2023-2024学年江苏省宿迁市部分校高二上学期11月期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年江苏省宿迁市部分校高二上学期11月期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 104.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-30 16:37:14 | ||
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文档简介
2023-2024学年江苏省宿迁市部分校高二上学期11月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直角三角形的两个锐角顶点坐标为，则这个三角形外接圆的方程为
A. B.
C. D.
3.抛物线的焦点到准线的距离为
A. B. C. D.
4.如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设表示该数阵中第行、第列的数，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
5.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线的焦点的距离为
( )
A. B. C. D.
6.已知直线与圆相切，且点到直线的距离为，则满足条件的直线条数为
( )
A. B. C. D.
7.已知三条直线和相交于一点，则点到原点的距离的最小值为
( )
A. B. C. D.
8.设双曲线：的左、右焦点分别为，，直线过点若点关于的对称点恰好在双曲线上，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设是等比数列，下列说法中正确的是
( )
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
10.下列命题正确的是
A. 任何直线方程都能表示为一般式
B. 直线与直线互相垂直
C. 两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等
D. 直线恒过定点
11.已知点是圆上一点，，， ，则以下说法正确的是
A. 若直线与圆相切，则
B. 若以，为直径的圆与圆有唯一公共点，则
C. 若，则
D. 当时，的最小值为
12.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，则下列结论正确的是
A. 的最小值为 B. 曲线方程为
C. 面积的最大值为 D. 的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若直线与直线平行，则实数的值为_______．
14.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且有，请写出一个满足条件的点的坐标______．
15.已知等差数列的前项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是______．
16.为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒，，放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度如图所示，则_____．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
若数列是等差数列，则称数列为调和数列．若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项．
求和的调和中项；
已知调和数列，，，求的前项和公式．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，如图，矩形中，已知，，为，的两个三等分点，与交于点．
若，直线的方程；
若，求的长．
19.本小题分
设，若过点直线与圆相交于两点．
若为弦的中点，求的取值范围及直线的方程；
若的斜率为，且，求的值．
20.本小题分
已知数列满足，．
记，求证：为等比数列；
求数列的前项的和．
21.本小题分
某海域有两个岛屿，岛在岛正东海里处，某海洋探测器在两个岛屿周围移动探测，移动探测时始终保持到两点距离之和为海里，以所在直线为轴，中垂线所在直线为轴建系，其中正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向．
求海洋探测器移动的轨迹方程；
当海洋探测器在岛南偏西方向时，求该海洋探测器到岛的距离．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且．
求双曲线的方程；
经过的直线与交于点，，设，直线，分别与直线交于点，，证明：以为直径的圆经过点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题；
计算时先计算斜率，可得倾斜角．
【解答】
解：由，可得，
