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第一章 数与式
第二节 整式与因式分解
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式的相关概念 ☆☆ 本节内容在中考数学中难度中下，每年考查3题左右，分值为12分左右，主要考查整式的加减、乘除法则及幂的运算，难度一般不大，偶尔考察整式的基本概念。探究与表达规律、乘法公式的运用偶尔考查难度相对较大。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，难度不大。
考点2 整式的相关概念 ☆☆
考点3 整式的运算 ☆☆☆
考点4 因式分解 ☆☆
■考点一 代数式的相关概念
1.代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做 。
2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做 。
■考点二 整式的相关概念
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做 ，所有字母指数的和叫做单项式的 ，数字因数叫做单项式的 。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做 ，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的 ，其中不含字母的项叫做 。
3．整式：单项式和多项式统称为 。
■考点三 整式的运算
1．同类项：多项式中所含 相同并且相同字母的 也相同的项，叫做 。
2．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
3．幂的运算：am·an= ；（am）n= ；（ab）n= ；am÷an= 。
4．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）= 。
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）= 。
5．乘法公式：（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
6．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
7.整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面。
8.探究与表达规律常见类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。
5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。
■考点四 因式分解
1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫 ，因式分解与整式乘法是 运算。
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：。
（2）运用公式法：平方差公式：.完全平方公式：。
（3）十字相乘：；（4）分组分解。
3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一 二 三 ”。
■易错提示
1.规范书写格式：列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
2.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9。
3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式。
4.因式分解分解对象是多项式，分解结果必是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可。
■考点一 代数式的相关概念
◇典例1：（2023·吉林长春·统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
◆变式训练
1.（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝______；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为______．
2.（2023·安徽宣城·校考模拟预测）某工厂一月份的产值为a，二月份的产值比一月份增长了，三月份的产值又比二月份的产值增长了，则三月份的产值比一月份增长了（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（2023年江苏省南通市中考数学真题）若，则的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
◆变式训练
1．（2023年湖南省常德市中考数学真题）若，则( )
A．5 B．1 C． D．0
2.（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为3，则输出值为___________．
■考点二 整式的相关概念
◇典例3：（2022·广东·中考真题）单项式的系数为___________．
◆变式训练
1. （2023.山东省济宁市九年级期中）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，系数为0
C．多项式是二次三项式 D．在，，，，，0中整式有4个
2．（2020·四川绵阳市·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
◇典例4：（2023·广东东莞·统考一模）若和是同类项，则 ．
◆变式训练
1．（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
■考点三 整式的运算
◇典例5：（2023·辽宁丹东·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用等作为单位，其中
，某视频文件的大小约为等于( )
A． B． C． D．
◇典例6：（2023·陕西西安·校考二模）先化简，再求值：，其中，．
◆变式训练
1．（2023·山东青岛·统考中考真题）计算： ．
2．（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
3．（2023·浙江金华·统考中考真题）已知，求的值．
◇典例7：（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
◆变式训练
1．（2023·四川乐山·统考中考真题）若m、n满足，则 ．
2．（2023.江苏.九年级期中）已知，则x的值为 ．
3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
◇典例8：（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若实数m满足，则 ．
◆变式训练
1．（2023年四川省凉山州数学中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ．
2．（2023年河北省中考数学真题）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为_______．
◇典例9：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◆变式训练
1．（2023年湖北省随州市中考数学真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①： 公式②：
公式③： 公式④：
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为．
①若E为边AC的中点，则的值为_______；②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
◇典例10：（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A． B．m C． D．
◆变式训练
1.（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
2．（2023年湖南省常德市中考数学真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为( )
……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
3．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
◇典例11：（2023年四川省绵阳市中考数学真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.（2023年重庆市中考数学真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
2．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）
◇典例12：（2021·湖北鄂州市·中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？
◆变式训练
1.（2023上·广西河池·九年级统考期中）阅读下列材料：
我们把多项式及叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴当时，的最小值为；
再例如：求代数式的最大值．
解：
∵，∴，∴；
∴当时，的最大值为．
