2023-2024学年浙江省嘉兴市八校联盟高二上学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年浙江省嘉兴市八校联盟高二上学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 251.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-30 16:36:52 | ||
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文档简介
2023-2024学年浙江省嘉兴市八校联盟高二上学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.两条平行直线与之间的距离是( )
A. B. C. D.
3.已知平面内两定点，及动点，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么甲是乙的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为
( )
A. B. C. D.
5.已知圆：与圆：外切，则的值为
( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.圆与的公共弦长为
( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的右焦点为，点，在直线上，，为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知椭圆：，在下列结论中正确的是
( )
A. 长轴长为 B. 焦距为
C. 焦点坐标为 D. 离心率为
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
11.已知圆与直线，下列选项正确的是
( )
A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切
12.已知椭圆：，是坐标原点，是椭圆上的动点，，是的两个焦点
( )
A. 若的面积为，则的最大值为
B. 若的坐标为，则过的椭圆的切线方程为
C. 若过的直线交于不同两点，，设，的斜率分别为，，则
D. 若，是椭圆的长轴上的两端点，不与，重合，且，，则点的轨迹方程为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.圆的方程为，则该圆的半径为______．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是______．
15.已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是______．
16.正方体中，动点在线段上，，分别为，的中点若异面直线与所成的角为，则的取值范围为
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知直线：，直线：其中，均不为．
若，求的值；
若，求的值．
18.本小题分
已知，．
求与夹角的余弦值；
当时，求实数的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的正方形，平面，，分别为，的中点．
证明：平面；
若，求平面与平面所成角的余弦值．
20.本小题分
给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
求椭圆和其“准圆”的方程；
若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．
21.本小题分
已知圆的圆心在直线：上，并且经过点和点．
求圆的标准方程；
若直线：上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．
求点的轨迹的方程；
若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．二次曲线在其上一点处的切线为
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了倾斜角的概念，属于基础题．
根据直线斜率和倾斜角之间的关系进行求解即可．
【解答】
解：由 可得 ，
因此该直线的斜率为 ，
设直线的倾斜角，
则，又，
所以直线的倾斜角为 ，
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条平行线间距离的求法．
首先判断两条平行直线的直线方程中与的系数是否相等，再根据平行线间距离公式求出距离即可．
【解答】
解：由题意可得：两条平行直线为与，
由平行线间的距离公式可知．
故答案为：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键，属于基础题．
结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
则根据椭圆的定义知动点到两定点，的距离之和 为常数是定值成立
若动点到两定点，的距离之和 ，且为常数，当时的轨迹不是椭圆．
甲是乙的必要不充分条件．
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】设平面 的一个法向量为 ，利用 列方程求解即可．
解：由已知 ，
设平面 的一个法向量为 ，
取 ，解得 ，
选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据圆心距等于半径和求解即可．
解：因为圆 ： 与圆 ： 外切，
所以 ，解得 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理的应用，涉及到空间向量线性运算法则，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
利用空间向量线性运算法则化简即可求解．
【解答】
解：因为
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两圆的相交弦的弦长问题，属于中档题．
利用两圆的标准方程求出相交弦的直线方程，即可求解．
【解答】
解：由题意知圆与相交，
由
两式相减得公共弦的直线方程为，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
又圆的半径为，
公共弦长为．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算公式和离心率公式计算求解．
解：由已知设 ，
则 ，
则 ，
又 ，
两式做差可得 ，整理得 ，
则 ．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】先确定的值，然后根据椭圆性质逐一判断选项即可．
