第一章整式的乘法导学案

整式的有关概念 导学案
学习目标：1、理解单项式的概念；2、能确定单项式的系数和次数
3、由单项式与多项式归纳出整式概念。
学习重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，掌握多项式的项和次数概念
学习过程
一、知识链接 列代数式
(1)若正方形的边长为a，则正方形的面积是 ；
(2)若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为 ；
(3)若x表示正方形棱长，则正方形的体积是 ；
(4) 小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款 元。
(5) 一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为 千米。
二、自主导学
请观察上述所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征？
1、单项式概念：
通过特征的描述，概括单项式的概念：单项式即由 的乘积组成的代数式称为单项式。补充，单独一个 或一个 也是单项式。例如：a ，5。
判断下列各代数式哪些是单项式？
(1)； (2)abc； (3)b2； (4)－5ab2； (5)y； (6)－xy2； (7)－5。
2、单项式系数和次数：
单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的。 叫做单项式的系数； 单项式的次数。
三、典例分析：
例1：判断下列各代数式是否是单项式。如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。①x＋1； ②； ③πr2； ④－a2b。
答：① ，因为 ； ② ，因为 ；
③ ，因为 ； ④ ，因为 。
例2：下面各题的判断是否正确？
①－7xy2的系数是7； ②－x2y3与x3没有系数； ③－ab3c2的次数是0＋3＋2；
④－a3的系数是－1； ⑤－32x2y3的次数是7； ⑥πr2h的系数是。
通过以上练习及例题，注意以下几点：
①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；③单项式次数只与字母指数有关，与系数无关。
四、知识应用
1、指出下列单项式的系数和次数。
(1) y9的系数是__ __次数是 ；单项式的系数是_____ ，次数是____。
(２) 1.3ab的系数是__ _次数是 ；单项式 的系数是 ，次数是 。
五、多项式的次数和项
1、几个 的和，叫做 ；. 和 统称整式.
2、多项式2x4-3x5-5是 次 项式，最高次项的系数是 ，四次项的系数是 ，常数项是 .
3、多项式a3-3ab2+3a2b-b3是 次 项式，它的各项的次数都是 .
4、－是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。
5、多项式的项是 ，最高次项
是 ，最高次项的系数是 ，常数项是 ，它是 次 项式。
6、指出下列多项式的项和次数：
(1)3x－1＋3x2； (2)4x3＋2x－2y2。
7、指出下列多项式是几次几项式。
(1)x3－x＋1； (2)x3－2x2y2＋3y2。
特别注意：
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和； (2)多项式的每一项都包括它前面的符号。
8、已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。
同底数幂的乘法 导学案
学习目标：理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；能熟练地
运用同底数幂的乘法法则进行计算，并能利用它解决简单的实际问题。
学习重点：同底数幂的乘法法则及其简单应用。
学习难点：理解同底数幂的乘法法则的推导过程。
学习过程：【知识回顾】
1、我们可以把8×8×8×8×8写成85，这种求几个相同因数的积的运算叫做______，它的结果叫 ，在85中，8叫做 ，5叫做 ，85读作 。
2、通常代数式an表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么
3、把下列各式写成幂的形式，并写出它的底数、指数：
(1) 3×3×3×3 ；(2) m·m·m ；(3) ；(4) (s-t)·(s-t)·(s-t)
4、用科学记数法表示下列叙述中较大的数：
（1）太阳中心的温度可达15500000。_________________________
5、一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量。那么105平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？
此题可列式___________________________。
【探索发现】
1、103×102＝ a4×a3＝
5m×5n＝ am · an=_________________
2、同底数幂的乘法法则：_________________________________________________。
3.法则的推广:=___________________。
思考：三个以上同底数幂相乘，上述性质还成立吗？
【眼疾口快】 口答以下各题：
(1)x·x2= ; (2)x3·x2·x= ;(3)a2·a5= ； (4)y5·y4·y3= ；(5)m6·m6= ；(6)10·102·105= ；
【火眼金睛】判断下列各式是否正确，不正确的加以改正：
(1)x2·x4=x8 ( ) (2)x2+x2=x4 ( )
(3)m5·m6=m30 ( ) (4)m5+m6=m11 ( )
(5)a·a2·a4=a6 ( ) (6)a5·b6=(ab)11 ( )
(7)3x3+x3=4x3 ( ) (8)x3·x3·x3=3x3 ( )
【试一试】
例1、求：（1）（-2）8×（-2）7 （2）（a-b）2·（a-b） （3）（x+y）4(x+y)3
想一想（1）、如果an-2an+1=a11,则n= （2）已知：am=2， an=3.求am+n = .