(1)【直接应用】代数式的最小值为_______；(2)【类比应用】若，试求的最小值；(3)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
■考点四 因式分解
◇典例13：（2023·四川攀枝花·统考中考真题）以下因式分解正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解： ．
2．（2023·江苏南京·九年级校考自主招生）因式分解：
(1)； (2)．
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ．
4.（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
1．（2023·江苏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的数字为 B．左下角的数字为
C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
3．（2023年山东省济宁市中考数学真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
4．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
5．（2022·四川德阳·中考真题）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．
6．（2023·四川雅安·统考中考真题）若，，则的值为 ．
7．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）因式分解： ．
8．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知，则的值等于 ．
9．（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
10．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
11．（2023·四川凉山·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．
12．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）观察下面的等式：，，，，…．
(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
13．（2023年河北省中考数学真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为．
(1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值；(2)比较与的大小，并说明理由．
1．（2023·山东·一模）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是－3 B．的次数是3
C．的各项分别为2a，b，1 D．多项式是二次三项式
2．（2023·江苏扬州·中考模拟）若，则括号内应填的单项式是( )
A．a B． C． D．
3．（2023·重庆沙坪坝·校考二模）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（ ）
A．96 B．88 C．86 D．98
4．（2023·江苏盐城·校联考二模）化简 所得的结果等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河北保定·九年级校考开学考试）下列各数中，不能被整除的是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．4
6．（重庆市西北狼教育联盟2023-2024学年八年级上学期开学学业调研数学试题）已知，则 ．
7．（2023·四川德阳·中考模拟）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ．
16
7
4
8．（2023·四川内江·中考模拟）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．
9．（2023·陕西西安·校考二模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图中的杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：按上述规律，则的展开式中，从左起第二项的系数为 ．
10．（2023上·广东·九年级校考期中）如果是一个完全平方公式，则 ．
11．（2023下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知，则的值为 ．
12．（2023·安徽·校联考二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，……根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
1．（2023·浙江·统考一模）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：（1）代数式：的“同心式”为；
（2）若与互为“同心式”，则的值为1；
（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
4．（2023年四川省成都市数学中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
5．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
6．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：(1)当，时，______，______；
(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；(3)当，时，令，，，…，，且，求T的值．
7．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距离为1，
所以，．
【实践应用】任务一 完善的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，所以，______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
【迁移拓展】长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．
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第一章 数与式
第二节 整式与因式分解
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 代数式的相关概念 ☆☆ 本节内容在中考数学中难度中下，每年考查3题左右，分值为12分左右，主要考查整式的加减、乘除法则及幂的运算，难度一般不大，偶尔考察整式的基本概念。探究与表达规律、乘法公式的运用偶尔考查难度相对较大。因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，难度不大。
考点2 整式的相关概念 ☆☆
考点3 整式的运算 ☆☆☆
考点4 因式分解 ☆☆
■考点一 代数式的相关概念
1.代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做 代数式 。
2.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
■考点二 整式的相关概念
1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做 单项式 ，所有字母指数的和叫做单项式的 次数 ，数字因数叫做单项式的 系数 。
2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做 多项式 ，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的 次数 ，其中不含字母的项叫做 常数项 。
3．整式：单项式和多项式统称为 整式 。
■考点三 整式的运算
1．同类项：多项式中所含 字母 相同并且相同字母的 指数 也相同的项，叫做 同类项 。
2．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
3．幂的运算：am·an= am+n ；（am）n= amn ；（ab）n= anbn ；am÷an= 。
4．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）= ma+mb+mc 。
（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）= ma+mb+na+nb 。
5．乘法公式：（1）平方差公式： ；（2）完全平方公式： 。
6．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。
7.整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面。
8.探究与表达规律常见类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数。
5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。
■考点四 因式分解
1．因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫因式分解 ，因式分解与整式乘法是互逆 运算.
