2023—2024学年人教版数学九年级上册21.1　一元二次方程课件（21张ppt）

(共21张PPT)
21.1　一元二次方程
2023—2024学年人教版数学九年级上册
　　在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为 2 m，那么它的下部应设计为多高？
让我们画出图形，解决这个问题．
　　如图，雕像的上部高度 AC 与下部高度 BC 应有如下关系：
AC∶BC＝BC∶2，即 BC2＝2AC．
A
C
B
2－x
x
　　这个方程与我们学过的一元一次方程不同，
其中未知数 x 的最高次数是 2．
　　本节课，我们将针对这个方程展开学习．
　　设雕像下部高 x m，可得方程 x2＝2(2－x)，
整理得
x2＋2x－4＝0．
　　方程 x2＋2x－4＝0 中有一个未知数 x，x 的最高次数是 2．
像这样的方程有广泛的应用，请看下面的问题．
　　问题 1　如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3 600 cm2，
那么铁皮各角应切去多大的正方形？（只列方程）
　　解：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm．根据方盒的底面积为3 600 cm2，得
(100－2x)(50－2x)＝3 600．
　　整理，得 4x2－300x＋1 400＝0．
　　化简，得 x2－75x＋350＝0．
　　这个方程中，未知数的个数和最高次数各是多少？
x
1，2
　　问题 2　要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（只列方程）
　　分析：全部比赛的场数为4×7＝28．
设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他(x－1)个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共 x(x－1)场．
　　问题 2　要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（只列方程）
解：设应邀请 x 个队参赛．
列方程 x(x－1)＝28．
整理，得 x2－ x＝28．
化简，得 x2－x＝56．
　　这个方程中，未知数的个数和最高次数各是多少？
1，2
思考
观察下列三个方程，找到它们的共同点：
x2＋2x－4＝0，x2－75x＋350＝0，x2－x＝56．
1．方程两边都是________；
2．只含有_______个未知数；
3．未知数的最高次数是______．
整式
一
2
怎样定义有这些共同点的方程呢？
　　等号两边都是______，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是____（二次）的方程，叫做一元二次方程．
归纳
整式
一个
2
　　（1）“整式”应理解为未化简时，方程两边均是整式；
　　（2）“只含有一个未知数，未知数的最高次数为 2”是对方程整理合并后而言的．
　　一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
当a＝0时，方程没有二次项．
为什么规定a≠0？
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
　　使方程左右两边______的未知数的值就是这个一元二次方程的_____，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
相等
解
新知
一元二次方程的解满足的两个条件：
（1）未知数的值；
（2）使方程左右两边相等．
例1　下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）x2＝4； （2）y2－3y＋1＝0；
（3）(y－1)2＝y2＋2； （4）x2－2y＋1＝0．
　　解：（1）整理，得x2－4＝0，是一元二次方程；
　　（2）是一元二次方程；
　　（3）整理，得2y＋1＝0，未知数的最高次数是1，所以不是一元二次方程，是一元一次方程；
　　（4）方程中含有x，y两个未知数，不是一元二次方程．
　　所以（1）（2）是一元二次方程．
归纳
判断一元二次方程，理清“是”“否”是关键
观察方程是否为整式方程
不是一元二次方程
使方程的右边为0，左边合并同类项
观察是否满足“一元”和“二次”
是一元二次方程
不是一元二次方程
否
是
是
否
特别提醒
　　如果一个方程的二次项系数含有字母，必须注意只有当这个字母的取值使二次项系数不为 0 时，该方程才是一元二次方程．
解：去括号，得
3x2－3x＝5x＋10．
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0．
其中二次项系数为 3，一次项系数为－8，常数项为－10．
　　例2　将方程 3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
方法总结
化一元二次方程为一般形式的步骤
第 1 步：去分母；
第 2 步：去括号；
第 3 步：移项；
第 4 步：合并同类项．
确定一元二次方程的各项及其系数，三点注意莫忽视
　　（1）先把方程化为一般形式．如果二次项系数小于 0，一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数．
　　（2）指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉．
　　（3）特例：若没有出现一次项 bx，则 b＝0；若没有出现常数项，则 c＝0．
归纳
　　例3　判断 x＝2，x＝3是不是一元二次方程 x2－x－5＝1的根．
　　解：将 x＝2 分别代入方程的左右两边，
　　得左边＝－3，右边＝1，－3≠1，
　　所以 x＝2 不是方程的根；
　　将 x＝3 分别代入方程的左右两边，
　　得左边＝1，右边＝1，1＝1，
　　所以 x＝3 是方程的根．
归纳
判断是否为一元二次方程的根的妙招
　　将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边，若左右两边的值相等，则这个数值是方程的根；否则不是方程的根．
一元二次方程的特殊形式
a，b，c 的取值 方程的一般形式
a≠0 b≠0，c＝0 ax2＋bx＝0
b＝0，c≠0 ax2＋c＝0
b＝0，c＝0 ax2＝0
解（根）
概念
一般形式
一元二次方程
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是 2
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
使方程左右两边相等的未知数的值