能说明你是怎么算的吗？
【自我测评】
1、下列四个算式：①a6·a6=2a6；②m3+m2=m5；③x2·x·x8=x10；④y2+y2=y4．
其中计算正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、m16可以写成（ ） A．m8+m8 B．m8·m8 C．m2·m8 D．m4·m4
3、下列计算中，错误的是（ ） A．5a3-a3=4a3 B．2m·3n=6 m+n
C．（a-b）3·（b-a）2=（a-b）5 D．-a2·（-a）3=a5
4、若xm=3，xn=5，则xm+n的值为（ ） A．8 B．15 C．53 D．35
5、如果a2m-1·am+2=a7，则m的值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
6、同底数幂相乘，底数_________，指数_________．
7、计算：-22×（-2）2=_____ __．
8、计算：am·an·ap=_____ ___；（-x）（-x2）（-x3）（-x4）=______ ___．
9、3n-4·（-3）3·35-n=__________．
10、若82a+3·8b-2=810，则2a+b的值是__________．
11、可写成 （ ） A 、 B、 C、 D、
学习反思（心得）：
幂的乘方导学案
学习目标：1、经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。 2、了解幂的乘方运算性质，并能解决一些实际问题。
教学重点：会进行幂的乘方的运算。
教学难点：幂的乘方法则的总结及运用。
学习过程：
一、预习导学
计算 ⑴= 　　　 （2） a2·a3 = 　 （3）=
二、自主探究、合作学习
探索发现：1、做一做：
（1）(23)2=_23×23__(根据幂的意义)= 23＋３_（根据同底数幂的乘法法则）= 2６
（2）(a4)3=_________(根据幂的意义)=_______（根据同底数幂的乘法法则）=
(3) =_________×__________=____________=
(4) (am)5=，=________________(m、n为正整数)
2、通过以上计算，你有什么发现？冪的乘方，_______________,___________________。
3、想一想：与相等吗？为什么？
三、展示提升
（一）能力频道：能力频道1：灵活使用公式的能力：
计算：⑴ ⑵ ⑶ [（-a）2]3= ⑷－
　　＝　　　　　　　＝ ＝ ＝
易错点：第（3）题 ;第（4）题
能力频道2：区分几种运算的能力（合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方）
下面计算是否正确？如有错误请改正。
(1) (a3)7=a10 (2) x2+x2=x4 (3) a4·a4= a6
(4) x3·x3=2x3 (5) (x5)3=x15 （6）a4+ a4= 2a4
小结:计算中一定要区分什么是合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方？上题中合并同类项的是 ；同底数幂的乘法是 ；幂的乘方是
思想频道1：整体思想
（1） (a2m)3n （3） [（3a - b）2]n+1 [（3a-b）2n+1]3
= = =
点拨：把（1）中的 看成一个整体；（2）中的 看成一个整体；（3）中的 看成一个整体。
思想频道2：逆向思维
(1) x20 =( )5=( )4=( )10 (2) a2m = ( )2 = ( )m
(3)若 am = 2, 则a3m=____ _. (4)若 mx = 2, my = 3 ,则 m3x+2y =_____ _.