2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：。
（2）运用公式法：平方差公式：.完全平方公式：。
（3）十字相乘：；（4）分组分解。
3．分解因式的一般步骤：
（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；
（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。
以上步骤可以概括为“一 提 二 套 三 检查 ”。
■易错提示
1.规范书写格式：列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
2.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式的次数是2＋3＋4=9。
3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式。
4.因式分解分解对象是多项式，分解结果必是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可。
■考点一 代数式的相关概念
◇典例1：（2023·吉林长春·统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 公里．（用含x的代数式表示）
【答案】
【分析】根据题意列出代数式即可．
【详解】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为．故答案为：．
【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．
◆变式训练
1.（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝______；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为______．
【答案】 4 1
【分析】①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可
②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可
③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子，个黑子，再根据要求算出y，即可
【详解】答题空1：
原甲：10 原乙：8
现甲：10-a 现乙：8+a
依题意：解得：故答案为：4
答题空2：
原甲：m 原乙：2m
现甲1：m-a 现乙1：2m+a
第一次变化后，乙比甲多：故答案为：
答题空3：
原甲：m黑 原乙：2m白
现甲1：m黑-a黑 现乙1：2m白+a黑
现甲2：m黑-a黑+a混合 现乙2：2m白+a黑-a混合
第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子
则： 故答案为：1
【点睛】本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法
2.（2023·安徽宣城·校考模拟预测）某工厂一月份的产值为a，二月份的产值比一月份增长了，三月份的产值又比二月份的产值增长了，则三月份的产值比一月份增长了（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得某工厂二月份的产值为，三月份的产值为，则三月份的产值比一月份增长．
【详解】解：∵某工厂二月份的产值为，三月份的产值为，
∴三月份的产值比一月份增长．故选D．
【点睛】此题主要考查了列代数式，关键是正确理解题意，准确的表示二月份的产值，三月份的产值．
◇典例2：（2023年江苏省南通市中考数学真题）若，则的值为（ ）
A．24 B．20 C．18 D．16
【答案】D
【分析】根据得到，再将整体代入中求值．
【详解】解：，得，变形为，
原式．故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键．
◆变式训练
1．（2023年湖南省常德市中考数学真题）若，则( )
A．5 B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】把变形后整体代入求值即可．
【详解】∵，∴
∴，故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
2.（2021·四川达州市·中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入的值为3，则输出值为___________．
【答案】2
【分析】根据运算程序的要求，将x=３代入计算可求解．
【详解】解：∵x=3＜4∴把x=3代入，解得：，∴值为2，答案：2．
【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，读懂运算程序的要求是解题的关键．
■考点二 整式的相关概念
◇典例3：（2022·广东·中考真题）单项式的系数为___________．
【答案】3
【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案．
【详解】的系数是3，故答案为：3．
【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义．
◆变式训练
1. （2023.山东省济宁市九年级期中）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是4 B．单项式m的次数是1，系数为0
C．多项式是二次三项式 D．在，，，，，0中整式有4个
【答案】D
【分析】根据单项式次数和系数的定义，多项式项和次数的定义，整式的定义进行求解即可．
【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，原结论错误，不符合题意；
B、单项式m的次数是1，系数为1，原结论错误，不符合题意；
C、多项式是三次三项式，原结论错误，不符合题意；
D、在，，，，，0中整式有，，和0，一共4个，原结论正确，符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，整式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义．
2．（2020·四川绵阳市·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则_____．
【答案】0或8
【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．
【详解】解：多项式是关于，的三次多项式，
，，，，
或，或，或8．故答案为：0或8．
【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．
◇典例4：（2023·广东东莞·统考一模）若和是同类项，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，先根据同类项的定义求出m和n的值，再把求得的m和n的值代入所给代数式计算即可．
【详解】解：∵和是同类项，
∴．∴．∴．故答案为：9．
◆变式训练
1．（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与为同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意；
C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意；
D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意．故选：B．
【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
■考点三 整式的运算
◇典例5：（2023·辽宁丹东·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意．故选：A．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
◆变式训练
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：和不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
2.（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用等作为单位，其中
，某视频文件的大小约为等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解．
【详解】依题意得=故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
◇典例6：（2023·陕西西安·校考二模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】先利用完全平方公式，平方差公式与单项式乘多项式运算法则去掉括号，然后再合并同列项计算，最后代入x，y计算即可．
【详解】解： ，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
◆变式训练
1．（2023·山东青岛·统考中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可．
【详解】解：原式，故答案为：．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，24
【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可．
【详解】
当时，原式．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键．
3．（2023·浙江金华·统考中考真题）已知，求的值．
【答案】
【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：．
当时，原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
◇典例7：（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后利用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，