斜率为，倾斜角为．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的方程的求解，属于基础题．
根据圆内接直角三角形的性质得，，是圆的一条直径的两个端点，从而可得圆心与半径，即可得圆的方程．
【解答】
解：根据题意，，是圆的一条直径的两个端点，
则圆的圆心为，半径，
则圆的方程为，
即．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质及标准方程，属于基础题．
求出抛物线的标准方程，得即可求解．
【解答】解：先将抛物线方程化为标准形式，
，
抛物线的焦点到准线的距离为．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的应用，涉及等差数列的通项公式以及应用，属于中档题．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，第行是首项为，公差为的等差数列，为第行的第个数，
则，A错误
对于，第行是首项为，公差为的等差数列，为第行的第个数，
则，B错误
对于，第行是首项为，公差为的等差数列，为第行的第个数，
则，C正确
对于，第行是首项为，公差为的等差数列，为第行的第个数，
则，D错误
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可．
【解答】解：设点，
，
，
或舍去，
．
到抛物线的准线的距离，
点到该抛物线焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离，
点到该抛物线焦点的距离为．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题．
根据斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时验证点到直线距离即可，当斜率存在时，根据点到直线距离，列方程求解．
【解答】
解：当直线的斜率不存在时，
直线方程为，或，
点到直线的距离为，符合题意，
点到直线的距离为，不符合题意．
当直线的斜率存在时，
设直线方程为，
由直线与圆相切，得，
点到直线的距离为，得，
联立，解得，或，，
满足条件的直线有三条．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的交点坐标以及两点间的距离公式，以及利用配方法求一元二次方程的最小值，属于中档题．
应先根据求得交点，代入可得，利用两点距离公式表示出点到原点的距离，将用表示代入后，利用配方法求得最小值．
【解答】
解：联立，解得
把代入，得，，
点到原点的距离
，
当且仅当，时取等号．
点到原点的距离的最小值为 ．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，涉及向量数量积计算，属于中档题．
由点关于的对称点恰好在双曲线上，得，结合双曲线的定义得，结合二倍角余弦公式，用含，的式子表示，带入数量积计算公式，得到关于，的方程，解方程即可得离心率．
【解答】
解：若点关于的对称点恰好在双曲线上，
则，
由双曲线的定义得，
所以，
设直线与交于点，
则，
则，
所以
所以，
，即，
双曲线的离心率为，则，
又，
故．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的概念、判断与证明，考查推理能力，是中档题．
根据等比数列的判断方法，分别检验比值是否为常数进行判断．
【解答】
解：是等比数列可得是定值，
中，常数，是等比数列，故正确；
当数列的公比为时，，而等比数列各项均不为，故错误；
中，常数，是等比数列，故正确；
中，当数列的公比为时，无意义，故错误；
故选AC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程，两直线垂直和平行的判定，直线过定点问题，属于中档题．
根据直线的一般式方程，两直线垂直和平行的判定，直线过定点问题逐一判断即可．
【解答】
解：对直线的一般式方程为：，、不同时为，
当，时，方程表示垂直于轴的直线
当，时，方程表示垂直于轴的直线
当，时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线
故A正确；
对于：，
则直线与直线互相垂直，
故B正确；
对于：因为垂直于轴的直线没有斜率，
故C错误；对于：因为，
所以，
所以，解得
所以直线恒过定点．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离即为半径，进而即可判断；根据圆与圆的位置关系，分圆 与外切和内切两种情况讨论即可判断；设点的坐标为，从而得到圆与有交点，进而即可判断；设点的坐标为为参数，从而得到 ，其中 ，进而即可判断．
【解答】解：对于，由，，则直线的方程为 ：，
所以圆的圆心到直线的距离为，又直线与圆相切，所以，故A正确；
对于，由，，则以，为直径的圆方程为： ，
所以圆的圆心到圆 的圆心的距离为，
当圆 ，与外切时，有，得，
当圆 ，与内切时，有，得，故B不正确；
对于，设点的坐标为，则 ， ，
所以 ，所以圆与有交点，
则，故C正确；
对于，设点的坐标为为参数，
则 ， ，
所以 ，其中 ，
