中小学教育资源及组卷应用平台
2024华东师大版数学九年级下学期
期中素养综合测试
(满分120分,限时100分钟)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.【新独家原创】王之涣的名句“白日依山尽,黄河入海流”为我们描绘了一幅景象壮阔、气势雄浑的画卷.将落日抽象成圆,黄河抽象成一条直线,如图所示的落日与黄河的位置关系是( )
A.相切 B.相离
C.相交 D.相离或相切
2.(2023江苏徐州中考)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为( )
A.y=(x+3)2+2 B.y=(x-1)2+2
C.y=(x-1)2+4 D.y=(x+3)2+4
3.【跨学科·物理】(2023浙江丽水中考)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间是 ( )
A.5秒 B.10秒 C.1秒 D.2秒
4.(2023重庆铜梁巴川中学月考)如图,AB是☉O的直径,CD与☉O的相切,与AB的延长线相交于点C,若∠C=26°,则∠A=( )
A.26° B.27° C.32° D.37°
5.【易错题】(2023山东临沂蒙阴模拟)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是( )
6.(2023贵州遵义仁怀模拟)如图,A、B、C三点在☉O上,点D为弦AB的中点,AB=8 cm,CD=6 cm,则OD=( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
7.(2023福建龙岩长汀模拟)已知抛物线y=ax2+4ax+3与x轴交于(-1,0),(m,0),该函数在m-1≤x≤-a时,下列说法正确的是( )
A.有最小值-1,有最大值3
B.有最小值0,有最大值3
C.有最小值-3,有最大值4
D.有最小值-1,有最大值4
8.【数学文化】(2023四川宜宾中考)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作,其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以点O为圆心、OA的长为半径的圆弧,N是AB的中点,MN⊥AB.“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式:l=AB+.当OA=4,∠AOB=60°时,l的值为( )
A.11-2 B.11-4 C.8-2 D.8-4
9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,D为BC的中点,连结AD.以点D为圆心,DA的长为半径作,若DM⊥AB于点E,DN⊥AC于点F,则图中阴影部分的面积为( )
A.π B.π-24
C.π-12 D.π-6
10.(2023黑龙江齐齐哈尔中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(3,0),对称轴为直线x=1,结合图象给出下列结论:
①abc>0;
②b=2a;
③3a+c=0;
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)有两个不相等的实数根;
⑤若点(m,y1),(-m+2,y2)均在该二次函数图象上,则y1=y2.
其中正确结论的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.【真实情境】(2023甘肃天水秦州华歧中学月考)共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放a辆单车,计划第三个月投放单车y辆,设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x,那么y与x的函数关系式是 .
12.(2023广东广州华南师大附中期末)如图,直线y=x-1与抛物线y=x2-3x+2都经过点A(1,0)和B(3,2),则不等式x-1>x2-3x+2的解集是 .
13.(2023重庆万州模拟)如图,☉O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为 .
14.【革命文化】(2023广东广州外国语学校期末)嘉兴南湖不仅是党的诞生地,它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏.如图所示的是南湖的一座三孔桥,某天测得最大桥拱的水面宽AB为6 m,桥顶C到水面AB的距离为2 m,则这个桥拱的半径为 m.
15.【跨学科·艺术】(2023湖南娄底模拟)如图,《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓,弧长约为π米,“弓”所在的圆的半径约为1.25米,则“弓”所对的圆心角的度数为 .
16.(2023重庆渝中巴蜀中学期末)如果关于x的不等式组有解,且关于x的二次函数y=(a-2)x2+2x+1的图象与x轴有交点,那么满足条件的所有整数a的和为 .
17.【社会主义先进文化】(2023吉林长春中考)2023年5月28日,C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”,是国际民航中高级别的礼仪).如图1,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图2,当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时,两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米,喷水口A、B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱的相遇点H'距地面
米.
18.(2023湖北武汉洪山卓刀泉中学期末)如图,☉O的半径为2,正八边形ABCDEFGH内接于☉O,对角线CE、DF相交于点M,连结OF,则△MEF的面积是 .
