2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高二上学期期中调研数学试题（含解析）

2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高二上学期期中调研数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若过，两点的直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦距为
( )
A. B. C. D.
3.抛物线的准线方程是
( )
A. B. C. D.
4.方程表示实轴在轴上的双曲线，则实数的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
5.若点在圆内，则直线与圆的位置关系为
( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
6.如图所示，一圆形纸片的圆心为，是圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与交于点，则点的轨迹是( )
A. 圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 椭圆
7.过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点．当的面积最小时，的方程为
( )
A. B.
C. D.
8.设曲线上点到直线的距离为，则实数的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆，则下列说法正确的 有
( )
A. 实数的取值范围是 B. 圆的圆心为
C. 若，则圆的半径为 D. 若圆与轴相切，则
10.已知直线与，则下列说法正确的有
( )
A. 直线恒过点
B. 当时，则在轴上的截距为
C. 若，则
D. 若，则与之间的距离为
11.已知为坐标原点，，点、是抛物线上两点，为的焦点，则下列说法正确的有
( )
A. 若，则最小值为
B. 周长的最小值为
C. 为直径的圆与轴相切
D. 若直线经过点，则
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则
( )
A. 点的横坐标为 B. 的周长为
C. 的内切圆的半径为 D. 的外接圆的半径为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.双曲线 的 离心率等于___________．
14.与双曲线有相同焦点，且经过点的椭圆的标准方程为__________．
15.与两坐标轴都相切，且圆心在直线上的 圆的标准方程是__________．
16.已知为坐标原点，，为抛物线上任意一点，且恒成立，则实数的取值范围是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点．
求抛物线的标准方程；
过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，求的长．
18.本小题分
已知 的 顶点为，，．
求边的垂直平分线的一般式方程；
求的外接圆的方程．
19.本小题分
已知圆和定点，为圆外一点，直线与圆相切于点，且．
求点的轨迹方程；
经过点的直线与点的轨迹相交于两点，且，求直线的方程．
20.本小题分
已知动圆与圆外切，与圆内切．
求动圆圆心的轨迹方程；
求的取值范围．
21.本小题分
已知，，动点在直线上．
求的最小值；
求的最小值．
22.本小题分
已知双曲线的离心率为，右焦点到渐近线的距离为．
求双曲线的方程；
若直线过定点且与双曲线交于不同的两点、，点是双曲线的右顶点，直线、分别与轴交于、两点，以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据两点间斜率公式，结合斜率与倾斜角的关系可得解．
解：过 ， 两点的直线的斜率 ，
又直线的倾斜角为 ，即 ，
所以 ，解得 ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆方程求出 得值，即可得焦距 ．
解：由 可得 ， ，
所以 ，可得 ，
所以焦距 ，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】利用抛物线准线方程定义求解即可．
解： 抛物线的准线方程为 ，焦点在 轴上， ，即 ， ，
准线方程是 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据双曲线的标准方程列不等式即可．
解：由方程 表示实轴在 轴上的双曲线，
则 ，解得 ，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据点与圆，直线与圆位置关系计算即可判断．
解：因为点 在圆 内，
所以 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，
圆 的半径 ，
因为 ，所以直线 与圆 的位置关系为相离．
故选： ．
6.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的 定义，属于中档题．
根据题意知 ，所以 ，故点的 轨迹是椭圆．
解：由题意知， 关于对称，所以 ，
故 ，
可知点的轨迹是椭圆．
7.【答案】