所以当时， 取得最小值，且最小值为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查曲线中的轨迹问题，属于中档题．
利用基本不等式判断A正确，设 ，根据 化简得到B正确，计算 ，得到面积的最大值为 ，判断C错误，确定 ， ，判断D正确，得到答案．
【解答】
解：对选项A：，当且仅当，
即时等号成立，所以选项正确；
对选项B：设 ，则 ，即 ，
整理得到 ，即 ，正确；
对选项C：曲线方程变形为，
解得，
设 ， ，则 ，
故 ， 面积的最大值为 ，错误；
对选项D： ，故 ，正确；
13.【答案】
【解析】【分析】本题考察两直线平行相关性质的应用，属于中档题．
由直线 平行，求出 值并验证即可．
【解答】解：由直线 与 平行，得 ，解得 或 ，
当 时，直线 的纵截距为 ，直线 的纵截距为 ，则 ，
当 时，直线 的纵截距为 ，直线 的纵截距为 ，则直线 重合，
所以实数 的值为 ．
故答案为：
14.【答案】也可
【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、勾股定理属于中档题．
由椭圆定义， ，得到，设，得，即可得解．
【解答】解：由，得，，
所以，
因为，所以，
由题意定义可得，
所以
得；
设，
，
两边平方整理得，则或，
则，所以或．
答案写出其中一个即可
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，属于中档题．
根据题意，得出，公差，且，，可得，进一步可得，从而可得结果．
【解答】
解：对任意的，均有成立，必有，公差，
且，，
即，，
即，
则，
综上可得：的取值范围是．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是圆的几何性质及其应用，属于中档题．
设两圆外切于点，连接，作交于点，点为线段与圆的交点，然后利用求解即可．
【解答】解：
如图，设两圆外切于点，连接，作交于点，
点为线段与圆的交点，
因为，所以，
因为，，
所以，所以，
所以，解得，
故答案为：．
17.【答案】解：设和的调和中项为，依题意得：、、依次成等差数列，
所以，即
依题意，是等差数列，设其公差为，，
所以，所以，
所以，
所以．
【解析】根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；
根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，进而得到的通项公式，利用裂项相消法可得答案．
本题是新定义题型，主要考查利用定义求等差数列通项公式，等差中项的应用，裂项相消法求和，属于中档题．
18.【答案】解：因为，所以，，，，
所以直线方程为，直线方程为，
联立求得，，
所以直线的方程为，即；
设，则，，，，
所以直线方程为，直线方程为，
联立求得，，又因为，
所以，解得取正值，所以的长．
【解析】本题考查了两条直线的交点坐标，考查了一般式方程，是中档题
先求得直线方程为，直线方程为，故可得点坐标，故可求直线的方程；
设，则，，，，先求得点坐标，结合斜率公式可得答案．
19.【答案】解：由题意知，圆的圆心为，半径，
因为为弦的中点，所以，且点在圆内，
所以，得，且，
所以，直线的方程为
因为的斜率为，方程为，圆心到的距离，
设，则，
所以，所以．
【解析】本题主要考查直线与圆的关系，属于中档题．
由为弦的中点，则，且点在圆内，可得的取值范围及直线的方程；
，可得的值．
20.【答案】解：，
因为，所以，所以，
所以是以首项为公比为的等比数列
由知，
故，
所以
．
【解析】本题考查等比数列的判定与证明，等比数列的通项公式与分组并项法求和，属于中档题．
由题意得到，即可证明数列为等比数列；
因为，根据分组并项法求和计算可得．
21.【答案】解：由题意知，，，设检测器的位置坐标为，
则有，
所以点的轨迹是以，为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，
设方程为，
则，，所以，
所以海洋探测器移动的轨迹方程为
由于海洋探测器在岛南偏西方向，
所以点在第三象限，直线斜率为，方程为，
联立方程组解得，或舍去，
所以，所以
所以海洋检测器到岛距离为海里．
【解析】本题考查椭圆的实际应用，属于中档题．
依题意，海洋探测器的运动轨迹是以，为焦点的椭圆，求得轨迹方程为：
由直线斜率为，方程为，联立方程组，解得的坐标，故可得的值，得海洋探测器到岛的距离．
22.【答案】解：因为，所以双曲线的半焦距，又因为，
所以，又因为，联立解得，，
所以双曲线的方程为．
显然直线不与轴垂直，故可设直线的方程为，，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，与只有一个交点，不合题意，
联立直线与的方程并消去，得
则，恒成立，
设，，所以，
直线的方程为，令，得，同理，
因为，
所以，
又
，
所以，所以，故以为直径的圆经过定点．
【解析】本题考查了双曲线标准方程求解，考查了直线与双曲线的位置关系，属于较难题．
结合条件，建立，，关系式，求解即可；
由题意可设直线的方程为，，通过联立方程，证得，即可得证．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知直角三角形的两个锐角顶点坐标为，则这个三角形外接圆的方程为