三、解答题(共66分)
19.[含评分细则](2023湖南永州冷水滩模拟)(8分)超市销售某种儿童玩具,该玩具的进价为100元/件,市场管理部门规定,该种玩具每件的利润不能超过进价的60%.现在超市的销售单价为140元,每天可售出50件,根据市场调查发现,如果销售单价每上涨2元,每天销售量会减少1件.设上涨后的销售单价为x元,每天售出y件.
(1)请写出y与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围;
(2)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大为多少
20.[含评分细则](2023江西中考)(10分)如图,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB为直径的☉O与AC相交于点D,E为上一点,且∠ADE=40°.
(1)求的长;
(2)若∠EAD=76°,求证:CB为☉O的切线.
21.[含评分细则]【中华优秀传统文化】(2023河南商丘柘城模拟)(10分)抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级非物质文化遗产之一.为弘扬传统文化,某校将抖空竹列入了体育课程.在学习了圆之后,数学兴趣小组的同学们对抖空竹进行了探究,示意图如图所示,已知绳AC,BD分别与空竹☉O相切于点C,D,且AC=BD,连结左右两个绳柄A,B,AB经过圆心O,交☉O于点E,F.
(1)求证:AE=BF;
(2)若AE=4,AC=8,求两个绳柄之间的距离.
22.[含评分细则]【新考向·代数推理】(2022吉林长春双阳二模改编)(12分)在平面直角坐标系中,函数y=x2-4mx-3m(m为常数)的图象记作G.
(1)设图象G的顶点的坐标为(x0,y0).
①求y0的值(用含x0的代数式表示);
②求证:y0≤;
(2)将图象G平移后得到的图象记作W,且图象W过原点,W对应的函数关系式为y=a(x-h)2+k,在x≤2的条件下,W对应的函数y的值随x的增大而减小,求证:k≤-4.
23.[含评分细则]【国防知识】(12分)我国著名科学家钱学森于20世纪40年代提出了一种新型导弹弹道设想,即“助推—滑翔”弹道,这种弹道可以让导弹在大气层中“打水漂”(如图),从而达到节省燃料,增加射程的目的,而且钱学森弹道在俯冲的最后阶段,弹速可达音速的20倍,雷达几乎无法捕捉.小明借鉴此改装了模型飞机.设飞机飞行时间为x秒,对应飞行高度为y米,测量数据得:
x 0 1 2 3 4 8 16 40 41 42 43 44
y 0 5 8 9 8 4 2 0.8 0.75 0.6 0.35 0
(1)根据所给数据,画出y与x的函数图象;
(2)利用初中所学的函数知识分析图象,那么该函数图象可以分为 段来研究;
(3)请你用解析式法来表示y与x的函数关系,并注明自变量的取值范围.
24.[含评分细则](2023山东威海中考)(14分)已知:射线OP平分∠MON,A为OP上一点,☉A交射线OM于点B,C,交射线ON于点D,E,连结AB,AC,AD.
(1)如图1,若AD∥OM,试判断四边形OBAD的形状,并说明理由;
(2)如图2,过点C作CF⊥OM,交OP于点F,过点D作DG⊥ON,交OP于点G,求证:AG=AF.
答案全解全析
1.B 由题图可知,二者的位置关系是相离.
2.B 将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+1-2)2+3-1,即y=(x-1)2+2.
3.D 令h=0,得10t-5t2=0,解得t=0或t=2,∴球弹起后又回到地面所花的时间是2秒.
4.C 如图,连结OD,∵CD与☉O相切,∴∠ODC=90°,∵∠C=26°,∴∠DOC=64°,∴∠A=∠DOC=32°.
5.C 本题易因对函数性质掌握不牢致错.∵二次函数y=x2+a,∴抛物线开口向上,∵一次函数y=ax+2,∴图象与y轴的交点为(0,2),当a<0时,二次函数图象的顶点在y轴负半轴上,一次函数图象经过第一、二、四象限;当a>0时,二次函数图象顶点在y轴正半轴上,一次函数图象经过第一、二、三象限.故选C.
6.B 如图,连结OA,设OC=OA=r cm,∵点D为弦AB的中点,O为圆心,∴OD⊥AB,∵AB=8 cm,∴AD=BD=4 cm,∵CD=6 cm,∴OD=CD-OC=(6-r)cm,在Rt△AOD中,由勾股定理得OA2=OD2+AD2,∴r2=(6-r)2+42,解得r=,∴OD=6-=(cm).