【解析】【分析】令直线为 ，根据已知及基本不等式可得 ，确定等号成立条件得 ，即可写出直线方程．
解：由题设，令直线为 ，
则 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，此时 的面积最小为 ，
所以直线方程为 ．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】借助数形结合思想，利用直线与圆的位置关系可得答案．
解：曲线 ，其中 ， ，即 ， ，
曲线方程可化为 ，其中 ， ，即曲线的轨迹是一个半圆．
因为圆心 到直线 的距离 ，
故半圆上一点到直线的最小距离 ，
半圆上点 到直线的距离最大 ，
则 的取值范围为 ，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】将圆 的方程化为标准方程，可得出关于 的不等式，求出 的范围，可判断选项；求出圆 的圆心坐标，可判断选项；当 时，求出圆 的半径，可判断选项；根据圆 与 轴相切求出 的值，可判断选项．
解：将圆 的方程化为标准方程可得 ．
对于选项，有 ，解得 ，对；
对于选项，圆 的圆心坐标为 ，错；
对于选项，当 时，圆 的半径为 ，对；
对于选项，若圆 与 轴相切，则 ，解得 ，错．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用分离参数法判断，利用截距知识判断，利用两直线垂直充要条件判断，利用两直线平行的充要条件及两平行直线间距离公式判断．
解：对于选项A，直线 可化为 ，
当 时， ，即 ， 对任意 都成立，
所以直线 恒过点 ，故选项A正确；
对于选项B，当 时，直线 ，令 ，解得 ，
所以 在 轴上的截距为 ，故选项B不正确；
对于选项C，由 与 ，
因为 ，所以 ，解得 ，故选项C不正确；
对于选项D， ， ，
因为 ，所以 且 ，解得 ，
即 ， ，
由两平行线间的距离公式可得， 与 之间的距离 ，
故选项D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】抛物线定义的两种应用：
实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
分析可值，直线 过点 ，设直线 的方程为 ，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及韦达定理可判定选项；利用斜率公式以及韦达定理可判定选项；利用抛物线的定义可判定选项；利用抛物线的焦半径公式可判断选项．
解：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
设点 、 ，
对于选项，若 ，则直线 过点 ，
设直线 的方程为 ，联立 可的 ，
，由韦达定理可的 ， ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 最小值为 ，对；
对于选项，过点 作 垂直于直线 ，垂足为点 ，
由抛物线的定义可得 ，
所以， ，当且仅当 、 、 三点共线时，
取最小值，且最小值为 ，
所以， 的周长为 ，
因此， 周长的最小值为 ，错；
对于选项，线段 的中点为 ， ，
而 为点 到 轴的距离，故 为直径的圆与 轴相切，对；
对于选项，若直线 经过点 ，
由选项可得 ，对．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案．
解：由题意知 ， ， ，则 ， ．
对于选项，因为 ，解得 ，又 ，
则 ， ，故A错误；
对于选项， 的周长为 ，故B正确；
对于选项，设 的内切圆的半径 ，
则 ，
又 ， ，
解得 ，故C正确；
对于选项，在 中，
由 ，
解得 ，
又 ，
即 ，
整理得： ，
即 ，
即 ，
又 ，
解得 ，
设 的外接圆的半径为 ，
由正弦定理知： ，即 ，解得 ，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】直接求解离心率即可得答案．
解：由题知 ，所以 ，即 ，
所以离心率为
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标，根据椭圆的定义求出 的值，进而可求出 的值，由此可得出所求椭圆的标准方程．
解：双曲线 的焦点为 、 ，
设所求椭圆的标准方程为 ，
由椭圆的定义可得
，
所以， ， ，
因此，所求椭圆的标准方程为 ．
故答案为： ．
15.【答案】 或
【解析】【分析】设所求圆的标准方程为 ，由题意可得 ，分 、 两种情况讨论，根据圆心在直线 上，求出 的值，即可得出所求圆的标准方程．
解：设所求圆的标准方程为 ，
因为所求圆与两坐标轴都相切，则 ，
当 时，则圆心 在直线 上，则 ，解得 ，
此时，所求圆的标准方程为 ；
当 时，则圆心 在直线 上，则 ，解得 ，
此时，所求圆的标准方程为 ．
综上所述，所求圆的标准方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
16.【答案】
【解析】【分析】设 ，根据题中条件列出不等式，从而求解的范围．
解：设 ，则 ．
因为 恒成立，所以 ，
则有 ，
因为 ，所以有 ，
进而有 恒成立，故
又 ，所以的取值范围是
故答案为：
17.【答案】解：设抛物线的方程为 ，
将 代入方程解得 ．
因此抛物线的标准方程为 ；
直线 的方程为 ，设 ，
联立直线 与抛物线的方程： ，解得
所以 的长为 ．