小结：( )m =( )n 与( )m ( )n 区分开。
思想频道3：转化与方程思想
已知 则m=
小结：计算中4、8、16都可转化成底数是 的幂的形式。
四、课堂小结
我的收获：1：知识 2.能力 3.思想方法：
五、课堂检测
1、如果a3m =4，则a6m= ； 2、如果a2m=3，则(a3m)4 =
2、下面各式中正确的是（ ）．
A．（22）3=25 B．m7+m7=2m7 C．x5·x=x5 D．x4·x2=x8
3、下列各式对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（x7）3=x10； （2）x7 x3=x21； （3）a4 a4=2a8； （4）（a3）5+（a5）3=（a15）2．
4、计算：（1）（103）5 （2）－（a2）7 （3）[（－6）3]4 （3）[（x2）3]7
5、计算：⑴ ⑵ ⑶
6、已知10a=5，10b=6.求102a+3b
积的乘方 导学案
学习目的：1、探索积的乘方的运算和性质的过程，进一步体会幂的意义。
2、了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。
学习重点：积的乘方的运算。
学习难点：正确区别幂的乘方与积的乘方的异同，会综合运用学过的三种运算
学习过程：
一、知识回顾：1、同底数幂的乘法法则：
公式表达式：
2、幂的乘方法则：
公式表达式： 。
3、计算： （1） （2） （3）
（6）（7） （8）
二、自主探究、合作学习
积的乘方法则
、（1）计算：（2×5） （2×5） （2×5）=（2×2×2） （5×5×5）= 23×53
（2）
（3）
（4）= （根据乘方的意义）
= （ ）（ ）（根据乘法交换律、结合律）
=
（5）=___ _×__ ___×…×_ __ ×____ _
=（____×_____×…×___ ×____） （____×_____×…×___ ×____）
= 。 从上面的计算中，你发现了什么规律？
积的乘方法则： 。
公式表达式： 。
推广：= ， = 。
【试一试】：计算下列各题：（1） （2）
（3） （4）
（5）（6）
三、公式的逆用
例2、（1） =
（2）=
研究：积的乘方法则可以进行逆运算。即= 。
四、综合应用
例3、地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别代表球的体积和半径，那么 。 地球的半径约为6×千米，它的体积大约是多少立方千米？
五、课堂检测
1、计算下列各题：（1） （2） （3）
（4） （5）
（6） （7）
2、拓展提高：
（1）、计算：
（2）、已知 求的值。
同底数幂的除法
学习目标：经历探索同底数幂的除法的运算法则的过程，会进行同底数幂的除法运算．
学习重点：准确熟练地运用同底数幂的除法运算法则进行计算．
学习难点：根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则．
学习过程
一、知识链接
1、同底数幂的乘法法则
（1）符号语言： ；（2）文字语言：同底数幂相乘，______不变，指数_____
2、问题：一种数码照片的文件大小是K，一个存储量为M（1M=K）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？列式为：
这是一个什么运算？如何计算呢？
二、探索新知： 2、除法与乘法两种运算互逆，要求空内所填数，
1、根据同底数幂的乘法法则计算： 其实是一种除法运算，所以这四个小题等价于：
（1）（ ）·28=216 （1）216÷28=（ ）
（2）（ ）·53=55 （2）55÷53=（ ）
（3）（ ）·105=107 （3）107÷105=（ ）
（4）（ ）·a3=a6 （4）a6÷a3=（ ）
从上述运算中归纳出同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，______不变，指数___ ；即am÷an= ;(a≠0)
3、分别根据除法的意义填空，你能得什么结论
3 ÷3 = ( ); (2) 103÷103= ( );
，而， ，（ 0）
结论：任何不等于0的数的0次幂都等于__________.
三、知识运用
1、计算:（1）x8÷x ； （2） a5÷a ； （3）(ab) 5÷(ab) ；
（4）（-a）7÷（-a）5 (5） (-b) 5÷(-b) (6) m8÷m8;（m≠0）
四、能力提升
1、若，，则
2、若a6m÷ax=a2m，则x的值是__________．
3、若（-5）3m+9=1，则m的值是__________． （x－1）0=1成立的条件是____ ____．
4、已知3m=5，3n=2，求32m-3n+1的值。
五、当堂检测
1、填空 (1)a5 ( )=a7; (2)m3 ( )=m8; (3)x3 x5 ( )=x12; (4)(-6) 3( )= (-6) 5.