7.A 将(-1,0)代入y=ax2+4ax+3得a-4a+3=0,解得a=1.将a=1代入y=ax2+4ax+3得y=x2+4x+3.当y=x2+4x+3=(x+1)(x+3)=0时,解得x=-1或-3,∴m=-3.∵y=x2+4x+3=(x+2)2-1,∴该抛物线开口向上,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,-1),与x轴交点坐标为(-1,0)和(-3,0),∴当-4≤x≤-1时,该二次函数的最小值为-1(x=-2时),最大值为3(x=-4时).
8.B 连结ON,如图,∵是以O为圆心,OA的长为半径的圆弧,N是AB的中点,MN⊥AB,∴ON⊥AB,∴M,N,O共线,∵OA=OB=4,∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=4,∠OAN=60°,∴ON=OA·sin 60°=2,∴MN=OM-ON=4-2,∴l=AB+=4+=11-4.
9.C ∵∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴BC==10,∵D为BC的中点,∴AD=BC=5,∵DM⊥AB,DN⊥AC,∠BAC=90°,∴四边形AEDF是矩形,∴DE∥AC,DF∥AB,∠MDN=90°,∵D为BC的中点,∴DE=AC=4,DF=AB=3,∴阴影部分的面积为-4×3=π-12.
10.B ∵抛物线开口向上,∴a>0,∵对称轴在y轴右侧,∴b<0,∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①正确;∵x=-=1,∴b=-2a,故②错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),∴a-b+c=0,∵b=-2a,∴3a+c=0,故③正确;方程ax2+bx+c+k2=0(a≠0)的解可看作抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=-k2的交点,∵-k2≤0,∴当直线y=-k2过抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点时,两图象只有一个交点,即方程ax2+bx+c+k2=0有两个相等的实数根,故④错误;∵点(m,y1),(-m+2,y2)关于直线x=1对称,∴y1=y2,故⑤正确.故选B.
11.y=a(1+x)2
解析 由题意可得y与x的函数关系式为y=a(1+x)2.
12.1解析 直线y=x-1与抛物线y=x2-3x+2都经过点A(1,0)和B(3,2),由图象得不等式x-1>x2-3x+2的解集是113.7
解析 ∵AB、AC、BC都是☉O的切线,∴AD=AE,BD=BF,CE=CF,∵AB=4,AC=5,AD=1,∴AE=AD=1,BD=BF=3,CE=CF=4,∴BC=BF+CF=3+4=7.
14.
解析 如图,设点O是所在圆的圆心,连结BO,DO,易知C、D、O共线,由题意可得AD=BD=3 m,设半径BO=OC=x m,则DO=(x-2)m,由勾股定理可得x2=(x-2)2+32,解得x=,即这个桥拱的半径为 m.
15.90°
解析 设“弓”所对的圆心角的度数为n°,∵弧长l=,∴n===90,即“弓”所对的圆心角的度数为90°.
16.3
解析 解不等式≥-x得x≥,解不等式6(x-1)≤2x-3得x≤,∵该不等式组有解,∴≤,解得a≥-1,∵关于x的二次函数y=(a-2)x2+2x+1的图象与x轴有交点,∴方程(a-2)x2+2x+1=0有实数根,∴Δ=22-4(a-2)×1≥0且a-2≠0,解得a≤3且a≠2.综上所述,-1≤a≤3且a≠2,∴满足条件的整数a为-1,0,1,3,∵-1+0+1+3=3,∴满足条件的所有整数a的和为3.
17.19
解析 由题意可知A(-40,4)、B(40,4),H(0,20),设抛物线解析式为y=ax2+20(a≠0),将A(-40,4)代入解析式得4=1 600a+20,解得a=-,∴y=-+20,∵消防车同时后退10米,∴抛物线y=-+20向左平移后的抛物线解析式为y=-+20,令x=0,解得y=19.故两条水柱的相遇点H'距地面19米.
