门集美模拟)如图,三角形纸片ABC的周长为24 cm,☉O是△ABC的内切圆,华华用剪刀在☉O的左侧沿着与☉O相切的任意一条直线MN剪下一个周长为8 cm的△AMN,那么BC的长是 cm.
13.【新考向·尺规作图】(2023福建福州鼓楼三牧中学期中)如图,已知△ABC,∠B=40°.
(1)在图中,用尺规作出△ABC的内切圆☉O,并标出☉O与边AB、BC、AC的切点D、E、F(保留痕迹,不必写出作法);
(2)连结EF、DF,求∠EFD的度数.
能力提升全练
14.(2023四川眉山中考,10,★☆☆)如图,AB切☉O于点B,连结OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连结CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
15.【数学文化】(2022湖南株洲中考,18,★☆☆)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切),如图所示.问题:此图中,正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10丈,☉O的半径为2丈,则BN的长度为
丈.
16.(2023江苏徐州中考,15,★★☆)如图,在☉O中,直径AB与弦CD交于点E,=2,连结AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB= °.
17.(2023湖北天门中考,13,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连结DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= °.
18.【最值问题】(2023河南鹤壁淇县模拟,23,★★☆)如图,王奶奶有一块三角形的布料,∠ABC=90°,她要裁一个圆片,已知AB=60 cm,BC=80 cm,为了充分地利用这块布料,使剪下来的圆片的直径尽量大些,她应该怎样裁剪 这个圆的直径是多少
19.【A字模型】(2023四川凉山州中考,27,★★☆)如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点F,点P是CD延长线上一点,DE⊥AP,垂足为点E,∠EAD=∠FAD.
(1)求证:AE是☉O的切线;
(2)若PA=4,PD=2,求☉O的半径和DE的长.
素养探究全练
20.【推理能力】(2023四川宜宾中考)如图,以AB为直径的☉O上有两点E、F,=,过点E作直线CD⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)求证:EM=EN;
(3)如果N是CM的中点,且AB=9,求EN的长.
答案全解全析
基础过关全练
1.B 如图,连结OC,∵直线CD与☉O相切于点C,∴∠OCD=90°,∵∠ACD=50°,∴∠ACO=90°-50°=40°,∵OC=OA,∴∠BAC=∠ACO=40°.
2.D A.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=90°,∴∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切线;B.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=∠OMP,∴∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切线;C.∵OM2+PM2=OP2,∴△OMP是直角三角形,且∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切线;D.点N是OP的中点不能得出∠OMP=90°,即不能判定PM是☉O的切线.
3.36
解析 如图,连结OD,∵AB⊥CD,∴∠CPB=90°.∵∠ABC=63°,∴∠PCB=90°-63°=27°,由圆周角定理得∠EOD=2∠PCB=54°,∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-54°=36°.
4.
解析 如图,设☉C与AB所在的直线相切,切点为点D,连结CD,
∵CD是☉C的半径,AB与☉C相切于点D,∴AB⊥CD,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB===10,∵S△ACB=AB·CD=AC·BC,∴10CD=48,解得CD=,∴r=CD=.
5.证明 如图,连结OB,∵OA=OB,∴∠A=∠ABO.∵CD∥AB,∴∠C+∠ABC=180°.∵∠A+∠C=90°,∴90°-∠A+∠ABC=180°,∴∠ABC-∠A=90°,∴∠ABC-∠ABO=90°,即∠OBC=90°.∵OB是☉O的半径,∴BC是☉O的切线.
6.解析 (1)如图,PA、PB为所求作.
(2)直径所对的圆周角为直角.
(3)过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线.
7.20
解析 ∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB=10,∵直线EF与☉O相切于点C,∴EA=EC,FC=FB,∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+CF+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA=2×10=20.
8.62°或118°
解析 本题易因考虑不周致错.当点C在优弧AB上时,如图,连结CA,BC,∵PA、PB切☉O于点A、B,∴∠PAO=∠PBO=90°,∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB=360°,∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-56°=124°,由圆周角定理知∠ACB=∠AOB=62°;当点C在劣弧AB上时,由圆内接四边形的性质得∠ACB=118°,故∠ACB的大小为62°或118°.
