2023-2024学年河南省郑州市十所省级示范性高中高二上学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年河南省郑州市十所省级示范性高中高二上学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 196.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-30 11:08:42 | ||
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文档简介
2023-2024学年河南省郑州市十所省级示范性高中高二上学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
．( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.直线的一个方向向量是
( )
A. B. C. D.
3.如图，三棱锥中，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
5.直线，，若，则的值为
( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为
( )
A. B. C. D.
7.若直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是
( )
A. B. C. D.
8.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是
．( )
A. B. C. D.
9.已知空间向量，，，下列命题中正确的是( )
A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C. 若存在不全为的实数，，使得，则，，共面
D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，使得
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10.已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值可能是
( )
A. B. C. D.
11.已知直线与曲线有且仅有个公共点，则的取值可能是
( )
A. B. C. D.
12.如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则
( )
A. 直线与底面所成的角为
B. 平面与底面夹角的余弦值为
C. 直线与直线的距离为
D. 直线与平面的距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知点是点在坐标平面内的射影，则__________．
14.已知两条平行直线，则与间的距离为______
15.圆与圆的公共弦的长为 ．
16.已知椭圆的左右焦点分别为，其离心率，若是椭圆上任意一点，是椭圆的右顶点，则的周长为 ，的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
求适合下列条件的椭圆标准方程：
与椭圆有相同的焦点，且经过点
经过两点．
18.本小题分
经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求的长．
19.本小题分
一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
20.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求：
顶点的坐标；
直线的方程．
21.本小题分
已知圆，直线．求证：直线恒过定点．
直线被圆截得的弦何时最长、何时最短并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长．
22.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．
证明：平面
求二面角的平面角的正切值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的基本定理、三个向量共面的充要条件，即一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合．
根据共面向量定理逐项判定即可．
【解答】
对：，因此不满足题意；
对：，选项B不满足题意；
对：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此选项C正确；
对：显然有，于是选项D不满足题意．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的方向向量，属于基础题．
根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果．
【解答】
解：因为直线的斜率为，
所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，
所以的一个方向向量可以是，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，可求得答案．
解：由题意 ， ，
得 ，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的基本形式，属于基础题．
根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，方程表示的曲线是椭圆，
则
解可得：，且，
故的取值范围为；
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定及应用，属于基础题．
由，的系数交叉相乘相等，去掉重合的情况即可求解
【解答】
解： 因为直线：，
：，且，
所以，
解得或，
当时， ：，
：，两直线重合，所以不符合题意；
当时， ：，
：，，符合题意．
所以．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用．
【解答】
解：，是椭圆：的两个焦点，点在上，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是直线的方程，直线斜率与倾斜角的关系，属于中档题．
当时，直线的斜率不存在，倾斜角，当时，直线的斜率，结合正弦函数的值域及反比例函数的性质，可以分析出直线的斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围，综合讨论结果，可得答案．
【解答】
解：当时，直线的方程为：，
此时倾斜角，
当时，直线的方程为：，
直线的斜率，
直线的倾斜角，
综上所述：直线的倾斜角．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
先取的中点，连接，，，则就是异面直线与所成角或其补角，在中利用余弦定理即可求解．
【解答】
解：如图，取的中点，连接，，，
，分别是，的中点，
，，
就是与所成角或其补角，
设，由，
则，，，，
在中，根据余弦定理得，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的基本定理，考查学生的推理能力，属于中档题．
利用向量的线性运算，空间向量的基本定理，共面向量基本定理，即可判断正误．
【解答】
解：与共线，与所在的直线也可能重合，故A不正确；
根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确；
实数，，不全为，不妨设，
则，由共面向量定理知一定共面，故C正确；
只有当不共面时，空间任意一向量才能表示为，故D不正确．
故选C．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的截距概念，属于基础题．
