课件25张PPT。
第一章 三角形的证明
1.1.1等腰三角形2015.03.09学习目标1.复习与三角形全等有关的公理和定理；
2.掌握等腰三角形的性质。一 复习三角形全等判定公理：三边对应相等的两个三角形全等（ＳＳＳ）
公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
性质公理：全等三角形的对应边、对应角相等。你能用上面的公理证明下面的推论吗？
推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS)命题的证明推论:两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.证明:
∵ ∠A=∠A′,∠C=∠C′（已知）∴∠B=∠B′（三角形内角和定理）
在△ABC与△A′B′C′中
∵ ∠A=∠A′ （已知）,
AB=A′B′（已知）,
∠B=∠B′ （已证）,
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）.′驶向胜利的彼岸已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠C=∠C′, AB=A′B′.
求证:△ABC≌△A′B′C′.几何的三种语言推论:
两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.在△ABC与△A′B′C′中
∵∠A=∠A′
∠C=∠C′
AB=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）.′驶向胜利的彼岸证明后的结论,以后可以直接运用. 二 探究等腰三角形的性质你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). 如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.定理 等腰三角形的两个底角相等。
这一定理可以简单叙述为：等边对等角证明：取BC的中点D，连接AD。 D∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABC≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)◆做∠BAC的平分线，交BC边于D； 过点A做AD⊥BC。你还有其他证明方法吗 与同伴进行交流。
命题的证明此时AD还是什么线?
胜利属于敢想敢干的人.定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).已知:
如图,在△ABC中, AB=AC.
求证: ∠B=∠C.在Rt△ABD与Rt△ACD中
∵ AB=AC （已知）,
AD=AD（公共边）,
∴ △ABD≌△ACD（HL）.证明:
过点A作AD⊥BC,交BC于点D.∴ ∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.几何的三种语言定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用. 想一想 在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论? 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (三线合一)推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).∵AB=AC, ∠1=∠2(已知).
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.∵AB=AC, BD=CD (已知).
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）∵AB=AC, AD⊥BC(已知).
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）轮换条件∠1=∠2, AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用. 1.等腰三角形的两个底角相等；
2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；简称为“三线合一”
等腰三角形的性质三 应用 1.在△ABC中，AB=AC.
（1）若∠A=40°，则∠C等于多少度？
（2）若∠B=72°，则∠A等于多少度？
2. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD， AC=BC=CD，
（1）求证： △ABD是等腰三角形;
（2）求∠BAD的度数.大胆尝试，练一练！四 拓展开拓思维1.将下面证明中每一步的理由写在括号内:已知:如图,AB=CD,AD=CB.
求证:∠A=∠C.证明:连接BD,
在△BAD和△DCB中,
∵ AB=CD( )
AD=CB( )
BD=DB( )
∴ △BAD≌ △DCB( )
∴ :∠A=∠C ( )ABCD2.已知:如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.
求证:∠A=∠D等腰三角形△ABC,AB=AC,BD⊥AC 探索∠DBC与∠A之间关系?┏ABCD探索与拓展等腰三角形△ABC,AB=AC, DE⊥AC, DF⊥AB, CH⊥AB 探索DE、DF、 CH的关系?D┓┓┓等腰三角形底边上的点到两腰的距离和等于一腰上的高EFHD┓┓┓EFHDE+DF=CH方法1：在HC上取一点G，使FD=HGD┓┓┓EFH●GDE+DF=CH方法2：过D点作DG∥HFD┓┓┓EFH●GDE+DF=CHD┓┓┓EFH●GDE+DF=CH方法3：过D点作DG⊥HF还有好方法吗？课件18张PPT。第一章三角形的证明
1.等腰三角形(2)2015.3.10学习目标1、掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、会证明和应用等腰三角形的相关结论。
3、会证明和应用等边三角形的性质定理。
1.等腰三角形的性质是什么？
2.等边三角形有哪些性质？
复习与回顾已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等. 合作探究一求证：BD=CE．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB，
∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成求证：BD=CE．一题多解证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB，
∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．大胆尝试，练一练！已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的高．1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD=CE．分析：要证BD=CE，就需证BD和CE 所在的两个三角形的全等．大胆尝试，练一练！已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．2. 证明: 等腰三角形两腰上
的中线相等.求证：BD=CE．分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等． 刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等
想一想, 做一做 议一议 1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?
(2)如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗?