9.证明 (证法1:四条边相等的四边形是菱形)如图1,连结AB,∵点A、B、C三等分☉O,∴==,∴AC=BC=AB.∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB.∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形,∴PA=AB=PB,∴PA=AC=CB=BP,∴四边形PACB是菱形.
(证法2:一组邻边相等的平行四边形是菱形)如图2,连结OA、OB、OC,∵点A、B、C三等分☉O,∴==,∴∠BOC=×360°=120°.∵OB=OC,∴∠OBC=×
(180°-120°)=30°.∵PB切☉O于点B,∴∠PBO=90°,∴∠PBC=90°+30°=120°,∴∠P+∠PBC=60°+120°=180°,∴PA∥BC.同理PB∥AC,∴四边形PACB是平行四边形.∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB,∴四边形PACB是菱形.
10.B ∵∠AIB=125°,∴∠IAB+∠IBA=55°,∵点I是△ABC的内心,∴∠IAB=∠CAB,∠IBA=∠ABC,∴∠CAB+∠ABC=110°,∴∠C=180°-(∠CAB+∠ABC)=70°.
11.A 题图中的圆是外接圆,而点I是△ABC的内心,即内切圆的圆心,容易弄混内心和外心的性质导致错误.如图,连结BI,∵△ABC的内心为I,∴∠1=∠2,∠5=∠6,∵∠3=∠1,∴∠3=∠2,∴∠4=∠2+∠6=∠3+∠5,即∠4=∠DBI,∴DI=DB.
12.8
解析 如图,设D,H,E,G分别是直线AB,MN,AC,BC与☉O的切点.∵☉O是△ABC的内切圆,∴BD=BG,CE=CG,MH=ME,NH=ND,∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MH+NH+AN=AM+ME+AN+ND=AE+AD=
8 cm.∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AD+BD+AE+EC+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=
24 cm,∴BC=8 cm.
13.解析 (1)如图,☉O即为所求作.
(2)连结OD,如图,∵☉O与边AB,BC,AC的切点分别为D,E,F,∴OD⊥AB,OE⊥BC,∴∠ODB=∠OEB=90°,∴∠DOE=180°-∠ABC=180°-40°=140°,∴∠EFD=∠DOE=70°.
能力提升全练
14.C 如图,连结OB,∵AB切☉O于B,∴半径OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∵BD∥OA,∴∠D=∠OCD=25°,∴∠O=2∠D=50°,
∴∠A=90°-∠O=40°.
15.(8-2)
解析 如图,设正方形的一边与☉O的切点为C,连结OC,则OC⊥AC,∵四边形是正方形,AB是对角线,∴∠OAC=45°,∴OA=OC=2(丈),∴BN=AB-OA-ON=10-2-2=(8-2)丈.
16.66
解析 如图,连结OC,OD,∵BF是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴OB⊥BF,∴∠ABF=90°,∵∠AFB=68°,∴∠BAF=90°-∠AFB=22°,∴∠BOD=2∠BAF=44°,∵=2,∴∠COA=2∠BOD=88°,∴∠CDA=∠COA=44°,∵∠DEB是△AED的一个外角,∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
17.35
解析 如图,连结OD,OE,OB,OB交ED于点G,∵∠ACB=70°,∴∠CAB+∠CBA=110°,∵点O为△ABC内切圆的圆心,∴∠OAB+∠OBA=55°,∴∠AOB=125°,∵AB,BC与☉O分别切于点D、E,∴BD=BE,∵OE=OD,∴OB垂直平分DE,∴∠OGE=90°,∴∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°.
18.解析 为使剪下来的圆片的直径尽量大些,她应该剪出这个三角形布料的内切圆,如图所示,设点O为△ABC内切圆的圆心,r cm为内切圆的半径,连结OA、OB、OC,∵AB=60 cm,BC=80 cm,∠ABC=90°,∴AC===100(cm).∵S△ABC=
S△OAB+S△OBC+S△OAC,∴AB·BC=AB·r+BC·r+AC·r,∴×60×80=×60r+×80r+×100r,∴r=20,∴这个圆的直径是40 cm.