解：由已知得，
则，
故椭圆长轴长为，焦距为，
焦点坐标为，离心率，故 ABD正确，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用空间位置关系的向量证明来逐一判断即可．
解：对于：，故，即， A正确；
对于：，故，即， B正确；
对于：明显不存在实数，使，即不共线，则不成立， C错误；
对于：，即不垂直，则不成立， D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断，直线恒过定点判断，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断，利用直线恒过圆内定点判断．
解：对于，圆的圆心坐标为，正确；
对于，直线方程即，由可得
所以直线过定点，正确；
对于，记圆心，直线过定点，则，
当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时直线截圆所得的弦长最小，
此时弦长为，正确；
对于，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】求点的轨迹常用方法，
直接法：设动点坐标，代入其满足的等式化简整理；
定义法：根据题意分析动点满足的几何条件，结合已知曲线的定义，进而求轨迹方程；
相关点法：设动点坐标，用动点坐标表示相关点的坐标，代入相关点满足的等式化简整理；
参数法：选取适当的参数，用参数表示动点坐标，再消去参数，从而得到轨迹方程．
：根据题意结合椭圆纵坐标的取值范围分析运算；：设切线方程，与椭圆方程联立，结合 运算求解；：利用点差法分析运算；：利用点差法的结论分析得 ，运算求解．
解：由椭圆方程知： ，设点 ，
： ，当且仅当点 为短轴上的顶点时等号成立，错；
：显然过 处切线的斜率存在，设切线方程为 ，
联立 ，消去得 ，
则 ，整理得 ，
解得 ，故过 处切线方程为 ，即 ，对；
：设 ，则 ， ，则 ，
两式相减得 ，则 ，即 ，错；
：当 不与 重合时，由知： ，
由 ， ，则 ，所以 ，
设 ，则 ， ，可得 ，
整理得 ；
当 与 重合时，满足题意，符合上式；
综上： 的方程为 ，对．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】将圆的方程化为标准式即可得答案．
解：圆的方程为 ，
即 ，
故则该圆的半径为 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】先确定 ，然后根据 为等边三角形得到 ，带入已知计算即可．
解：由已知得 ，则 ，
又 为等边三角形，则 ，即
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合已知求向量 在向量 上投影向量的坐标．
解：由投影向量定义知：向量 在向量 上投影向量 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了向量法求异面直线所成角．
建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求的范围，需要换元引进二次函数，求解不难．
【解答】
解：以为原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
取，设的横坐标为，，
则，，，
，，
，
与所成的角也是，
，
令，，
可得，
，
故答案为： ．
17.【答案】解：由 ，则 ，得 ．
由 ，则 ，故 ，其中 或 ．
【解析】【分析】由两线垂直的判定列方程，即可求值；
由两线平行的判定列方程，即可求值，注意 或 ；
18.【答案】解： ．
由于 ，
所以 ，
所以 ，
，
解得 或 ．
【解析】【分析】根据空间向量夹角公式求得正确答案．
根据 列方程，从而求得 的值．
19.【答案】解：取 中点 ，连接 ，如图，
， 分别为 ， 的中点，
，且 ，
又底面 为正方形，且 为 中点，
，且 ，
四边形 为平行四边形，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
由 平面 ， 平面 ，可得 ，
又正方形中 ，故 两两垂直，
以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间坐标系 ，
则 ， ， ， ，
故 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可取 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可取 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
【解析】【分析】利用中位线可得平行四边形，根据线面平行的判定定理求解；
建立空间直角坐标系，利用向量法求平面所成的角．
20.【答案】解：由题意知 ，且 ，可得 ，
故椭圆 的方程为 ，其“准圆”方程为 ．
由题意，设 ，则有 ，
不妨设 ， ，所以 ， ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 的取值范围是 ．
【解析】【分析】根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；
设 ，写出 ， 坐标，应用向量数量积的坐标表示得 ，结合 是椭圆 上及其有界性，即可求范围．
21.【答案】解：因为 的中点为 ，且 ，所以 的垂直平分线为 ，即 ，
由 ，得 ，所以圆心 ，则半径 ，所以圆 ： ．
如图，由 得 ，所以 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，则 ，解得
所以 的取值范围为 ．
【解析】【分析】由题设写出 的垂直平分线的方程，结合已知圆心在直线 上，联立求圆心，并确定半径，即得方程；
根据已知得 ，再由圆心 到直线 的距离 求参数范围．
22.【答案】解：设 ，则 ，化简得 ： ，
所以点 的轨迹的方程为 ．
设 ， ， ，则切线 为 ，切线 为 ，
将点 分别代入得 ，所以直线 为 ，
点 到 的距离 ，当 时， ．
另一方面，联立直线 与 得 ，
所以 ，则 ，
当 时， 所以 ．
故 时， 最小值为 ．
【解析】【分析】设 ，根据已知有 ，化简整理得轨迹；
设 ， ， ，写出切线 、 并将点代入得直线 为 ，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与 ，应用韦达定理、弦长公式求 的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形 面积的最小值．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.两条平行直线与之间的距离是( )