∴，，∴，，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
◆变式训练
1．（2023·四川乐山·统考中考真题）若m、n满足，则 ．
【答案】16
【分析】先将已知变形为，再将变形为，然后整体代入即可．
【详解】解：∵∴
∴故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键．
2．（2023.江苏.九年级期中）已知，则x的值为 ．
【答案】，1，3
【分析】由已知可分三种情况：当时，；当时，；当时，，此时，等式成立．
【详解】解：∵，当时，；当时，；
当时，，此时，等式成立；故答案为：，1，3．
【点睛】本题考查有理数的乘方；熟练掌握有理数的乘方的性质，切勿遗漏零指数幂的情况是解题关键．
3．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下：
YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）：等于；
JXND（觉醒年代）：的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大．
其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．
【答案】DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
，，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．
◇典例8：（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若实数m满足，则 ．
【答案】
【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．
◆变式训练
1．（2023年四川省凉山州数学中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ．
【答案】
【分析】根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：．
2．（2023年河北省中考数学真题）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：，
能被3整除，∴的值总能被3整除，故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．
3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为_______．
【答案】或
【分析】直接利用完全平方公式求解．
【详解】解：∵代数式是一个完全平方式，
∴，
∴，解得或，故答案为：或
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．
◇典例9：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
① ②
③ ④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：．
【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．
◆变式训练
1．（2023年湖北省随州市中考数学真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数．
2．（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①： 公式②：
公式③： 公式④：
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作于点G，作F点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为，△ABD与△AEH的面积之和为．
①若E为边AC的中点，则的值为_______；②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)①，②，④，③(2)证明见解析(3)①2②结论仍成立，理由见解析
【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；
（2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形DBFG面积+矩形CLHD面积=正方形BCEF面积－正方形LEGH面积，即可证明；（3）①由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设BD=a，从而用含a的代数式表示出S1、S2进行计算即可；②由题意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设BD=a，DG=b，从而用含a、b的代数式表示出S1、S2进行计算即可．
(1)解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
(2)解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，
∴，∵，
∴，
又∵，∴；
(3)解：①由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设，∴，，，，
∴，
，∴；故答案为：2；
②成立，证明如下：由题意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，设，，
∴，，，，
∴，
，∴仍成立．
【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形，通过图形面积解决问题是解题的关键．
◇典例10：（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想，数学皆有可衡”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后…
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（ ）
A． B．m C． D．
【答案】D
【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：，结合，从而可得答案．
【详解】解：第1次操作后得到整式串m，n，；
第2次操作后得到整式串m，n，，；
第3次操作后得到整式串m，n，，，；
第4次操作后得到整式串m，n，，，，；
第5次操作后得到整式串m，n，，，，，；
归纳可得：以上整式串每六次一循环，
∵，∴第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，
∴这个和为，故选D
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．
◆变式训练
1.（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是 ．
【答案】
【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
【详解】解：∵；；；；；…
∴第（为正整数）个等式是，故答案为：．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
2．（2023年湖南省常德市中考数学真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则的值为( )
……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
【答案】C
【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．
【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故在第20列，即；向前递推到第1列时，分数为，故分数与分数在同一行．即在第2042行，则．∴故选：C．
【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．
3．（2023年黑龙江省大庆市中考数学真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：展开后系数为：，系数和：，
展开后系数为：，系数和：，
展开后系数为：，系数和：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
◇典例11：（2023年四川省绵阳市中考数学真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可．
【详解】解：，，，，…，；
∴
，故选∶C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键．
◆变式训练
1.（2023年重庆市中考数学真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14 B．20 C．23 D．26
【答案】B
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
2．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）在求的值时，发现：，，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则 ．（结果用含n的代数式表示）
【答案】/
【分析】根据题意得出，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．
◇典例12：（2021·湖北鄂州市·中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为
【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
变式探究：将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
【详解】猜想运用：∵，∴，∴，
∴当时，，此时，只取，即时，函数的最小值为2．
变式探究：∵，∴，，∴，
∴当时，，此时，∴，（舍去），
即时，函数的最小值为5.