18.2-
解析 连结OE交DF于N,如图所示,
∵正八边形ABCDEFGH内接于☉O,∴DE=FE,∠EOF==45°,=,∴∠OEF=∠OFE=∠OED=67.5°,OE⊥DF,
∴△ONF是等腰直角三角形,∴ON=FN=OF=,∠OFM=45°,∴EN=OE-ON=2-,∠CED=∠DFE=67.5°-45°=22.5°,∴∠MEN=45°,∴△EMN是等腰直角三角形,∴MN=EN,∴MF=MN+FN=EN+ON=OE=2,∴S△MEF=MF·EN=×2×(2-)=2-.
19.解析 (1)由题意得y=50-(x-140)÷2×1=-x+120(140(2)根据题意得w=(x-100)=-(x-170)2+2 450,4分
∵a=-<0,
∴当x<170时,w随x的增大而增大,6分
∵140∴当x=160时,w有最大值,为2 400.8分
20.解析 (1)如图,连结OE,
∵∠ADE=40°,∴∠AOE=2∠ADE=80°,2分
∴∠EOB=180°-∠AOE=100°,
∵AB=4,∴☉O的半径是2,
∴的长==.5分
(2)证明:∵∠EAB=∠EOB=50°,∴∠BAC=∠EAD-∠EAB=76°-50°=26°,7分
∵∠C=64°,∴∠C+∠BAC=90°,
∴∠ABC=180°-(∠C+∠BAC)=90°,9分
∴直径AB⊥BC,∴CB为☉O的切线.10分
21.解析 (1)证明:连结OC,OD,如图所示,
∵AC,BD分别与☉O相切于点C,D,
∴∠ACO=∠BDO=90°.1分
在△ACO和△BDO中,
∴△ACO≌△BDO,∴AO=BO.4分
∵EO=FO,∴AE=BF.5分
(2)设OE=OC=x,则AO=x+4.在Rt△ACO中,由勾股定理得(x+4)2=x2+82,8分
解得x=6,∴AO=10,∴AB=20,
∴两个绳柄之间的距离AB为20.10分
22.解析 (1)①y=x2-4mx-3m=(x-2m)2-4m2-3m,1分
∵图象G的顶点的坐标为(x0,y0),
∴y0=-4m2-3m,x0=2m,∴y0=--x0.3分
②证明:y0=--x0=-+,5分
∵-≤0,∴y0≤.7分
(2)证明:W对应的函数解析式为y=(x-h)2+k,
∵图象W经过原点,∴k=-h2,10分
∵x≤2时,W对应的函数y的值随x的增大而减小,
∴h≥2,∴k=-h2≤-4,即k≤-4.12分
23.解析 (1)根据题表描点,连线,画出函数图象如下:
4分
(2)观察函数图象,可以分为3段来研究.6分
(3)当0≤x<4时,设函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),∴解得
∴y=-x2+6x;8分
当4≤x<40时,设函数解析式为y=(k≠0),
∴2=,解得k=32,∴y=;9分
当40≤x≤44时,设函数解析式为y=a'x2+b'x+c'(a'≠0),
∴解得
∴y=-x2+4x-,10分
∴y与x的函数关系式为
y=
12分
24.解析 (1)四边形OBAD是菱形.1分
理由:如图,作AS⊥DE于点S,作AT⊥BC于点T,∵OP平分∠MON,∴AS=AT,∠AOD=∠AOB,在Rt△ASD与Rt△ATB中,∴Rt△ASD≌Rt△ATB,∴SD=TB,2分
在Rt△ASO与Rt△ATO中,∴Rt△ASO≌Rt△ATO,∴SO=TO,∴SO-SD=TO-TB,即OD=OB,4分
∵AD∥OM,∴∠AOB=∠OAD.5分
∴∠AOD=∠OAD,∴AD=OD,
∴AD=OD=AB=OB,6分
∴四边形OBAD是菱形.7分
(2)证明:如图,连结FE,∵AS⊥DE,AT⊥BC,∴SD=SE=DE,TB=TC=BC.8分
∵SD=TB,∴DE=BC,
∵OD=OB,∴OD+DE=OB+BC,即OE=OC.9分
在△OEF与△OCF中,∴△OEF≌△OCF,∴∠OEF=∠OCF.11分
∵CF⊥OM,∴∠OEF=∠OCF=90°,∵AS⊥DE,DG⊥ON,∴∠ODG=∠OSA=∠OEF=90°,
∴DG∥SA∥EF,13分
∴==1,∴AG=AF.14分
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)