2、计算: (1) x7÷x5; (2) (-a) 11÷(-a) 7; (3) (xy) 5÷(xy) 3.
3、填空： ； ； ；
； ； ；、
； ； ；
； ； ；
4、计算(1） （ 2） （3）(m-n) 6÷(n-m)；
5、已知:
单项式乘以单项式导学案
学习目标：1、熟练运用单项式乘单项式法则进行运算；
2、经过单项式乘单项式法则的运用，体验运用法则的价值；培养学生观察、
比较、归纳及运算的能力.
学习重点：单项式乘单项式法则.
学习过程
一、复习回顾
1、回忆幂的运算性质：
am·an=am+n(m，n都是正整数) 即 ．
(am)n=amn(m，n都是正整数) 即 ．
(ab)n=anbn(n为正整数) 即
am÷an=(m，n都是正整数，且a≠0) 即
2、计算：＝　　　　；　 ＝　　 　　； ＝　　　　　　　； 　
＝　　　　　；＝　　　 　　； ＝　　　 　　　；二、自主探索
问题：问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗
根据题目意思，可以列出算式为：
该式的结果等于多少呢 （运用交换律和结合律）
　　　　　×　　　　　=　　　　　×　　　　　=　　　　　　　　
根据科学记数法的要求，结果应该改写成　　　　　　　　　　　　　．
三、合作探究：
1、如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，这是何种运算？你能算吗
2、试一试： (1)　　　　　　 　　(2)
上面两式都是单项式相乘，通过刚才的尝试，归纳出如何进行单项式乘法
单项式与单项式相乘，　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　
3、新知应用： 　　 　 　
四、能力提升
(1) HYPERLINK " http://www.21cnjy.com" 　(2)
（3） (4)
五、当堂检测
1.计算的结果是（ ）A. B. C. D.
2、计算的结果是 ；
3、
=
4、若，，，求证：2b=a+c.
5、已知：，求m.
单项式乘多项式导学案
学习目标：1、知道利用乘法分配律可以将单项式乘多项式转化成单项式乘单项式。
2、会进行单项式乘多项式的运算。
3、经历探索单项式乘多项式法则的过程，发展有条理的思考及语言表达能力。
学习重点：单项式乘以多项式法则。
学习难点：灵活运用单项式乘以多项式法则。
导学过程：
一、导入：
制作边长分别为a、b，a、c，a、d的三个小长方形，
动手拼成一个大长方形，计算拼成的图形面积并交流做法。
二、导疑：
在交流的基础上思考下列问题：
（1）有那些方法计算大长方形的面积？试分别用代数式表示出来。
方法一： ；方法二： ；
（2）两种方法所列代数式有何关系？
（3）这一结论与乘法分配律有什么关系？
（4）根据以上探索你认为应如何进行单项式与多项式的乘法运算？
通过探索得：进而得出单项式乘多项式法则
三、知识应用
计算：① ②
③ ④
四、能力提升
1、已知求的值
2、要使的结果中不含项，则的值为多少？
五、课堂检测
1、 2、
3、 4、
2、一家住房的结构如图，这家房子的主人打算把卧室以外
的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地
砖的价格是a元/m2,那么购买所需的地砖至少需要多少元？
多项式与多项式相乘导学案
学习目标：1、探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
2、主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯
教学重点：多项式与多项式相乘的法则
教学难点：多项式与多项式相乘法则的应用
学习过程：
一、回顾旧知，温故知新
1、回忆单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则；
2、计算：＝　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　
＝　　　　　 　　； ＝　　 　　　　；
＝　　　　　　　　　　　　　　　
二、自主学习
1、问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m
米的长方形绿地增长b米，加宽n米，求扩地以后的面积是多少？
2、提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积
不同的表示方法之间有什么关系
方法一：这块花园现在长　　　 米，宽　　　　米，因而面积为　　　　　　米2．
方法二：这块花园现在是由　　　　小块组成，它们的面积分别为：　　米2、　　米2、
　　米2、　　米2，故这块绿地的面积为　　　　　　　　米2．
由此可得：　　　　　　　　和　　　　　　　　表示的是同一块绿地面积。所以有：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、推导结论
由上题得到，多项式乘多项式的公式：(a+b)(m+n)= + + +
多项式与多项式相乘：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　
四、巩固新知 （友情提醒：1.不要漏乘；2.注意符号； 3.结果最简）
① (a+4)(a+3) ② ③
五、能力提升
1、计算（1） （2）
注意：在进行多项式与多项式相乘的时候，应当注意多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，因此每一项都应该包括前面的符号，在计算时一定要注意先确定积中各项的符号。
2、若(x2＋ax＋8)(x2－3x＋b)的乘积中不含x2和x3项，则a、b的值。
六、当堂检测
①(3x ＋1)( x－2) ②(2x －5y)(3x－y) ③(m－2n)(3m＋n)
④(x－2)(x2＋4) ⑤(y－4)(y－6) ⑥(x－2y)(x＋4y)
⑦(x－y) (x2＋xy＋y2) ⑧
平方差公式导学案
学习目标：会推导平方差公式，了解公式的几何解释，并能运用公式计算。
学习重点：掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。
学习过程：
一、温故知新：
1．多项式乘以多项式的法则是什么？请用公式表示出来 .