19.解析 (1)证明:如图1,连结OA,∵AB⊥CD,∴∠AFD=90°,∴∠FAD+∠ADF=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADF,∴∠FAD+∠OAD=90°,∵∠EAD=∠FAD,∴∠EAD+∠OAD=90°,即∠OAE=90°,∴OA⊥AE,∵OA是☉O的半径,∴AE是☉O的切线.
(2)如图2,连结AC,AO,∵CD为☉O的直径,∴∠CAD=90°,∴∠C+∠ADC=90°,∵∠FAD+∠ADC=90°,∴∠C=∠FAD,∵∠EAD=∠FAD,∴∠C=∠EAD,∵∠P=∠P,∴△ADP∽△CAP,∴=,
∵PA=4,PD=2,∴=,解得CP=8,∴CD=CP-PD=8-2=6,
∴☉O的半径为3,∴OA=3=OD,∴OP=OD+PD=5,∵∠OAP=90°=∠DEP,∠P=∠P,∴△OAP∽△DEP,∴=,即=,∴DE=,∴☉O的半径为3,DE的长为.
方法解读 相似三角形中的A字模型又称为金字塔模型,分为两种:一种是上下平行,另一种是上下不平行,如下图所示.
素养探究全练
20.解析 (1)证明:连结OE,如图,∵=,∴∠FAE=∠EAB,∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAB,
∴∠FAE=∠AEO,∴AF∥OE,∵AF⊥CD,∴OE⊥CD,∵OE是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(2)证明:由(1)知CD是☉O的切线,∵AB为☉O的直径,∴∠CEO=∠AEB=90°,∴∠AEO=∠BEC,∵∠AEO=∠EAC,
∴∠CEB=∠EAC,∵CM平分∠ACD,∴∠ECM=∠ACM,∴∠CEB+∠ECM=∠EAC+∠ACM,
∴∠ENM=∠EMN,∴EM=EN.
(3)由(2)知EM=EN,∠EMN=∠ENM,∴∠EMN=∠BNC,∵∠ECM=∠BCN,∴△EMC∽
△BNC,∴==,∵N是CM的中点,∴===2,∴EM=2BN,CE=2BC,∵∠BEC=∠EAB,∠BCE=∠ECA,∴△BEC∽△EAC,∴===,∴AE=2BE,在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,∴(2BE)2+BE2=(9)2,∴BE=9(舍负),∵EN=EM=2BN,∴EN=BE=6.∴EN的长为6.
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2024华东师大版数学九年级下学期
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
27.2.3 切线
基础过关全练
知识点1 切线的判定与性质
1.(2023重庆中考B卷)如图,AB为☉O的直径,直线CD与☉O相切于点C,连结AC,若∠ACD=50°,则∠BAC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.(2023河北石家庄晋州期末)如图所示,△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是( )
A.∠O+∠P=90°
B.∠O+∠P=∠OMP
C.OM2+PM2=OP2
D.点N是OP的中点
3.(2023海南临高新盈中学模拟)如图,在☉O中,AB是直径,弦CD垂直AB于点P,过点D作☉O的切线,与AB的延长线相交于点E.若∠ABC=63°,则∠E等于 °.
4.(2023湖南衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 .
5.【新课标例75变式】如图,AD是☉O的直径,AB是弦,∠A+∠C=90°,CD∥AB,求证:BC是☉O的切线.
6.【新课标例76变式】(2023北京四中期中)下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知:☉O和☉O外一点P.
求作:过点P的☉O的切线.
作法:如图,
①连结OP;
②分别以点O和点P为圆心,大于OP的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;
③作直线MN,交OP于点C;
④以点C为圆心,CO的长为半径作圆,交☉O于A,B两点;
⑤作直线PA,PB.
直线PA、PB即为所求作☉O的切线.