讨论直线是否过原点，分别令，求得截距，根据截距关系即可求得的值．
【解答】
解：直线，由题意知，
若直线过原点，则，解得，满足题意；
若直线不过原点，即，
令，得；令，得，
则在轴上的截距为，在轴上的截距为，
则，解得或舍，
综上，的值可能是或．
故选AC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线过定点及圆的标准方程，同时考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
由已知直线过定点，曲线为半圆，利用直线与圆的位置关系即可求解．
【解答】
解：由，可得，
曲线的图象是单位圆的上半圆，如图所示，
直线过定点，
直线的斜率，，
当直线与圆相切时，由圆心到切线的距离等于半径，
可得，解得或舍去，
观察图象，当时，直线与曲线有且仅有个公共点，选项ABD符合．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离．
解：
如图所示，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
则 ， ， ， ， ， ，
选项： ，平面 的法向量 ，
设直线 与底面 所成的角为 ，
则 ，
直线 与底面 所成的角不为 ，故A错误；
选项： ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，则
设平面 与底面 的夹角为 ，
则 ，
平面 与底面 夹角的余弦值为 ，故B正确；
选项， ，
直线 与直线 的距离为： ，故C正确；
选项， ， 平面 ， 平面 ，
又 ，平面 的法向量 ，
直线 与平面 的距离为： ，故D正确；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据空间中点的对称关系得到点的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．
解：点是点 在坐标平面 内的正射影，
在坐标平面 上，横标和纵标与相同，而竖标为，
的坐标是 ，
，
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】将 变形为 ，再根据两平行间的距离公式求解即可．
解：因为 即为 ，
所以 与 间的距离
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的公共弦，点到直线的距离，属于基础题．
将两圆方程相减求出公共弦所在直线的方程，求出第一个圆的圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【解答】
解：圆与圆的方程相减得：，
圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
则公共弦长为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力，属于中档题．
先由椭圆的性质得出的值，求出的周长，进而求平面向量的数量积运算，得出最大值即可．
【解答】
解：由椭圆的离心率为，，
所以，解得，
故，
所以的周长为，
所以，，
设点坐标为，其中，
则有，解得：，
因为，，
所以．
即当时，取得最大值．
17.【答案】解：，
，，焦点在轴上，
，
，
，，
，
，
，
设所求椭圆的标准方程为，
将，两点坐标代入得
解得，
故所求椭圆的标准方程为．
【解析】本题主要考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，属于基础题．
先求出已知椭圆的焦点坐标，再利用点到两焦点距离和为即可求解
待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．
18.【答案】解： 椭圆方程为 ，
焦点分别为 ， ，
直线 过左焦点 倾斜角为 ，
直线 的方程为 ，
将 方程与椭圆方程消去 ，得
设 ， ， ， ，可得
，
因此， ．
故答案为：
【解析】【分析】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力．
求出椭圆的左焦点 ，根据点斜式设出 方程，联立直线方程与椭圆方程消去 ，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦 的长．
19.【答案】解：设动圆圆心为，半径为，
设圆的圆心为，圆的圆心为，
将圆的方程分别配方得：，，
当动圆与圆相外切时，有
当动圆同时与圆相内切时，有
将两式相加，得，
动圆圆心到点和的距离和是常数，
所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆．
，，，
，
圆心轨迹方程为．
【解析】本题考查椭圆的定义及标准方程，考查圆与圆的位置关系，属于一般题．
设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，则由圆与圆的位置关系可得，，相加可得，由此利用椭圆的定义求出轨迹方程．
20.【答案】解：由题意可得边上的高所在直线方程为即，
所以直线边所在的直线的斜率为，
则设它的方程为，
代入，可得，
即，
点在中线所在直线方程为上，
所以联立方程组并求解：
解方程组
解得
故C点坐标为
设，则，
把的坐标代入直线方程为，
把点的坐标代入，
可得
解得
故点，
故直线斜率为，
设直线的方程为，
代入，可得，
整理，得．
【解析】本题考查两条直线的交点以及待定系数法求直线方程
先求出直线的方程，然后通过方程组求出交点的坐标；
设出点坐标，求出的坐标，把点的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入，联立求出的坐标，然后可得直线的方程．
21.【答案】证明：直线的方程可化为，
联立
解得
所以直线恒过定点
解：直线恒过圆内一点，所以当直线过圆心时，被截得的弦长最长，为圆的直径．
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
直线的斜率为，
由，知，
由，
解得，
此时直线的方程是．
圆心到直线的距离为
，
所以最短弦长为，
故直线被圆截得的弦长最短时，，最短长度是．
【解析】本题考查直线恒过定点问题，采用分离参数法，借助于解方程组求解；圆中的弦长，应充分利用其图象的特殊性，属于基础题．
直线的方程可化为，要使直线恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得，易得定点；
当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长；当直线时，直线被圆截得的弦长最短．
22.【答案】证明：取的中点，连接，，
，是的中点．
，
，，
因为在底面的射影为的中点，
所以面，
又面面，所以面，
又面，所以，
因为，
所以平面
解：
如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系，
则
，，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，得，
取，得，
因为面，
所以即为平面的一个法向量，
则，
所以二面角的平面角的余弦值为，正弦值为，
故二面角的平面角的正切值
【解析】本题考查了线面垂直的证明，向量法求二面角，属于中档题．
连接，，根据几何体的性质得出，，利用直线与平面垂直的判定定理即可证明．
建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可利用夹角公式求余弦值，进而得正切值．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
．( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.直线的一个方向向量是
( )