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：
，即，∵，，∴，
即，整理得：，即，
∴当时，此时，，
即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．
◆变式训练
1.（2023上·广西河池·九年级统考期中）阅读下列材料：
我们把多项式及叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
解：
∵，∴，
∴当时，的最小值为；
再例如：求代数式的最大值．
解：
∵，∴，∴；
∴当时，的最大值为．
(1)【直接应用】代数式的最小值为_______；
(2)【类比应用】若，试求的最小值；
(3)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）利用配方法，将原式变形为，结合，可得出原式，进而可得出原式的最小值；（2）利用配方法，将原式变形为，结合，可得出，进而可得出的最小值；
（3）设垂直于墙的一边长为，围成的菜地的面积为，则平行于墙的一边长为，利用长方形的面积公式，可得出关于的二次函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：，
∵，∴，∴代数式的最小值为．故答案为：．
（2）解：
，
∵，，∴，∴的最小值为．
（3）解：设垂直于墙的一边长为，围成的菜地的面积为，则平行于墙的一边长为，
根据题意得：
，
∵，∴当时，取得最大值，最大值为，
∴围成的菜地的最大面积为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用以及完全平方公式，解题的关键是：（1）利用配方法，将原式变形为；（2）利用配方法，将原式变形为；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的二次函数关系式．
■考点四 因式分解
◇典例13：（2023·四川攀枝花·统考中考真题）以下因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式，还可分解因式；利用十字相乘法，．
【详解】解：；故A不正确，不符合题意．
；故B正确，符合题意．
；故C，D不正确，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
◆变式训练
1．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
2．（2023·江苏南京·九年级校考自主招生）因式分解：
(1)； (2)．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）先根据提公因式法以及平方差公式可得，从而得到，再根据十字相乘法进行因式分解，即可求解；
（2）先分组，再利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平方差公式或完全平方公式等知识解答即可．
【详解】解：∵，因式分解后有一个因式为，
∴这个多项式可以是（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解此题的关键．
4.（2023·广东深圳·统考中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】．故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
1．（2023·江苏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法则，逐一进行计算后判断即可．
【详解】解：A、 ，故A错误；B、，故B错误；
C、，故C错误；D、，故D正确；故选D．
【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
2．（2023年湖北省宜昌市中考数学真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A．左上角的数字为 B．左下角的数字为
C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．
【详解】日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：
左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意；
左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意；
右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意；
把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确；故选：D．
【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
3．（2023年山东省济宁市中考数学真题）已知一列均不为1的数满足如下关系：，，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】据题意可把代入求解，则可得，，……；由此可得规律求解．
【详解】解：∵，∴，，，，…….；
由此可得规律为按2、、、四个数字一循环，
∵，∴；故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
4．（2023年重庆市中考数学真题（A卷））用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（ ）
A．39 B．44 C．49 D．54
【答案】B
【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．
【详解】解：第①个图案用了根木棍，第②个图案用了根木棍，
第③个图案用了根木棍，第④个图案用了根木棍，……，
第⑧个图案用的木棍根数是根，故选：B．
【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．
5．（2022·四川德阳·中考真题）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=___．
【答案】4
【分析】根据完全平方公式的运算即可.
【详解】∵， ∵+=4=16，∴=4.
【点睛】此题主要考查完全平方公式的灵活运用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用.
6．（2023·四川雅安·统考中考真题）若，，则的值为 ．
【答案】
【分析】先将代数式根据平方差公式分解为：= ，再分别代入求解．
【详解】∵，，∴原式．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键。
7．（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知，则的值等于 ．
【答案】2023
【分析】把化为：代入降次，再把代入求值即可．
【详解】解：由得：，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是代数式的求值，找到整体进行降次是解题的关键．
9．（2023年山东省聊城市中考数学真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
【答案】
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：，，，，，…
则第个数对的第一个数为：，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：；；；；…，
则第个数对的第二个位：，
∴第n个数对为：，故答案为：．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
10．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为________.