(1)请根据上述作法完成尺规作图;
(2)连结OA,OB,可证∠OAP=∠OBP=90°,理由是 ;
(3)直线PA,PB是☉O的切线,依据是 .
知识点2 切线长的定义及定理
7.(2023甘肃天水清水期末)如图,PA,PB切圆O于点A、B,EF切圆O于点C,交PA,PB于E、F,PA=10,则△PEF的周长为 .
8.【易错题】(2023山东滨州中考)如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,且∠APB=56°,若点C是☉O上异于点A,B的一点,则∠ACB的大小为 .
9.【一题多解】如图,PA、PB分别与☉O相切于点A、B,☉O上有一点C,已知点A、B、C三等分☉O,∠P=60°,求证:四边形PACB是菱形.
知识点3 三角形的内切圆
10.(2023山东菏泽单县模拟)如图,点I是△ABC的内心,若∠AIB=125°,则∠C等于( )
A.65° B.70° C.75° D.80°
11.【易错题】(2023陕西师范大学附中月考)如图,△ABC的内心为I,连结AI并延长交△ABC的外接圆于D,则线段DI与DB的关系是( )
A.DI=DB B.DI>DB
C.DI
13.【新考向·尺规作图】(2023福建福州鼓楼三牧中学期中)如图,已知△ABC,∠B=40°.
(1)在图中,用尺规作出△ABC的内切圆☉O,并标出☉O与边AB、BC、AC的切点D、E、F(保留痕迹,不必写出作法);
(2)连结EF、DF,求∠EFD的度数.
能力提升全练
14.(2023四川眉山中考,10,★☆☆)如图,AB切☉O于点B,连结OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连结CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )
A.25° B.35° C.40° D.45°
15.【数学文化】(2022湖南株洲中考,18,★☆☆)中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段,一角圆池占之.”意思是说:一块正方形田地,在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切),如图所示.问题:此图中,正方形一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方),若AB的长度为10丈,☉O的半径为2丈,则BN的长度为
丈.
16.(2023江苏徐州中考,15,★★☆)如图,在☉O中,直径AB与弦CD交于点E,=2,连结AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB= °.
17.(2023湖北天门中考,13,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连结DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= °.
18.【最值问题】(2023河南鹤壁淇县模拟,23,★★☆)如图,王奶奶有一块三角形的布料,∠ABC=90°,她要裁一个圆片,已知AB=60 cm,BC=80 cm,为了充分地利用这块布料,使剪下来的圆片的直径尽量大些,她应该怎样裁剪 这个圆的直径是多少
19.【A字模型】(2023四川凉山州中考,27,★★☆)如图,CD是☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点F,点P是CD延长线上一点,DE⊥AP,垂足为点E,∠EAD=∠FAD.
(1)求证:AE是☉O的切线;
(2)若PA=4,PD=2,求☉O的半径和DE的长.
素养探究全练
20.【推理能力】(2023四川宜宾中考)如图,以AB为直径的☉O上有两点E、F,=,过点E作直线CD⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)求证:EM=EN;
(3)如果N是CM的中点,且AB=9,求EN的长.
答案全解全析
基础过关全练
1.B 如图,连结OC,∵直线CD与☉O相切于点C,∴∠OCD=90°,∵∠ACD=50°,∴∠ACO=90°-50°=40°,∵OC=OA,∴∠BAC=∠ACO=40°.
2.D A.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=90°,∴∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切线;B.∵∠O+∠P+∠OMP=180°,且∠O+∠P=∠OMP,∴∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切线;C.∵OM2+PM2=OP2,∴△OMP是直角三角形,且∠OMP=90°,可判定PM是☉O的切线;D.点N是OP的中点不能得出∠OMP=90°,即不能判定PM是☉O的切线.
3.36
解析 如图,连结OD,∵AB⊥CD,∴∠CPB=90°.∵∠ABC=63°,∴∠PCB=90°-63°=27°,由圆周角定理得∠EOD=2∠PCB=54°,∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-54°=36°.
4.