A. B. C. D.
3.如图，三棱锥中，，，，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
5.直线，，若，则的值为
( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为
( )
A. B. C. D.
7.若直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是
( )
A. B. C. D.
8.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是
．( )
A. B. C. D.
9.已知空间向量，，，下列命题中正确的是( )
A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面
C. 若存在不全为的实数，，使得，则，，共面
D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数，，使得
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10.已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值可能是
( )
A. B. C. D.
11.已知直线与曲线有且仅有个公共点，则的取值可能是
( )
A. B. C. D.
12.如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则
( )
A. 直线与底面所成的角为
B. 平面与底面夹角的余弦值为
C. 直线与直线的距离为
D. 直线与平面的距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知点是点在坐标平面内的射影，则__________．
14.已知两条平行直线，则与间的距离为______
15.圆与圆的公共弦的长为 ．
16.已知椭圆的左右焦点分别为，其离心率，若是椭圆上任意一点，是椭圆的右顶点，则的周长为 ，的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
求适合下列条件的椭圆标准方程：
与椭圆有相同的焦点，且经过点
经过两点．
18.本小题分
经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求的长．
19.本小题分
一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
20.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求：
顶点的坐标；
直线的方程．
21.本小题分
已知圆，直线．求证：直线恒过定点．
直线被圆截得的弦何时最长、何时最短并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长．
22.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．
证明：平面
求二面角的平面角的正切值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的基本定理、三个向量共面的充要条件，即一个向量可以表示为另外两个向量的线性组合．
根据共面向量定理逐项判定即可．
【解答】
对：，因此不满足题意；
对：，选项B不满足题意；
对：根据题意知道，，不共面，而和显然位于向量和向量所成平面内，与向量不共面，因此选项C正确；
对：显然有，于是选项D不满足题意．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的方向向量，属于基础题．
根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果．
【解答】
解：因为直线的斜率为，
所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，
所以的一个方向向量可以是，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，可求得答案．
解：由题意 ， ，
得 ，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的基本形式，属于基础题．
根据题意，由椭圆的标准方程的形式可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，方程表示的曲线是椭圆，
则
解可得：，且，
故的取值范围为；
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定及应用，属于基础题．
由，的系数交叉相乘相等，去掉重合的情况即可求解
【解答】
解： 因为直线：，
：，且，
所以，
解得或，
当时， ：，
：，两直线重合，所以不符合题意；
当时， ：，
：，，符合题意．
所以．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用．
【解答】
解：，是椭圆：的两个焦点，点在上，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是直线的方程，直线斜率与倾斜角的关系，属于中档题．
当时，直线的斜率不存在，倾斜角，当时，直线的斜率，结合正弦函数的值域及反比例函数的性质，可以分析出直线的斜率的取值范围，进而得到倾斜角的范围，综合讨论结果，可得答案．
【解答】
解：当时，直线的方程为：，
此时倾斜角，
当时，直线的方程为：，
直线的斜率，
直线的倾斜角，
综上所述：直线的倾斜角．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
先取的中点，连接，，，则就是异面直线与所成角或其补角，在中利用余弦定理即可求解．
【解答】
解：如图，取的中点，连接，，，
，分别是，的中点，
，，
就是与所成角或其补角，
设，由，
则，，，，
在中，根据余弦定理得，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的基本定理，考查学生的推理能力，属于中档题．
利用向量的线性运算，空间向量的基本定理，共面向量基本定理，即可判断正误．
【解答】
解：与共线，与所在的直线也可能重合，故A不正确；
根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确；
实数，，不全为，不妨设，
则，由共面向量定理知一定共面，故C正确；
只有当不共面时，空间任意一向量才能表示为，故D不正确．
故选C．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的截距概念，属于基础题．
讨论直线是否过原点，分别令，求得截距，根据截距关系即可求得的值．
【解答】
解：直线，由题意知，
若直线过原点，则，解得，满足题意；
若直线不过原点，即，
令，得；令，得，
则在轴上的截距为，在轴上的截距为，
则，解得或舍，
综上，的值可能是或．
