3.3 对数函数y=logax的图象和性质 同步练习（含解析）

3.3　对数函数y=logax的图象和性质
课后训练巩固提升
一、A组
1.函数f(x)=loga(x+2)(0A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限
2.函数y=的定义域是(　　).
A.[1,+∞) B.(0,+∞)
C.[0,1] D.(0,1]
3.若loga>1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是(　　).
A. B.
C. D.(0,1)∪(1,+∞)
4.已知m,n∈R,函数f(x)=m+lognx的图象如图所示,则m,n的取值范围分别是(　　).
(第4题)
A.m>0,0B.m<0,0C.m>0,n>1
D.m<0,n>1
5.设a=log54,b=(log53)2,c=log45,则(　　).
A.b>c>a B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
6.若函数y=loga(x+b)+c(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b,c的值分别为　　　　　.
7.已知函数f(x)=loga(2-ax)(a>0,且a≠1),若存在实数a,使函数f(x)在区间[0,1]上是关于x的减函数,则实数a的取值范围是　　　　　.
8.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若函数f(x)的最小值为-4,求a的值.
9.已知函数f(x)=ln 是奇函数.
(1)求m的值.
(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.
二、B组
1.不等式log0.5(2x)A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(-∞,0)
2.(多选题)关于函数f(x)=lg,下列说法正确的有(　　).
A.函数f(x)的定义域是(0,+∞)
B.函数f(x)是奇函数
C.函数f(x)的最小值为-lg 2
D.当01时,函数f(x)是减函数
3.函数f(x)=log2(3x+3-x)是(　　).
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
4.已知lobA.3b>3a>3c B.3a>3b>3c
C.3c>3b>3a D.3c>3a>3b
5.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f()=0,则不等式f(log4x)<0的解集为　　　　　.
6.函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c=　　　　　.
7.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值,及y取最大值时x的值.
8.我们知道对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),对任意x,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,若a>1,则当x>1时,f(x)>0.参照对数函数的性质,研究下面的问题:定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),并且当且仅当x>1时,f(x)>0成立.
(1)设x,y∈(0,+∞),求证:f=f(y)-f(x);
(2)设x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)>f(x2),比较x1与x2的大小.
1.解析:因为0答案:B
2.解析:要使函数有意义,只需lo(2x-1)≥0=lo1.
∴0<2x-1≤1,解得0答案:D
3.解析:由loga>1得loga>logaa,
则有解得答案:A
4.解析:由题中图象可知函数f(x)为增函数,
故n>1,又当x=1时,f(1)=m>0,
故m>0.
答案:C
5.解析:因为log45>log44=1,1=log55>log54>log53>(log53)2,所以c>a>b.
答案:D
6.解析:函数的图象恒过定点(3,2),
将其代入y=loga(x+b)+c,得2=loga(3+b)+c.
因为当a>0,且a≠1时,loga1=0恒成立,
所以c=2,3+b=1,故b=-2,c=2.
答案:-2,2
7.解析:令u=2-ax,∵a>0,且a≠1,
∴u=2-ax在区间[0,1]上是关于x的减函数.
又f(x)=loga(2-ax)在区间[0,1]上是关于x的减函数,∴函数y=logau是关于u的增函数,∴a>1.
∵x∈[0,1]时,u=2-ax恒为正数,∴2-a>0.
∴即1答案:(1,2)
8.解:(1)要使函数有意义,只需
解得-3所以函数f(x)的定义域为(-3,1).
(2)函数f(x)可化为f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].
因为-3因为0所以a=.
9.解:(1)f(-x)=ln=ln,
-f(x)=-ln=ln.
因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
即ln=ln,
所以,解得m=±1.
当m=1时,=-1,函数无意义,所以m=-1.
(2)f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.证明如下:
由(1)知f(x)=ln=ln.
任取x1,x2且x2>x1>1,则.
由x2>x1>1知,x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,
所以>0,
即>0,
所以1+>1+>0,
所以ln>ln,
即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在区间(1,+∞)上为减函数.
1.解析:原不等式等价于解得x>1.
故原不等式的解集为(1,+∞).
答案:A
2.解析:由>0知函数f(x)的定义域是(0,+∞),则函数f(x)是非奇非偶函数,所以A正确,B不正确;f(x)=lg=-lg(x+)≤-lg 2,即函数f(x)的最大值为-lg 2,所以C不正确;令x+=u,则当01时,u=x+是增函数,而函数y=lg u在区间(0,+∞)上是增函数,所以y=-lg(x+)在区间(0,1)上是增函数,在区间(1,+∞)上是减函数,故D正确.
答案:AD
3.解析:因为3x+3-x>0恒成立,所以f(x)的定义域为R.又因为f(-x)=log2(3-x+3x)=f(x),所以f(x)为偶函数.
答案:B
4.解析:由已知得b>a>c,因为y=3x在定义域内是增函数,所以3b>3a>3c.
答案:A
5.解析:∵f()=0,
∴不等式f(log4x)<0可化为f(log4x)又f(x)为定义在R上的偶函数,
∴f(|log4x|)∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
∴|log4x|<,
即-解得答案:,2
6.解析:由题中图象可知,当x≤0时,函数f(x)的图象过点(-1,0),(0,2),
则有解得a=b=2.
又由题图可知,函数y=logc,x>0的图象过点(0,2),则有logc=2,解得c=,
所以a+b+c=2+2+.
答案:
7.解:∵f(x)=2+log3x,x∈[1,9],
∴y=[f(x)]2+f(x2)=(2+log3x)2+(2+log3x2)=(log3x)2+6log3x+6=(log3x+3)2-3.
∵函数f(x)的定义域为[1,9],
∴要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足解得1≤x≤3.
令u=log3x,则0≤u≤1.
又函数y=(u+3)2-3在区间[-3,+∞)上单调递增,
∴当u=1,即x=3时,函数y=(u+3)2-3取得最大值13.
故当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
8.(1)证明:对任意x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y),把x用代替,把y用x代替,可得f(y)=f+f(x),即f=f(y)-f(x).
(2)解:先判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,设x3,x4∈(0,+∞),且x3>x4,则f(x3)-f(x4)=f.
又因为x3,x4∈(0,+∞),且x3>x4,所以>1.
由题意知,当且仅当x>1时,f(x)>0成立,
故f>0,
则f(x3)-f(x4)=f>0,
即f(x3)>f(x4).
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
因此对x1,x2∈(0,+∞),若f(x1)>f(x2),则可以得到x1>x2.
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