2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二上学期11月期中测试数学试题(含解析）

2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二上学期11月期中测试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为
( )
A. B. C. 或 D.
2.圆：和圆：的位置关系是
( )
A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切
3.若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为
( )
A. B.
C. D.
4.已知直线和平行，则实数的值等于
( )
A. 或 B. C. D. 或
5.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
6.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为
( )
A. B.
C. D.
7.若直线：与曲线：有两个不同的交点，则实数的取值范围是
( )
A. B.
C. 或 D.
8.吹奏乐器“埙”如图在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆半椭圆且为常数和半圆组成的曲线如图所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下面结论正确的是( )
A. 若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件
B. 若事件与是相互独立事件，则与也是相互独立事件
C. 若，，与相互独立，那么
D. 若，，与相互独立，那么
10.已知直线：，圆：的圆心坐标为，则下列说法正确的是
( )
A. 直线恒过点
B. ，
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 当时，圆上存在无数对点关于直线对称
11.设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，则
( )
A. B. 的周长的取值范围是
C. 当时，的面积为 D. 当时，为直角三角形
12.已知正方体的棱长为，点为平面内一动点，则下列说法正确的是
( )
A. 若点在棱上运动，则的最小值为
B. 若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为
C. 若点满足，则动点的轨迹是一条直线
D. 若点在直线上运动，则到棱的最小距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若连续抛掷两次质地均匀的正方体骰子，以分别得到的点数，作为点的坐标，则点落在圆内的概率为________．
14.已知点，到直线：的距离相等，则实数的值为________．
15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，已知，，若动点满足，设点的轨迹为，过点作直线，上恰有三个点到直线的距离为，则满足条件的一条直线的方程为________．
16.已知椭圆，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
甲、乙两名魔方爱好者在秒内复原魔方的概率分别是和如果在秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：
甲复原三次，第三次才成功的概率；
甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．
18.本小题分
已知中，，．
若，求边上的高所在直线的一般式方程；
若点为边的中点，求边所在直线的一般式方程．
19.本小题分
如图，在长方体中，，，点在上，且
求直线与所成角的余弦值．
求点到平面的距离．
20.本小题分
已知点，圆：．
若过点可以作两条圆的切线，求的取值范围；
当时，过直线上一点作圆的两条切线、，求四边形面积的最小值．
21.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，长半轴与短半轴的比值为．
求椭圆的方程；
设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程．
22.本小题分
如图，已知是直角梯形，，，，、分别为、的中点，，，将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图所示，设为的中点．
证明：；
若为线段上一点，且，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线斜率公式的应用，属于基础题．
分别求出，利用即可求解．
【解答】
解：由题意，得
因为直线与线段相交，
结合图象：
则，即．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的标准方程，圆与圆的位置关系，属于基础题．
求出两圆的圆心，半径，计算圆心距，比较圆心距与两半径的关系得出结论．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
，
两圆相交．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程，是基础题．
求出线段的中垂线的方程，联立直线方程求出圆心，由两点之间的距离公式求出半径，然后可得圆的标准方程；
【解答】
解：线段的中点为，又，所以线段的中垂线的方程为，即．
由解得即，圆的半径，
所以圆的方程为．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的性质，属于基础题．
由两条直线平行可得关于的方程，求解即可．
【解答】
解：因为直线和平行，
所以
得或．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题着重考查了平行四边形与平行六面体的性质、向量的定义与加减法则等知识，属于基础题．
利用向量加法的三角形法则以及平行六面体的性质即可求解．
【解答】
解：在平行六面体中，为与的交点；
；
故选D．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系，直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
利用点差法求解得 ，再根据点斜式求解即可得答案．
【解答】
解：设 ，则
所以 ，整理得 ，
因为 为弦 的中点，
所以 ，
所以 ，
所以弦 所在直线的方程为 ，即 ．
故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．
根据曲线表示为半圆，借助直线与圆的位置关系求解的范围．
【解答】
解：直线恒过定点，
由，得到，
所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆包括点，，如下图所示：
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，
当与半圆相切时，由，得，
由图可知，当时，与曲线有两个不同的交点，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数学文化及椭圆的方程的求解，是中档题．
由点在半圆上，得，易得，由得出，可得椭圆方程．
【解答】
解：点在半圆上，，得．
由题可知，，当的坐标为时，
半圆在点处的切线与直线平行，连接，则，
又，，
，，
半椭圆的方程为．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查互斥与对立事件判断，相互独立事件同时发生的概率，属于中档题．
根据互斥事件，相互独立事件相关概念，逐个判断可得结论．
【解答】
解：对于，由互斥事件的定义可知，事件，互斥，与也是互斥事件不成立，故A错误
特别地，若事件，对立，则与是同一事件，显然不互斥．
对于，若与相互独立，则与，与，与都是相互独立事件，故B正确
对于，如果与相互独立，则
，故C错误
对于，如果与相互独立，
则，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查直线与圆得关系，直线经过定点，属于中档题．
由球心坐标确定球方程，由直线形式确定直线经过的定点，再对照选项逐一判断即可．
【解答】对于选项A，可化为，当时，，故直线经过定点，A错误；
对于选项B，可化为，故其圆心为，
从而由题意，，即，，B正确；
对于选项C，圆的标准方程为，圆心到直线的距离最大值为，
从而直线被圆截得得弦长最短为，C正确；
对于选项D，当时，直线：即为经过圆心，
从而圆上存在无数对点关于直线对称，D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，向量的数量积以及三角形的面积，分析判断选项的正误即可．
【解答】
解：设椭圆的左焦点为，连接，则，
，A正确
的周长为，
为定值，的取值范围是，
的周长的取值范围是，B错误
将与椭圆方程联立，得，不妨设，的坐标为，．
，C正确，
将与椭圆方程联立，可得，不妨设，的坐标为，
又，，
为直角三角形，D正确故选ACD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线线垂直和动点的轨迹，以及两点的距离和点到直线的距离，考查转化思想和数形结合思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
化折线为直线，即可判断；取的中点，连接、、E、，即可证明四边形即为平面截正方体所得截面，从而求出截面周长，即可判断；根据线面垂直判断；利用空间向量法判断．
【解答】
解：对于：如图将平面展开与平面处于一个平面，连接与交于点，
此时取得最小值，即，故A错误；
对于：如图取的中点，连接、、E、，
因为点是棱的中点，所以且，
又且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以四边形即为平面截正方体所得截面，
又，，，
所以截面周长为，故B正确；
对于：如图，，平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，因为平面平面，
平面，平面，
又，所以在直线上，即动点的轨迹是一条直线，故C正确；
对于：如图建立空间直角坐标系，则，，设，
所以，，
所以到棱的距离，
所以当时，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查古典概型，属于基础题．
求得基本事件总数，符合题意的基本事件，即可求解．
【解答】解：基本事件总数为：，且每种结果出现的可能性都相等记事件为“点落
在圆内”，则事件所包含的基本事件
为：，共个，故．
14.【答案】或
【解析】【分析】本题考查点到直线的距离，属于基础题．
由题得，即可得解．
【解答】解：由点到直线的距离公式得，解得或．
15.【答案】或写出一条即可
【解析】【分析】本题考查与圆相关的轨迹问题，直线与圆的位置关系，属于中档题．
由题，得到，再分直线的斜率是否存在讨论．
【解答】解：因为，，点满足，设，则，
化简得，因为圆上恰有三个点到直线的距离为，所以圆心到直线的距离为若直线的斜率
不存在，直线的方程为若直线的斜率存在，设直线的方程为，即
，，解得，
直线的方程为：
16.【答案】
【解析】【分析】本题考查椭圆的离心率，属于中档题．
利用椭圆定义得到，，再由余弦定理得到，则，而，得解．
【解答】解：如图，点在椭圆上，所以，
又，，代入上式，得，．
在中，，
又，所以，即
17.【答案】解：记“甲第次复原成功”为事件，“乙第次复原成功”为事件，
依题意，．
“甲第三次才成功”为事件，且三次复原过程相互独立，
所以
“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件．
所．

