4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较+5信息技术支持的函数研究 同步练习（含解析）

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
课后训练
1.已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是(　　).
A.mC.p2.“红豆生南国,春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(单位:月)与枝数y(单位:枝)的散点图,那么红豆的枝数与生长时间的关系用下列哪个选项中的函数模型拟合最好 (　　)
A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t
C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2
3.已知y1=2x,y2=x2,y3=log2x,则当2A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2
D.y2>y3>y1
4.有一组实验数据如下表所示:
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
则最能体现这组数据关系的函数模型是(　　).
A.y=2x+1-1 B.y=x2-1
C.y=2log2x D.y=x3
5.设x∈(0,1),函数y=xp(p∈R)的图象在直线y=x的上方,则实数p的取值范围是(　　).
A.p≥0 B.0C.p<1 D.p>1
6.当0A.h(x)B.h(x)C.g(x)D.f(x)7.(多选题)有一组实验数据如表所示:
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
则下列所给函数模型较不适合的有(　　)
A.y=logax(a>1)
B.y=ax+b(a>1)
C.y=ax2+b(a>0)
D.y=logax+b(a>1)
8.(多选题)以下四种说法中,不正确的是(　　)
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xa>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.一定存在x0,使x>x0,总有ax>xn>logax
9.[2023江西南昌高三检测]茶文化起源于中国,中国饮茶据说始于神农时代.现代研究结果显示,饮茶温度最好不要超过60 ℃.一杯茶泡好后置于室内,1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃,给出三个茶温T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(00,0A.2.72分钟
B.2.82分钟
C.2.92分钟
D.3.02分钟
10.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数函数变化的变量是　　　　　.
11.某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系y=at(t∈N,a>0且a≠1)的图象如图所示.
有以下说法:
①第4个月时,剩留量就会低于;
②每个月减少的有害物质的质量都相等;
③当剩留量为时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中正确说法的序号是　　　　　.
12.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,如图请选择与容器相匹配的图象,A对应　　　　　,B对应　　　　　,C对应　　　　　,D对应　　　　　.
(第12题)
13.有时可用函数f(x)=描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N+),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.
(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降的;
(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121],(121,127],(127,133].当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.
14.某商场为了实现100万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该商场的要求
15.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间近似满足的关系图象如图所示.
(1)写出y关于t的函数关系式y=f(t);
(2)据进一步测定:每毫升血液中的含药量不少于0.25 μg时,治疗疾病有效.
①求服药一次后治疗疾病有效的时间;
②当t=5时,第二次服药,问t∈时,药效是否连续
16.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的关系式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时面积的10倍以上的最小月份(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1).
17.在国家大力发展新能源汽车产业政策下,我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年年底新能源汽车保有量为1 500辆,2020年年底新能源汽车保有量为2 250辆,2021年年底新能源汽车保有量为3 375辆.
(1)根据以上数据,试从y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),y=a·logbx(a>0,b>0且b≠1),y=ax+b(a>0)三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由),设从2019年年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆,求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式;
(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长,且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同,2019年年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆,预计到2024年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
1.答案:C
2.解析:根据题中所给的散点图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数的图象特征可得,用指数函数模型拟合最好.
答案:A
3.解析:在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)上,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
答案:B
4.解析:根据实验数据第一组(2.01,3),选项A,C,D显然不满足,故本题正确答案为B.
答案:B
5.解析:∵x∈(0,1)时,函数y=xp(p∈R)的图象在直线y=x的上方,
∴xp>x,且x∈(0,1),
∴p<1.
答案:C
6.D　
在同一坐标系下作出函数f(x)=x2,g(x)=,h(x)=x-2的图象,由图象知,D正确.
7.ABD　由所给数据可知y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变.
8.ABC
9.B　依据生活常识,茶温一般不会低于室内温度,因此选择模型③,得到解得因此20+75·()t≤60 ()tt2.82.
10.y2　从表格观察函数值y1,y2,y3,y4的增加值,哪个变量的增加值最大,则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,变量y1,y2,y3,y4都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.故填y2.
11.解析:由于函数的图象经过点(2,),因此函数的关系式为y=()t.当t=4时,y=()4=,故①正确;当t=1时,y=,较开始减少,当t=2时,y=,较上月减少,故每月减少的有害物质的质量不相等,故②不正确;分别令y=,解得t1=lo,t2=lo,t3=lo,t1+t2=t3.故③正确.
答案:①③
12.解析:A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.
答案:(4)　(1)　(3)　(2)
13.(1)证明:当x≥7时,f(x+1)-f(x)=.
而当x≥7时,函数y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0,故函数f(x+1)-f(x)单调递减,即当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降的.
(2)解:由题意可知0.1+15ln =0.85,整理得=e0.05,解得a=·6≈20.50×6=123,123∈(121,127],由此可知,该学科是乙学科.
14.解：在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象(图略).
观察图象可知,在区间[5,100]内,函数y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合商场的要求.
15.解:(1)将t=1,y=4分别代入y=kt,y=中,得k=4,a=3.从而y=f(t)=
(2)①当0≤t≤1时,由4t≥0.25,得≤t≤1;
当t>1时,由≥0.25,得1②连续.因为当t=5时,第二次服药,则t∈时,血液中的含药量增加得快,减少得慢,从而每毫升血液中的含药量还是一直不少于0.25 μg的,即药效是连续的.
16.解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=p+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=p+q(p>0)的值增加的越来越慢.
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,所以函数模型y=kax(k>0,a>1)更合适.由题意可知,x=2时,y=24,x=3时,y=36.所以解得所以该函数模型的关系式是y=(x∈N+).
(2)当x=0时,y=,所以元旦放入时凤眼莲的面积是m2.
由>10,得>10,所以x>lo10=因为5.7,所以x≥6,所以凤眼莲的覆盖面积是元旦放入时凤眼莲面积的10倍以上的最小月份是6月份.
17.解(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知,应选择的函数模型是y=a·bx(a>0,b>0且b≠1),由题意得解得所以y=1500·()x.
(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r,依题意得,50000(1-r)5=50000(1-10%),解得1-r=0设从2019年年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y辆,则有y=50000(1-r)x=50000,设从2019年年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车,则有1500·()x>50000,
化简得3·()x>100,所以lg3+x(lg3-lg2)>2+(2lg3-1),解得x>8.09,故从2019年年底起经过9年后,即2028年年底该地区的新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.
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