A. B.
C. D.
3.抛物线的焦点到准线的距离为
A. B. C. D.
4.如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设表示该数阵中第行、第列的数，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
5.若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线的焦点的距离为
( )
A. B. C. D.
6.已知直线与圆相切，且点到直线的距离为，则满足条件的直线条数为
( )
A. B. C. D.
7.已知三条直线和相交于一点，则点到原点的距离的最小值为
( )
A. B. C. D.
8.设双曲线：的左、右焦点分别为，，直线过点若点关于的对称点恰好在双曲线上，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设是等比数列，下列说法中正确的是
( )
A. 是等比数列 B. 是等比数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
10.下列命题正确的是
A. 任何直线方程都能表示为一般式
B. 直线与直线互相垂直
C. 两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等
D. 直线恒过定点
11.已知点是圆上一点，，， ，则以下说法正确的是
A. 若直线与圆相切，则
B. 若以，为直径的圆与圆有唯一公共点，则
C. 若，则
D. 当时，的最小值为
12.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，则下列结论正确的是
A. 的最小值为 B. 曲线方程为
C. 面积的最大值为 D. 的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若直线与直线平行，则实数的值为_______．
14.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且有，请写出一个满足条件的点的坐标______．
15.已知等差数列的前项和为，对任意的，均有成立，则的值的取值范围是______．
16.为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒，，放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度如图所示，则_____．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
若数列是等差数列，则称数列为调和数列．若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项．
求和的调和中项；
已知调和数列，，，求的前项和公式．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，如图，矩形中，已知，，为，的两个三等分点，与交于点．
若，直线的方程；
若，求的长．
19.本小题分
设，若过点直线与圆相交于两点．
若为弦的中点，求的取值范围及直线的方程；
若的斜率为，且，求的值．
20.本小题分
已知数列满足，．
记，求证：为等比数列；
求数列的前项的和．
21.本小题分
某海域有两个岛屿，岛在岛正东海里处，某海洋探测器在两个岛屿周围移动探测，移动探测时始终保持到两点距离之和为海里，以所在直线为轴，中垂线所在直线为轴建系，其中正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向．
求海洋探测器移动的轨迹方程；
当海洋探测器在岛南偏西方向时，求该海洋探测器到岛的距离．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且．
求双曲线的方程；
经过的直线与交于点，，设，直线，分别与直线交于点，，证明：以为直径的圆经过点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题；
计算时先计算斜率，可得倾斜角．
【解答】
解：由，可得，
斜率为，倾斜角为．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的方程的求解，属于基础题．
根据圆内接直角三角形的性质得，，是圆的一条直径的两个端点，从而可得圆心与半径，即可得圆的方程．
【解答】
解：根据题意，，是圆的一条直径的两个端点，
则圆的圆心为，半径，
则圆的方程为，
即．
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的性质及标准方程，属于基础题．
求出抛物线的标准方程，得即可求解．
【解答】解：先将抛物线方程化为标准形式，
，
抛物线的焦点到准线的距离为．