2．请利用多项式乘以多项式的法则计算下列各题：
； ； ；
； ； .
二、探究新知：
观察上面2题中（3）~（6）题的特征和计算结果，你有什么发现？
大胆猜测：＝
即：两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 .
这个公式叫做（乘法的） .
三、思考讨论:
图1中长方形的面积与图2空白部分的面积有什么
关系，通过对两个图形面积的计算能验证平方差公式吗
四、拓展延伸：
下列各式能利用平方差公式计算吗？若能，请说出哪一项相当于公式中的和？若不能，请说明理由.
（1）； （2）； （3）.
总结规律：能利用平方差公式计算的式子：符号相同的部分相当于公式中的 ，符号不同的部分相当于公式中的 .
五、活学活用
1、下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A、(2a-3b)(3b-2a)
B、(-2a+3b)(-2a-3b) C、(2a-3b)(-3b+2a) D、(2a-3b)(3a+2b)
2、下面各式的计算对不对 如果不对,请改正.
3、计算：（1）； （2）；
六、拓展提升：
1、下列能利用平方差公式计算的是（ ）． A.
B. C. D.
2、填空：（1） （ ）=
（2） （ ＋ ）（ - ）=
3、利用平方差公式计算：
（1）； ； （3）
（4）； （5）.
完全平方公式导学案
学习目标：1、会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用公式进行简单运算. 2、会用几何拼图方式验证平方差公式
教学重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用
教学难点：完全平方公式的应用
教学过程：
1、口算：（1）
（2）
（3）
2、问题1：如图（1）有一个边长为a米的正方形广场，现要扩建该广场，要求将其边长增加b米，试问扩建后的正方形广场的面积有多大？
（1）如图：四块面积分别是______、______、______、______
（2）我们可以从两种方式计算总面积：
① 看成是边长为______的大正方形，S=__________
② 看成是四块小面积之和，S=___________________
得出结论：__________________________________________
从代数的角度看：
(a+b)2 = (a+b)(a+b) = ______ _______= _____________
3、口算：（1）
（2）
2．问题2：如图（2）求阴影部分面积
（1）如图：四块面积分别是______、______、______、______
（2）我们可以从两种方式计算阴影部分面积：
① 看成是边长为______的正方形，S=__________
② 看成是大正方形与三个小面积之差，S=___________________
得出结论：__________________________________________
从代数的角度看：
(a-b)2 =(a-b)(a-b) = ___ __________= _____________
得出结论：________________________________________ __
【小结归纳】：
完全平方公式：(a+b)2 =______ _______ (a-b)2 =_______ _____
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍
【巩固练习】
1、填空。（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） ）2 =
2、选择题。1、的计算结果是( ) A.
B. C. D.
3、已知：,空白应填的是( )
A. B. C. D.
4、计算：（1） （2）
（3） （4）
5、用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）992
6、先化简，后求值。
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