A. B. C. D.
3.已知平面内两定点，及动点，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么甲是乙的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在空间直角坐标系中，，，，则平面的一个法向量为
( )
A. B. C. D.
5.已知圆：与圆：外切，则的值为
( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.圆与的公共弦长为
( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的右焦点为，点，在直线上，，为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知椭圆：，在下列结论中正确的是
( )
A. 长轴长为 B. 焦距为
C. 焦点坐标为 D. 离心率为
10.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
11.已知圆与直线，下列选项正确的是
( )
A. 圆的圆心坐标为 B. 直线过定点
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为 D. 直线与圆可以相切
12.已知椭圆：，是坐标原点，是椭圆上的动点，，是的两个焦点
( )
A. 若的面积为，则的最大值为
B. 若的坐标为，则过的椭圆的切线方程为
C. 若过的直线交于不同两点，，设，的斜率分别为，，则
D. 若，是椭圆的长轴上的两端点，不与，重合，且，，则点的轨迹方程为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.圆的方程为，则该圆的半径为______．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等边三角形，则是______．
15.已知空间向量，，则向量在向量上投影向量的坐标是______．
16.正方体中，动点在线段上，，分别为，的中点若异面直线与所成的角为，则的取值范围为
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知直线：，直线：其中，均不为．
若，求的值；
若，求的值．
18.本小题分
已知，．
求与夹角的余弦值；
当时，求实数的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的正方形，平面，，分别为，的中点．
证明：平面；
若，求平面与平面所成角的余弦值．
20.本小题分
给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
求椭圆和其“准圆”的方程；
若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．
21.本小题分
已知圆的圆心在直线：上，并且经过点和点．
求圆的标准方程；
若直线：上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．
求点的轨迹的方程；
若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．二次曲线在其上一点处的切线为
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了倾斜角的概念，属于基础题．
根据直线斜率和倾斜角之间的关系进行求解即可．
【解答】
解：由 可得 ，
因此该直线的斜率为 ，
设直线的倾斜角，
则，又，
所以直线的倾斜角为 ，
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条平行线间距离的求法．
首先判断两条平行直线的直线方程中与的系数是否相等，再根据平行线间距离公式求出距离即可．
【解答】
解：由题意可得：两条平行直线为与，
由平行线间的距离公式可知．
故答案为：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键，属于基础题．
结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
则根据椭圆的定义知动点到两定点，的距离之和 为常数是定值成立
若动点到两定点，的距离之和 ，且为常数，当时的轨迹不是椭圆．
甲是乙的必要不充分条件．
故选B．
4.【答案】
【解析】【分析】设平面 的一个法向量为 ，利用 列方程求解即可．
解：由已知 ，
设平面 的一个法向量为 ，
取 ，解得 ，
选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据圆心距等于半径和求解即可．
解：因为圆 ： 与圆 ： 外切，
所以 ，解得 ．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理的应用，涉及到空间向量线性运算法则，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
利用空间向量线性运算法则化简即可求解．
【解答】
解：因为
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两圆的相交弦的弦长问题，属于中档题．
利用两圆的标准方程求出相交弦的直线方程，即可求解．
【解答】
解：由题意知圆与相交，
由
两式相减得公共弦的直线方程为，
圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
又圆的半径为，
公共弦长为．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】根据平面向量的数量积的坐标运算公式和离心率公式计算求解．
解：由已知设 ，
则 ，
则 ，
又 ，
两式做差可得 ，整理得 ，
则 ．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】先确定的值，然后根据椭圆性质逐一判断选项即可．
解：由已知得，
则，
故椭圆长轴长为，焦距为，
焦点坐标为，离心率，故 ABD正确，
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用空间位置关系的向量证明来逐一判断即可．
解：对于：，故，即， A正确；
对于：，故，即， B正确；
对于：明显不存在实数，使，即不共线，则不成立， C错误；