故选AC．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线过定点及圆的标准方程，同时考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
由已知直线过定点，曲线为半圆，利用直线与圆的位置关系即可求解．
【解答】
解：由，可得，
曲线的图象是单位圆的上半圆，如图所示，
直线过定点，
直线的斜率，，
当直线与圆相切时，由圆心到切线的距离等于半径，
可得，解得或舍去，
观察图象，当时，直线与曲线有且仅有个公共点，选项ABD符合．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离．
解：
如图所示，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
则 ， ， ， ， ， ，
选项： ，平面 的法向量 ，
设直线 与底面 所成的角为 ，
则 ，
直线 与底面 所成的角不为 ，故A错误；
选项： ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，则
设平面 与底面 的夹角为 ，
则 ，
平面 与底面 夹角的余弦值为 ，故B正确；
选项， ，
直线 与直线 的距离为： ，故C正确；
选项， ， 平面 ， 平面 ，
又 ，平面 的法向量 ，
直线 与平面 的距离为： ，故D正确；
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据空间中点的对称关系得到点的坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．
解：点是点 在坐标平面 内的正射影，
在坐标平面 上，横标和纵标与相同，而竖标为，
的坐标是 ，
，
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】将 变形为 ，再根据两平行间的距离公式求解即可．
解：因为 即为 ，
所以 与 间的距离
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的公共弦，点到直线的距离，属于基础题．
将两圆方程相减求出公共弦所在直线的方程，求出第一个圆的圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．
【解答】
解：圆与圆的方程相减得：，
圆的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，
则公共弦长为．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力，属于中档题．
先由椭圆的性质得出的值，求出的周长，进而求平面向量的数量积运算，得出最大值即可．
【解答】
解：由椭圆的离心率为，，
所以，解得，
故，
所以的周长为，
所以，，
设点坐标为，其中，
则有，解得：，
因为，，
所以．
即当时，取得最大值．
17.【答案】解：，
，，焦点在轴上，
，
，
，，
，
，
，
设所求椭圆的标准方程为，
将，两点坐标代入得
解得，
故所求椭圆的标准方程为．
【解析】本题主要考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，属于基础题．
先求出已知椭圆的焦点坐标，再利用点到两焦点距离和为即可求解
待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．
18.【答案】解： 椭圆方程为 ，
焦点分别为 ， ，
直线 过左焦点 倾斜角为 ，
直线 的方程为 ，
将 方程与椭圆方程消去 ，得
设 ， ， ， ，可得
，
因此， ．
故答案为：
【解析】【分析】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力．
求出椭圆的左焦点 ，根据点斜式设出 方程，联立直线方程与椭圆方程消去 ，利用根与系数的关系和弦长公式即可算出弦 的长．
19.【答案】解：设动圆圆心为，半径为，
设圆的圆心为，圆的圆心为，
将圆的方程分别配方得：，，
当动圆与圆相外切时，有
当动圆同时与圆相内切时，有
将两式相加，得，
动圆圆心到点和的距离和是常数，
所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆．
，，，
，
圆心轨迹方程为．
【解析】本题考查椭圆的定义及标准方程，考查圆与圆的位置关系，属于一般题．
设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，则由圆与圆的位置关系可得，，相加可得，由此利用椭圆的定义求出轨迹方程．
20.【答案】解：由题意可得边上的高所在直线方程为即，
所以直线边所在的直线的斜率为，
则设它的方程为，
代入，可得，
即，
点在中线所在直线方程为上，
所以联立方程组并求解：
解方程组
解得
故C点坐标为
设，则，
把的坐标代入直线方程为，
把点的坐标代入，
可得
解得
故点，
故直线斜率为，
设直线的方程为，
代入，可得，
整理，得．
【解析】本题考查两条直线的交点以及待定系数法求直线方程
先求出直线的方程，然后通过方程组求出交点的坐标；
设出点坐标，求出的坐标，把点的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入，联立求出的坐标，然后可得直线的方程．
21.【答案】证明：直线的方程可化为，
联立
解得
所以直线恒过定点
解：直线恒过圆内一点，所以当直线过圆心时，被截得的弦长最长，为圆的直径．
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
直线的斜率为，
由，知，
由，
解得，
此时直线的方程是．
圆心到直线的距离为
，
所以最短弦长为，
故直线被圆截得的弦长最短时，，最短长度是．
【解析】本题考查直线恒过定点问题，采用分离参数法，借助于解方程组求解；圆中的弦长，应充分利用其图象的特殊性，属于基础题．
直线的方程可化为，要使直线恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得，易得定点；
当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长；当直线时，直线被圆截得的弦长最短．
22.【答案】证明：取的中点，连接，，
，是的中点．
，
，，
因为在底面的射影为的中点，
所以面，
又面面，所以面，
又面，所以，
因为，
所以平面
解：
如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系，
则
，，
则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，得，
取，得，
因为面，
所以即为平面的一个法向量，
则，
所以二面角的平面角的余弦值为，正弦值为，
故二面角的平面角的正切值
【解析】本题考查了线面垂直的证明，向量法求二面角，属于中档题．
连接，，根据几何体的性质得出，，利用直线与平面垂直的判定定理即可证明．
建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可利用夹角公式求余弦值，进而得正切值．
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