【答案】
【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∵，∴，∴；
，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾，∴∴；
，同理，故答案为：．
【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．
11．（2023·四川凉山·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．
【详解】解：原式．
当，时，原式．
【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．
12．（2023年浙江省嘉兴市中考数学真题）观察下面的等式：，，，，…．
(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【答案】(1)6(2)n(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，，故答案为：6；
（2）由题意得：，故答案为：n；
（3）．
【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键．
13．（2023年河北省中考数学真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为．
(1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值；(2)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，，当时，(2)，理由见解析
【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可；（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：，
∴，，
∴，
∴当时，；
（2），理由如下：∵，
∴
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．
1．（2023·山东·一模）下列说法正确的是（ ）
A．的系数是－3 B．的次数是3
C．的各项分别为2a，b，1 D．多项式是二次三项式
【答案】A
【分析】根据单项式的次数、系数以及多项式的系数、次数的定义解决此题．
【详解】解：A．根据单项式的系数为数字因数，那么﹣3ab2的系数为﹣3，故A符合题意．
B．根据单项式的次数为所有字母的指数的和，那么4a3b的次数为4，故B不符合题意．
C．根据多项式的定义，2a+b﹣1的各项分别为2a、b、﹣1，故C不符合题意．
D．x2﹣1包括x2、﹣1这两项，次数分别为2、0，那么x2﹣1为二次两项式，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查单项式的系数，次数的定义以及多项式的项、项数以及次数的定义，熟练掌握单项式的系数，次数的定义以及多项式的项、项数以及次数的定义是解决本题的关键．
2．（2023·江苏扬州·中考模拟）若，则括号内应填的单项式是( )
A．a B． C． D．
【答案】A
【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，∴（ ）．故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式除法的应用，弄清被除式、除式和商之间的关系是解题的关键．
3．（2023·重庆沙坪坝·校考二模）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5个，第②个图形中一共有12个，第③个图形中一共有21个，……，按此规律排列，则第⑧个图形中的个数为（ ）
A．96 B．88 C．86 D．98
【答案】A
【分析】写出各图形中三角形的个数和，然后根据变化规律写出第个图形中的个数，再取进行计算即可得解．
【详解】解：第①个图形中三角形有：（个），
第②个图形中三角形有：（个），
第③个图形中三角形有：（个），，
依此类推，第个图形中三角形有（个），
所以，第个图形中正三角形个数一共是：（个），
所以，第⑧个图形中圆和正三角形个数一共是：（个）．故选：A．
【点睛】本题考查了探究图形变化规律，找出图形变化的个数变化规律是解题的关键．
4．（2023·江苏盐城·校联考二模）化简 所得的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可．
【详解】解：，故选A
【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．
5．（2023上·河北保定·九年级校考开学考试）下列各数中，不能被整除的是（ ）
A．6 B．8 C．16 D．4
【答案】C
【分析】根据有理数乘方的运算法则可知原式等于，从而可选出正确答案．
【详解】解：，
，所以A能被整除；
，所以B能被整除；
为小数，所以C不能被整除，
，所以D能被整除；故选：C
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．本题的关键是结合法则将已知式子进行化简．
6．（重庆市西北狼教育联盟2023-2024学年八年级上学期开学学业调研数学试题）已知，则 ．
【答案】1
【分析】先把m的分子分成，逆用积的乘方法则，把分子写成两个幂相乘，分母逆用同底数幂相乘法则，写成两个同底数幂相乘，然后化简，求出的值，最后将整理为代入求值即可．
【详解】解：，，
，，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了积的乘方、同底数幂的乘法、除法和零指数幂，解题关键是熟练掌握运算法则的逆用．
7．（2023·四川德阳·中考模拟）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则 ．
16
7
4
【答案】39
【分析】设第一列中间的数为，则三个数之和为，再依次把表格的每一个数据填好，从而可得答案．
【详解】解：如图，设第一列中间的数为，则三个数之和为，可得：
16
7
4
∴，故答案为：39
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题关键．
8．（2023·四川内江·中考模拟）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【分析】首先利用十字相乘法分解为 ，然后利用平方差公式进一步因式分解即可．
【详解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．
9．（2023·陕西西安·校考二模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图中的杨辉三角，又称贾宪三角，其中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下：按上述规律，则的展开式中，从左起第二项的系数为 ．
【答案】5
【分析】由题干中的等式总结规律即可得出答案；
【详解】解：由题干中代数式可得，的展开式中，从左到右各项的系数依次为则其展开式中从左起第二项的系数为5，故答案为：5．
【点睛】本题考查数式规律问题，由题干中已知等式总结出规律是解题的关键．
10．（2023上·广东·九年级校考期中）如果是一个完全平方公式，则 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特征是解本题的关键．本题根据积的2倍项的特点可得，再解方程可得答案．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，∴或，故答案为：1或．
11．（2023下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）已知，则的值为 ．
【答案】5
【分析】将方程同除以，得到，进而求出，将进行化简，利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：∵，∴，，，
∴，∴，∴
∴
．故答案为：．
【点睛】本题考查分式求值，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，以及利用整体思想，进行求值，是解题的关键．
12．（2023·安徽·校联考二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，……根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)(2)，证明见解析