故选C．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的应用，涉及等差数列的通项公式以及应用，属于中档题．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，第行是首项为，公差为的等差数列，为第行的第个数，
则，A错误
对于，第行是首项为，公差为的等差数列，为第行的第个数，
则，B错误
对于，第行是首项为，公差为的等差数列，为第行的第个数，
则，C正确
对于，第行是首项为，公差为的等差数列，为第行的第个数，
则，D错误
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
求得点的坐标，将点到该抛物线焦点的距离转化为点到抛物线的准线的距离即可．
【解答】解：设点，
，
，
或舍去，
．
到抛物线的准线的距离，
点到该抛物线焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离，
点到该抛物线焦点的距离为．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查点到直线的距离，直线与圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题．
根据斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时验证点到直线距离即可，当斜率存在时，根据点到直线距离，列方程求解．
【解答】
解：当直线的斜率不存在时，
直线方程为，或，
点到直线的距离为，符合题意，
点到直线的距离为，不符合题意．
当直线的斜率存在时，
设直线方程为，
由直线与圆相切，得，
点到直线的距离为，得，
联立，解得，或，，
满足条件的直线有三条．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的交点坐标以及两点间的距离公式，以及利用配方法求一元二次方程的最小值，属于中档题．
应先根据求得交点，代入可得，利用两点距离公式表示出点到原点的距离，将用表示代入后，利用配方法求得最小值．
【解答】
解：联立，解得
把代入，得，，
点到原点的距离
，
当且仅当，时取等号．
点到原点的距离的最小值为 ．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的性质及几何意义，涉及向量数量积计算，属于中档题．
由点关于的对称点恰好在双曲线上，得，结合双曲线的定义得，结合二倍角余弦公式，用含，的式子表示，带入数量积计算公式，得到关于，的方程，解方程即可得离心率．
【解答】
解：若点关于的对称点恰好在双曲线上，
则，
由双曲线的定义得，
所以，
设直线与交于点，
则，
则，
所以
所以，
，即，
双曲线的离心率为，则，
又，
故．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的概念、判断与证明，考查推理能力，是中档题．
根据等比数列的判断方法，分别检验比值是否为常数进行判断．
【解答】
解：是等比数列可得是定值，
中，常数，是等比数列，故正确；
当数列的公比为时，，而等比数列各项均不为，故错误；
中，常数，是等比数列，故正确；
中，当数列的公比为时，无意义，故错误；
故选AC．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的一般式方程，两直线垂直和平行的判定，直线过定点问题，属于中档题．
根据直线的一般式方程，两直线垂直和平行的判定，直线过定点问题逐一判断即可．
【解答】
解：对直线的一般式方程为：，、不同时为，
当，时，方程表示垂直于轴的直线
当，时，方程表示垂直于轴的直线
当，时，方程表示任意一条不垂直于轴和轴的直线
故A正确；
对于：，
则直线与直线互相垂直，
故B正确；
对于：因为垂直于轴的直线没有斜率，
故C错误；对于：因为，
所以，
所以，解得
所以直线恒过定点．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离即为半径，进而即可判断；根据圆与圆的位置关系，分圆 与外切和内切两种情况讨论即可判断；设点的坐标为，从而得到圆与有交点，进而即可判断；设点的坐标为为参数，从而得到 ，其中 ，进而即可判断．
【解答】解：对于，由，，则直线的方程为 ：，
所以圆的圆心到直线的距离为，又直线与圆相切，所以，故A正确；
对于，由，，则以，为直径的圆方程为： ，
所以圆的圆心到圆 的圆心的距离为，
当圆 ，与外切时，有，得，
当圆 ，与内切时，有，得，故B不正确；
对于，设点的坐标为，则 ， ，
所以 ，所以圆与有交点，
则，故C正确；
对于，设点的坐标为为参数，
则 ， ，
所以 ，其中 ，
所以当时， 取得最小值，且最小值为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查曲线中的轨迹问题，属于中档题．