【解析】本题考查相互独立事件同时发生的概率的求法，属于中档题．
甲第三次才成功，第一次、第二次都没成功，得这个事件为是解这个题的关键．
用间接法较简单，要熟练掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式．
18.【答案】解：，，
，
，
，
边上的高所在直线方程为：，
即．
因为点为边的中点，设
所以，解得，，，
因此边所在直线的方程为．

【解析】本道题考查了点斜式直线方程计算方法，以及直线垂直斜率所满足的条件，属于基础题．
结合垂直关系满足，计算出，结合点斜式直线方程，即可．
结合中点坐标计算公式，得到的坐标，由两点式方程，即可．
19.【答案】解：由题意，建立如图所示空间直角坐标系，
，
设直线与直线所成角为，
则．
由题意，
设平面的法向量为，
则，取，又，
所以到平面的距离为．
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与直线所成角的余弦值．
先求出平面的法向量，然后利用向量法求得点到平面的距离．
本题考查异面直线所成角的求解，点面距的求解，属中档题．
20.【答案】解：由题意得在圆外，
则，即，
又，即或，
所以或；
故的取值范围为；
时，圆方程为，
则圆的半径，圆心，
直线方程为，设圆心到直线的距离为，
，

【解析】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，化归转化思想，属中档题．
利用点在圆外代入得到不等式，结合曲线方程表示圆即可解答；
首先得到，再根据点到直线的距离公式求出的最小值，最后得到四边形面积的最小值．
21.【答案】解：，，，
，，
所以椭圆标准方程为．
易知当直线的斜率为或直线的斜率不存在时，不合题意．
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，
，，
联立，消去可得，
，，，
点在以为直径的圆上，
，
，
，
整理，得，解得或．
直线的方程为或．
【解析】本题考查了直线方程，以及椭圆的标准方程，直线与椭圆的关系．
由题可得，，再结合，求出、可得椭圆的标准方程．
判断当直线的斜率为或直线的斜率不存在时，不合题意设直线的方程为，，，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数关系可得，的值，由点在以为直径的圆上可得，从而可得关于的方程，解方程求出的值，可得直线的方程．
22.【答案】解：证明：如图，已知是直角梯形，，，，、分别为、的中点，，，
将直角梯形沿翻折，使得二面角的大小为，如图所示，设为的中点．
由图得：，，且，
在图中平面，是二面角的平面角，则，
是正三角形，且是的中点，，
又平面，平面，可得，
，，平面．
平面，
平面，．
平面，过点做平行线，
以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
设
则，，，．
，．
，，
设平面的法向量为
则，取，
设直线与平面所成角为，
，
，解得或．
故当为或时，直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查二面角的平面角、线面垂直的判定与性质、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
由题可得是二面角的平面角，利用其可说明平面，即可证明结论．
建立空间直角坐标系，设，由，可得，后表示出平面的法向量，利用直线与平面所成角的正弦值为得到关于的方程，即可得答案．
第1页，共1页