【分析】（1）根据给出的等式的特点，写出第4个等式即可；
（2）根据给出的等式的特点，抽象概括出第个等式，再进行证明即可．
【详解】（1）解：由题意，得：第4个等式为：，
故答案为：；
（2）∵第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，……
∴第个等式为：；
∵，
，
∴．
【点睛】本题考查数字类规律探究，因式分解的应用，解题的关键是根据题干给出的等式，抽象概括出．
1．（2023·浙江·统考一模）定义：如果代数式（，、、是常数）与（，、、是常数），满足，，，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
（1）代数式：的“同心式”为；
（2）若与互为“同心式”，则的值为1；
（3）当时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”，有两个相等的实数根，则．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据同心式的定义结合代数式和方程求解即可
【详解】根据同心式的定义：
（1）∵，∴代数式：的“同心式”不是；故（1）是错误的；
（2）∵与互为“同心式”，
∴，解得：，∴，故（2）是正确的；
（3）当时，且， ，
∴，，即A与B的值始终互为相反数，故（3）是正确的；
（4）∵A、B互为“同心式”，∴，，
∵有两个相等的实数根，∴有两个相等的实数根，
∴，即，故（4）是正确的；故选：C
【点睛】本题根据新定义和题目的要求构建方程，考查了数学建模和数学运算的核心素养，解题的关键是理解题目中的新定义．
2．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））在多项式（其中中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：，，．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．
【详解】解：，故说法①正确．
若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现，显然无论怎么添加绝对值，都无法使的符号为负，故说法②正确．
当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是；；；．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是；；．共有7种情况；
有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；
需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．
3．（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量与震级的关系为（其中为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．
【答案】1000
【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．
【详解】解：根据能量与震级的关系为（其中为大于0的常数）可得到，
当震级为8级的地震所释放的能量为：，
当震级为6级的地震所释放的能量为：，
，
震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．
【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．
4．（2023年四川省成都市数学中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ．
【答案】
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第4个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
列表如下，
观察表格可知当时，时，智慧数为，
时，智慧数为，，时，智慧数为，，时，智慧数为，
第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
5．（2023年重庆市中考数学真题（B卷））对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】 6200 9313
【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，，，，，则，
∴，∴，
若M最大，只需千位数字a取最大，即，∴，
∵能被10整除，∴，∴满足条件的M的最大值为9313，故答案为：6200，9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
6．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：(1)当，时，______，______；
(2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；(3)当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】(1)，(2)猜想结论：，证明见解析(3)
【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：
当，时，原式；
当，时，原式；
（2）猜想结论：
证明：
；
（3）
．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．
7．（2023年山东省潍坊市中考数学真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究的值，其中．
例求的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
的结果等于该正方形的面积，
即．
方法2：借助函数和的图象，观察图②可知
的结果等于，，，…，…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距离为1，
所以，．
【实践应用】
任务一 完善的求值过程．
方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知______．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求的值．
任务三 用方法2，求的值（结果用表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出的值．
【答案】任务一，方法1：；方法2：，；任务二，；任务三，；[迁移拓展]
【分析】任务一，仿照例题，分别根据方法1，2进行求解即可；
任务二，借助函数和得出交点坐标，进而根据两个函数图象的交点到轴的距离．因为两个函数图象的交点到轴的距为2，即可得出结果；
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，得出交点坐标，即可求解；
[迁移拓展]观察图⑤第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……进而得出则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为的正方形的面积，即可求解．
【详解】解：任务一，方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知
故答案为：．
方法2：借助函数和的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为，
所以，．
故答案为：，．
任务二：参照方法2，借助函数和的图象，，
解得：
∴两个函数图象的交点的坐标为，
．
任务三 参照方法2，借助函数和的图象，两个函数图象的交点的坐标为，
∴
[迁移拓展]根据图⑤，第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为，……
则的值等于长宽之比为的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，
即
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，正方形面积问题，理解题意，仿照例题求解是解题的关键．
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