【解析】【分析】设出抛物线的方程，然后代点计算即可得答案；
将直线 与抛物线的方程联立，求出 两点坐标，然后用两点距离公式求解即可．
18.【答案】解：设 中点为 ，所以 ，即 ，
由题意得 ，所以边 上高的斜率为，
又因为 的垂直平分线过点 ，
所以 的垂直平分线的方程为： ，即 ．
设 的外接圆的方程为 ．
将，，三点坐标代入上式得 ，解得 ，
所以圆的方程为 ，即 ．

【解析】【分析】求出直线 的斜率，可得出 边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程可得结果；
设 的外接圆的方程为 ，将该三角形的三个顶点坐标代入所求圆的方程，可得出关于 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出 的外接圆的方程．
19.【答案】解：设点 坐标为 ，由 得 ，
所以 ，
化简得 ．
由 得 ，故圆心为 ，半径为，
由 得圆心到直线 的距离为，
当直线 与 轴垂直时，直线 ，满足圆心到直线 的距离为；
当直线 与 轴不垂直时，可设直线 的方程为 ，即 ．
所以 ，解得 ，所以 ．
所以直线 的方程为 或 ．

【解析】【分析】设出 坐标为 ，由等量关系得到方程，化简后得到答案；
由圆的半径和弦长得到圆心到直线距离，分直线 与 轴垂直，与 轴不垂直两种情况，进行求解．
20.【答案】解：圆 的圆心为 ，半径 ．
圆 的圆心为 ，半径 ，
，所以圆 内含于圆 ．
设动圆圆心为 ，动圆半径为 ，
由于 ，
所以 点的轨迹是以 、 为焦点，长轴长为 的椭圆，
从而 ， ，所以 ，所以点 的轨迹方程为 ．
解：设点 ，则 ，则 ，
则 ，
所以， ，所以，
，
．
所以 的取值范围为 ．

【解析】【分析】利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心 的轨迹是椭圆，求出 、 、 的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心 的轨迹方程；
设点 ，则 ，利用两点间的距离公式求出 的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得 的取值范围．
21.【答案】解：设 关于直线 ： 对称点坐标为 ，
则 ，得 ，即 ，
，
所以 的最小值为 ．
设点 坐标为 ，
则
因为点 在直线 上，
所以 ，
所以 ，
，
所以 的最小值为 ．

【解析】【分析】借助线段和的几何意义求解即可；
设点 坐标为 ，写出 的表达式，将 代入消元，转化为二次函数的最值问题，即可求解．
22.【答案】解：由双曲线 的离心率为 ，得 ，所以 ，
则渐近线方程为 即 ，右焦点 到渐近线距离为 ，
所以， ， ， ，则双曲线 的方程是 ．
解：以线段 为直径的圆过 轴上的定点．
法一：当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，
若直线 的斜率为零，则 、 中有一点与点 重合，不合乎题意，则 ，
由 得： ．
当 时， ，
设 、 ，则有 ， ．
又 是双曲线 的右顶点，则 ．
由题意知，直线 的方程为 ，故 ．
直线 的方程为 ，故 ．
若以 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立．
又 ， ，
所以， 恒成立．
又
．
所以， ，解得 ．
故以 为直径的圆过 轴上的定点 ；
当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，记点 、 ，
，则直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，同理可得点 ，
则以 为直径的圆的方程为 ，过点 ．
法二：若直线 与 轴重合，则 、 中有一点与点 重合，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，代入 得 ．
则 ，解得 ，
设点 、 ，则 ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ，同理得
设以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，有 ，即 ，
且 ， ，
则 ，
解得 ，所以，直线 恒过定点 ．

【解析】【分析】本题考查以 为直径的圆过定点问题，再解决这类问题时，要注意找出定点的位置，将定点问题转化为直径所对的圆周角为直角，转化为向量垂直来处理．
根据双曲线的离心率可得出 ，可得出双曲线 的渐近线方程，利用已知条件求出 的值，即可得出 、 的值，由此可得出双曲线 的方程；
解法一：对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，以 为直径的圆过 轴上的定点 ，则 ，利用平面向量数量积的坐标运算求出 的值，可得出定点坐标，在直线 的斜率不存在时，求出圆的方程，验证圆过定点即可；
解法二：分析可知，直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，以 为直径的圆过 轴上的定点 ，则 ，利用平面向量数量积的坐标运算求出 的值，可得出定点坐标．
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