解析 如图,设☉C与AB所在的直线相切,切点为点D,连结CD,
∵CD是☉C的半径,AB与☉C相切于点D,∴AB⊥CD,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB===10,∵S△ACB=AB·CD=AC·BC,∴10CD=48,解得CD=,∴r=CD=.
5.证明 如图,连结OB,∵OA=OB,∴∠A=∠ABO.∵CD∥AB,∴∠C+∠ABC=180°.∵∠A+∠C=90°,∴90°-∠A+∠ABC=180°,∴∠ABC-∠A=90°,∴∠ABC-∠ABO=90°,即∠OBC=90°.∵OB是☉O的半径,∴BC是☉O的切线.
6.解析 (1)如图,PA、PB为所求作.
(2)直径所对的圆周角为直角.
(3)过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线.
7.20
解析 ∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB=10,∵直线EF与☉O相切于点C,∴EA=EC,FC=FB,∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+CF+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA=2×10=20.
8.62°或118°
解析 本题易因考虑不周致错.当点C在优弧AB上时,如图,连结CA,BC,∵PA、PB切☉O于点A、B,∴∠PAO=∠PBO=90°,∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB=360°,∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=360°-90°-90°-56°=124°,由圆周角定理知∠ACB=∠AOB=62°;当点C在劣弧AB上时,由圆内接四边形的性质得∠ACB=118°,故∠ACB的大小为62°或118°.
9.证明 (证法1:四条边相等的四边形是菱形)如图1,连结AB,∵点A、B、C三等分☉O,∴==,∴AC=BC=AB.∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB.∵∠P=60°,∴△PAB是等边三角形,∴PA=AB=PB,∴PA=AC=CB=BP,∴四边形PACB是菱形.
(证法2:一组邻边相等的平行四边形是菱形)如图2,连结OA、OB、OC,∵点A、B、C三等分☉O,∴==,∴∠BOC=×360°=120°.∵OB=OC,∴∠OBC=×
(180°-120°)=30°.∵PB切☉O于点B,∴∠PBO=90°,∴∠PBC=90°+30°=120°,∴∠P+∠PBC=60°+120°=180°,∴PA∥BC.同理PB∥AC,∴四边形PACB是平行四边形.∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B,∴PA=PB,∴四边形PACB是菱形.
10.B ∵∠AIB=125°,∴∠IAB+∠IBA=55°,∵点I是△ABC的内心,∴∠IAB=∠CAB,∠IBA=∠ABC,∴∠CAB+∠ABC=110°,∴∠C=180°-(∠CAB+∠ABC)=70°.
11.A 题图中的圆是外接圆,而点I是△ABC的内心,即内切圆的圆心,容易弄混内心和外心的性质导致错误.如图,连结BI,∵△ABC的内心为I,∴∠1=∠2,∠5=∠6,∵∠3=∠1,∴∠3=∠2,∴∠4=∠2+∠6=∠3+∠5,即∠4=∠DBI,∴DI=DB.
12.8
解析 如图,设D,H,E,G分别是直线AB,MN,AC,BC与☉O的切点.∵☉O是△ABC的内切圆,∴BD=BG,CE=CG,MH=ME,NH=ND,∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MH+NH+AN=AM+ME+AN+ND=AE+AD=
8 cm.∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AD+BD+AE+EC+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=
24 cm,∴BC=8 cm.
13.解析 (1)如图,☉O即为所求作.
(2)连结OD,如图,∵☉O与边AB,BC,AC的切点分别为D,E,F,∴OD⊥AB,OE⊥BC,∴∠ODB=∠OEB=90°,∴∠DOE=180°-∠ABC=180°-40°=140°,∴∠EFD=∠DOE=70°.
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14.C 如图,连结OB,∵AB切☉O于B,∴半径OB⊥AB,∴∠ABO=90°,∵BD∥OA,∴∠D=∠OCD=25°,∴∠O=2∠D=50°,
∴∠A=90°-∠O=40°.
15.(8-2)
解析 如图,设正方形的一边与☉O的切点为C,连结OC,则OC⊥AC,∵四边形是正方形,AB是对角线,∴∠OAC=45°,∴OA=OC=2(丈),∴BN=AB-OA-ON=10-2-2=(8-2)丈.