利用基本不等式判断A正确，设 ，根据 化简得到B正确，计算 ，得到面积的最大值为 ，判断C错误，确定 ， ，判断D正确，得到答案．
【解答】
解：对选项A：，当且仅当，
即时等号成立，所以选项正确；
对选项B：设 ，则 ，即 ，
整理得到 ，即 ，正确；
对选项C：曲线方程变形为，
解得，
设 ， ，则 ，
故 ， 面积的最大值为 ，错误；
对选项D： ，故 ，正确；
13.【答案】
【解析】【分析】本题考察两直线平行相关性质的应用，属于中档题．
由直线 平行，求出 值并验证即可．
【解答】解：由直线 与 平行，得 ，解得 或 ，
当 时，直线 的纵截距为 ，直线 的纵截距为 ，则 ，
当 时，直线 的纵截距为 ，直线 的纵截距为 ，则直线 重合，
所以实数 的值为 ．
故答案为：
14.【答案】也可
【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、勾股定理属于中档题．
由椭圆定义， ，得到，设，得，即可得解．
【解答】解：由，得，，
所以，
因为，所以，
由题意定义可得，
所以
得；
设，
，
两边平方整理得，则或，
则，所以或．
答案写出其中一个即可
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质，属于中档题．
根据题意，得出，公差，且，，可得，进一步可得，从而可得结果．
【解答】
解：对任意的，均有成立，必有，公差，
且，，
即，，
即，
则，
综上可得：的取值范围是．
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是圆的几何性质及其应用，属于中档题．
设两圆外切于点，连接，作交于点，点为线段与圆的交点，然后利用求解即可．
【解答】解：
如图，设两圆外切于点，连接，作交于点，
点为线段与圆的交点，
因为，所以，
因为，，
所以，所以，
所以，解得，
故答案为：．
17.【答案】解：设和的调和中项为，依题意得：、、依次成等差数列，
所以，即
依题意，是等差数列，设其公差为，，
所以，所以，
所以，
所以．
【解析】根据题意得到、、成等差数列，从而得到方程，求出，得到答案；
根据题意得到是等差数列，设出公差，由通项公式基本量计算得到公差，进而得到的通项公式，利用裂项相消法可得答案．
本题是新定义题型，主要考查利用定义求等差数列通项公式，等差中项的应用，裂项相消法求和，属于中档题．
18.【答案】解：因为，所以，，，，
所以直线方程为，直线方程为，
联立求得，，
所以直线的方程为，即；
设，则，，，，
所以直线方程为，直线方程为，
联立求得，，又因为，
所以，解得取正值，所以的长．
【解析】本题考查了两条直线的交点坐标，考查了一般式方程，是中档题
先求得直线方程为，直线方程为，故可得点坐标，故可求直线的方程；
设，则，，，，先求得点坐标，结合斜率公式可得答案．
19.【答案】解：由题意知，圆的圆心为，半径，
因为为弦的中点，所以，且点在圆内，
所以，得，且，
所以，直线的方程为
因为的斜率为，方程为，圆心到的距离，
设，则，
所以，所以．
【解析】本题主要考查直线与圆的关系，属于中档题．
由为弦的中点，则，且点在圆内，可得的取值范围及直线的方程；
，可得的值．
20.【答案】解：，
因为，所以，所以，
所以是以首项为公比为的等比数列
由知，
故，
所以
．
【解析】本题考查等比数列的判定与证明，等比数列的通项公式与分组并项法求和，属于中档题．
由题意得到，即可证明数列为等比数列；
因为，根据分组并项法求和计算可得．
21.【答案】解：由题意知，，，设检测器的位置坐标为，
则有，
所以点的轨迹是以，为焦点，焦距为，长轴长为的椭圆，
设方程为，
则，，所以，
所以海洋探测器移动的轨迹方程为
由于海洋探测器在岛南偏西方向，
所以点在第三象限，直线斜率为，方程为，
联立方程组解得，或舍去，
所以，所以
所以海洋检测器到岛距离为海里．
【解析】本题考查椭圆的实际应用，属于中档题．
依题意，海洋探测器的运动轨迹是以，为焦点的椭圆，求得轨迹方程为：
由直线斜率为，方程为，联立方程组，解得的坐标，故可得的值，得海洋探测器到岛的距离．
22.【答案】解：因为，所以双曲线的半焦距，又因为，
所以，又因为，联立解得，，
所以双曲线的方程为．
显然直线不与轴垂直，故可设直线的方程为，，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，与只有一个交点，不合题意，
联立直线与的方程并消去，得
则，恒成立，
设，，所以，
直线的方程为，令，得，同理，
因为，
所以，
又
，
所以，所以，故以为直径的圆经过定点．
【解析】本题考查了双曲线标准方程求解，考查了直线与双曲线的位置关系，属于较难题．
结合条件，建立，，关系式，求解即可；
由题意可设直线的方程为，，通过联立方程，证得，即可得证．
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