课件20张PPT。八年级下册第一章 三角形的证明八年级数学备课组
1、经历“探索—发现--猜想--证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2、证明线段垂直平分线的性质定理探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。
学习目标：1、线段的垂直平分线的定义：
垂直且______一条线段的直线是这条
线段的垂直平分线。
2、线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的____到这条线段
两个端点的距离______。
3、预习教材：第22—23页平分点相等学前准备已知:线段AB,（如图）.
求作:线段AB的垂直平分线. 做一做：用尺规作线段的垂直平分线.1.分别以点A和B为圆心,以大于 AB
的长为半径作弧,两弧交于点C和D. 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线...作法：自主学习（1）同学们怎么知道“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”这条性质呢？我们曾经利用折纸的方法得到这条性质（2）同学们能否通过逻辑推理证明这条性质呢？自主学习证明：∵MN⊥AB
∴∠PCA=∠PCB=90°
在△PCA和△PCB中，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB.自主学习AC=BC∠PCA=∠PCB=90°PC=PC
几何语言描述老师提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一. ABMN如图,
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任
意一点(已知)∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等) 自主学习′想一想：你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的逆命题吗?逆命题 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上。
即到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗?如果是,请你证明它.合作交流已知:如图,线段BC，AB=AC.
求证:点A在BC的垂直平分线上.
合作交流∵ AD⊥BC
∴ △ADB和△ADC都是Rt△
∵AB=AC,AD=AD
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)
∴ BD=CD(全等三角形的对应边相等)
∴ 点A在BC的垂直平分线上
C 方法一：过点A作AD⊥BC,垂足为D合作交流∵D为BC的中点
∴BD=CD
∵AB=AC,AD=AD
∴△ADB≌△ADC(SSS)
∴∠ADB=∠ADC
∵∠ADB+∠ADC=180°
∴∠ADB=∠ADC=90°
∴AD⊥BC
即点A在BC的垂直平分线上 方法二：把线段BC的中点记为D,连接AD合作交流你还有其它证
明方法吗？逆定理 到一条线段两个端点距离相等
的点,在这条线段的垂直平分线上.几何语言描述：
如图,
∵AB=AC(已知),
∴点A在BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).提示:这个结论经常用来证明点在直线上(或直线 经过某一点)的根据之一.合作交流例1：已知：如图 ，在 △ABC 中，AB = AC， O是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．证明：
∵AB=AC
∴点A在BC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上)
同理,点O在BC的垂直平分线上
∴直线 AO 垂直平分线段BC(两点确定一条直线)
例题展示1、已知：线段AB及一点P，PA =PB，
则点P在_________________上。 线段的垂直平分线120 °2、已知：如图，∠BAC=120 °,AB=AC,AC 的
垂直平分线交BC于D则∠ADC= 。课堂检测3、如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线。
（1）则BD = ；
（2）若∠B = 40°，则∠BAC = ，
∠DAB = ，∠DAC= ，
∠CDA = ；
(3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC =_____ ，
△ACD的周长为 。AD 9 510 °80 °40°50 °课堂检测4、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。课堂检测
1、线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离______。
2、到一条线段两个端点距离_______的点，在这条线段的__________线上。点 相等垂直平分 相等归纳总结
1、 课本P24页 习题l.7 第3、4题 。
2、完成下节课的导学案。课外作业谢谢指导再见课件18张PPT。1.3
线段的垂直平分线(2)作图：三角形三条边的垂直平分线 本节课我们学习什么？1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理。
2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形。1.线段的垂直平分线的性质定理和判断定理。
2.线段的垂直平分线的作法。利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发现了什么？用心做一做发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线。结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点。实际操作，你又能发现什么？点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点。
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P, 求证：点P也在AC的垂直平分线上
证明：连接AP,BP,CP.
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB (线段垂直平分线上的点到线
段两个端点的距离相等)
同理,PB=PC.
∴PA=PC.
∴点P在线段AB的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点。在这条线段的垂直平分线上)
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于一点.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线(已知),
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等).图形语言这是一个证明三条直线交于一点的证明根据。开拓创新 试一试1．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。开拓创新 试一试2．已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O 求证：OA=OB=OC． 证明： ∵AB=AC，AD是BC的中线，
∴AD垂直平分BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边)．
又∵AB的垂直平分线与交于点O
∴OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)． 动手做一做，小组议一议(1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?已知：三角形的一条边a和这边上的高h
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h1ADCBa( )DCBAahAB注意：这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等.(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? 这样的等腰三角形也有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
如图所示，这些三角形不都全等．动手做一做，小组议一议(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．所以满足这一条件的三角形是唯一确定的。
你能尝试着用尺规作出这个三角形吗?动手做一做，小组议一议已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h
作法：1．作BC=a； 2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点； 3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点； 4．连接AB、AC ∴△ABC就是所求作的三角形ah当堂检测1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）
A、三角形三条角平分线的交点；
B、三角形三条垂直平分线的交点；
C、三角形三条中线的交点；
D、三角形三条高的交点.
2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ ）
A、锐角三角形；B、直角三角形；
C、钝角三角形；D、不能确定
3、等腰 Rt△ABC中，AB=AC,BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是 .
4、如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）A BC
5、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2，求AB与BC的长.
当堂检测1.证明了定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形回顾一下吧，本节课你学到了什么？Thank you!