16.66
解析 如图,连结OC,OD,∵BF是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴OB⊥BF,∴∠ABF=90°,∵∠AFB=68°,∴∠BAF=90°-∠AFB=22°,∴∠BOD=2∠BAF=44°,∵=2,∴∠COA=2∠BOD=88°,∴∠CDA=∠COA=44°,∵∠DEB是△AED的一个外角,∴∠DEB=∠BAF+∠CDA=66°.
17.35
解析 如图,连结OD,OE,OB,OB交ED于点G,∵∠ACB=70°,∴∠CAB+∠CBA=110°,∵点O为△ABC内切圆的圆心,∴∠OAB+∠OBA=55°,∴∠AOB=125°,∵AB,BC与☉O分别切于点D、E,∴BD=BE,∵OE=OD,∴OB垂直平分DE,∴∠OGE=90°,∴∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°.
18.解析 为使剪下来的圆片的直径尽量大些,她应该剪出这个三角形布料的内切圆,如图所示,设点O为△ABC内切圆的圆心,r cm为内切圆的半径,连结OA、OB、OC,∵AB=60 cm,BC=80 cm,∠ABC=90°,∴AC===100(cm).∵S△ABC=
S△OAB+S△OBC+S△OAC,∴AB·BC=AB·r+BC·r+AC·r,∴×60×80=×60r+×80r+×100r,∴r=20,∴这个圆的直径是40 cm.
19.解析 (1)证明:如图1,连结OA,∵AB⊥CD,∴∠AFD=90°,∴∠FAD+∠ADF=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADF,∴∠FAD+∠OAD=90°,∵∠EAD=∠FAD,∴∠EAD+∠OAD=90°,即∠OAE=90°,∴OA⊥AE,∵OA是☉O的半径,∴AE是☉O的切线.
(2)如图2,连结AC,AO,∵CD为☉O的直径,∴∠CAD=90°,∴∠C+∠ADC=90°,∵∠FAD+∠ADC=90°,∴∠C=∠FAD,∵∠EAD=∠FAD,∴∠C=∠EAD,∵∠P=∠P,∴△ADP∽△CAP,∴=,
∵PA=4,PD=2,∴=,解得CP=8,∴CD=CP-PD=8-2=6,
∴☉O的半径为3,∴OA=3=OD,∴OP=OD+PD=5,∵∠OAP=90°=∠DEP,∠P=∠P,∴△OAP∽△DEP,∴=,即=,∴DE=,∴☉O的半径为3,DE的长为.
方法解读 相似三角形中的A字模型又称为金字塔模型,分为两种:一种是上下平行,另一种是上下不平行,如下图所示.
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20.解析 (1)证明:连结OE,如图,∵=,∴∠FAE=∠EAB,∵OA=OE,∴∠AEO=∠EAB,
∴∠FAE=∠AEO,∴AF∥OE,∵AF⊥CD,∴OE⊥CD,∵OE是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(2)证明:由(1)知CD是☉O的切线,∵AB为☉O的直径,∴∠CEO=∠AEB=90°,∴∠AEO=∠BEC,∵∠AEO=∠EAC,
∴∠CEB=∠EAC,∵CM平分∠ACD,∴∠ECM=∠ACM,∴∠CEB+∠ECM=∠EAC+∠ACM,
∴∠ENM=∠EMN,∴EM=EN.
(3)由(2)知EM=EN,∠EMN=∠ENM,∴∠EMN=∠BNC,∵∠ECM=∠BCN,∴△EMC∽
△BNC,∴==,∵N是CM的中点,∴===2,∴EM=2BN,CE=2BC,∵∠BEC=∠EAB,∠BCE=∠ECA,∴△BEC∽△EAC,∴===,∴AE=2BE,在Rt△ABE中,AE2+BE2=AB2,∴(2BE)2+BE2=(9)2,∴BE=9(舍负),∵EN=EM=2BN,∴EN=BE=6.∴EN的长为6.
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