对于：，即不垂直，则不成立， D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断，直线恒过定点判断，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断，利用直线恒过圆内定点判断．
解：对于，圆的圆心坐标为，正确；
对于，直线方程即，由可得
所以直线过定点，正确；
对于，记圆心，直线过定点，则，
当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时直线截圆所得的弦长最小，
此时弦长为，正确；
对于，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】求点的轨迹常用方法，
直接法：设动点坐标，代入其满足的等式化简整理；
定义法：根据题意分析动点满足的几何条件，结合已知曲线的定义，进而求轨迹方程；
相关点法：设动点坐标，用动点坐标表示相关点的坐标，代入相关点满足的等式化简整理；
参数法：选取适当的参数，用参数表示动点坐标，再消去参数，从而得到轨迹方程．
：根据题意结合椭圆纵坐标的取值范围分析运算；：设切线方程，与椭圆方程联立，结合 运算求解；：利用点差法分析运算；：利用点差法的结论分析得 ，运算求解．
解：由椭圆方程知： ，设点 ，
： ，当且仅当点 为短轴上的顶点时等号成立，错；
：显然过 处切线的斜率存在，设切线方程为 ，
联立 ，消去得 ，
则 ，整理得 ，
解得 ，故过 处切线方程为 ，即 ，对；
：设 ，则 ， ，则 ，
两式相减得 ，则 ，即 ，错；
：当 不与 重合时，由知： ，
由 ， ，则 ，所以 ，
设 ，则 ， ，可得 ，
整理得 ；
当 与 重合时，满足题意，符合上式；
综上： 的方程为 ，对．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】将圆的方程化为标准式即可得答案．
解：圆的方程为 ，
即 ，
故则该圆的半径为 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】先确定 ，然后根据 为等边三角形得到 ，带入已知计算即可．
解：由已知得 ，则 ，
又 为等边三角形，则 ，即
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合已知求向量 在向量 上投影向量的坐标．
解：由投影向量定义知：向量 在向量 上投影向量 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了向量法求异面直线所成角．
建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求的范围，需要换元引进二次函数，求解不难．
【解答】
解：以为原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
取，设的横坐标为，，
则，，，
，，
，
与所成的角也是，
，
令，，
可得，
，
故答案为： ．
17.【答案】解：由 ，则 ，得 ．
由 ，则 ，故 ，其中 或 ．
【解析】【分析】由两线垂直的判定列方程，即可求值；
由两线平行的判定列方程，即可求值，注意 或 ；
18.【答案】解： ．
由于 ，
所以 ，
所以 ，
，
解得 或 ．
【解析】【分析】根据空间向量夹角公式求得正确答案．
根据 列方程，从而求得 的值．
19.【答案】解：取 中点 ，连接 ，如图，
， 分别为 ， 的中点，
，且 ，
又底面 为正方形，且 为 中点，
，且 ，
四边形 为平行四边形，
，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
由 平面 ， 平面 ，可得 ，
又正方形中 ，故 两两垂直，
以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间坐标系 ，
则 ， ， ， ，
故 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可取 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，可取 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
则 ，
平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
【解析】【分析】利用中位线可得平行四边形，根据线面平行的判定定理求解；
建立空间直角坐标系，利用向量法求平面所成的角．
20.【答案】解：由题意知 ，且 ，可得 ，
故椭圆 的方程为 ，其“准圆”方程为 ．
由题意，设 ，则有 ，
不妨设 ， ，所以 ， ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 的取值范围是 ．
【解析】【分析】根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；
设 ，写出 ， 坐标，应用向量数量积的坐标表示得 ，结合 是椭圆 上及其有界性，即可求范围．
21.【答案】解：因为 的中点为 ，且 ，所以 的垂直平分线为 ，即 ，
由 ，得 ，所以圆心 ，则半径 ，所以圆 ： ．
如图，由 得 ，所以 ，
所以圆心 到直线 的距离 ，则 ，解得
所以 的取值范围为 ．
【解析】【分析】由题设写出 的垂直平分线的方程，结合已知圆心在直线 上，联立求圆心，并确定半径，即得方程；
根据已知得 ，再由圆心 到直线 的距离 求参数范围．
22.【答案】解：设 ，则 ，化简得 ： ，
所以点 的轨迹的方程为 ．
设 ， ， ，则切线 为 ，切线 为 ，
将点 分别代入得 ，所以直线 为 ，
点 到 的距离 ，当 时， ．
另一方面，联立直线 与 得 ，
所以 ，则 ，
当 时， 所以 ．
故 时， 最小值为 ．
【解析】【分析】设 ，根据已知有 ，化简整理得轨迹；
设 ， ， ，写出切线 、 并将点代入得直线 为 ，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与 ，应用韦达定理、弦长公式求 的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形 面积的最小值．
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