如果AD= AC，AE= AB呢?由此你得到什么结论? 总结规律 （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC，
AE= AB，那么BD=CE. 简述为：
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，
那么：BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.想一想：
等边三角形都具有哪些性质？1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.合作探究二 自我检测一1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
证明:∵ △ABC和△BDE都是等边三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴ △ABE≌△CBD∴AE=CD2、完成P6随堂练习1、P7知识技能1、随堂练习1答案：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC,
BD,CE分别是AC,AB边上的中线，且BD,
CE相交于点O,求∠BOE的度数。解：∵ AB=AC=BC
∴∠ABC=∠ACB=600
∵ BD是AC边上的中线
∴∠BOE=∠1+∠2=600（等边三角形三线合一）知识技能1答案：解：∵ AB=AC
∴∠ABC=∠C
同理∴∠3=∠C
∵ BD平分∠ABC
∴∠1=∠2
又∵ ∠ABC=∠1+∠2，
∠3=∠A+∠1
∴∠1=∠2 =∠A∴∠ABC=∠C =2∠A∵ ∠ABC+∠C+∠A=1800∴5∠A=1800∴∠A=3602.P7习题1.2 T2、3、43、（P6随堂练习2）如图，在 △ABC中， D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解： ∵ △ADE是等边三角形
∴AD=DE=AE
∴∠DAE=∠ADE=∠AED=600
∴∠ADB=∠AEC=1200
∵BD=DE=EC
∴∠B=∠BAD=300
同理：∠C=∠CAE=300
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE
=300+600+300
=1200T2T2证明：∵AB=AC, AE=AF
∴∠B=∠C, BE=CF
∵D是BC的中点∴ BD=CD
∴△BDE≌△CDF（SAS）
∴DE=DFT3T3证明： ∵ △ABC是等边三角形
∴AC=CB, ∠A=∠BCE
又∵AD=CE
∴△ADC≌△CEB（SAS）
∴CD=BE
拓展延伸 迁移升华 已知：如图，在一个风筝ABCD中，AB=AD，BC=DC。分别在AB，AD的中点E，F处拉两根彩线EC，FC，证明：这两根彩线的长相等；课时小结 1.等腰三角形中还有那些相等的线段？
2.等边三角形有哪些性质？
3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？课件18张PPT。新北师大版 八年级下册数学第一节 等腰三角形（三）第一章 三角形的证明学习目标1、学会证明等角对等边,并进行等腰三角形的判定;
2、体会反证法，并会用反证法进行证明;
3、规范证明的书写过程.等腰三角形的 判 定 定 理′ 前面已经证明了“等边对等角”，反过来“等角对等边”是真命题吗?
即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了.选择：作BC边上的中线；？
作∠A的平分线？或作BC边上的高？.分析:有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.这又是一个判定两条线段相等的依据之一.结论1、如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．（黄金三角形）
随堂练习 2、已知：AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E
求证：△AED是等腰三角形.随堂练习 论证命题的新思维与新方法小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,
那么这两个角所对的边也不相等.即在△ABC中, 如果∠B≠∠C,
那么AB≠AC. 你认为这个结论成立吗?
如果成立,你能证明它吗? 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时,AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，
因此， AB≠AC.论证的新方法----反证法 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.
这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity) 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”
定理可得∠B=∠C .
但已知条件是∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾,
因此,AB≠AC.反证法是一种重要的数学证明方法.
在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.反证法证题范例求证: 一个三角形中不能有两个角是直角。(用反证法来证)证明：
假设△ABC中有两个直角 ，不妨设∠A=∠B=90° ，
那么∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180°，
这与三角形的内角和定理相矛盾
∴假设不成立
∴△ABC中不能有两个直角已知：△ABC
求证： ∠A、 ∠ B、∠C中不能有两个角是直角试一试求证: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,
那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,
即都得小于1/5,
那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.
这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.
因此,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.(用反证法来证)证明:等腰三角形 知 识 回 顾等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。顶角【定义】【性质定理】【性质定理的推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形;高(简称:“三线合一”)【判定定理】等腰三角形：
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等。等边三角形（特殊的等腰三角形）等边三角形的三个内角都相等，
并且每个角都等于60°。【定义】【性质定理】有三边相等的三角形叫做等边三角形;用反证法证题的一般步骤1. 假设命题的结论不成立;
2. 从这个假设出发,应用正确的推理方法, 得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结果;
3. 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.2.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，
求△AMN的周长. . 隋堂练习（配套练习）1. 用反证法证明:等腰三角形的底角必为锐角。证明: 假设∠B, ∠C是等腰△ABC的两个底角,
且都大于或等于90°,
即∠B ≥ 90°, ∠C ≥ 90°,∴ ∠A+∠B+∠C>180°;
这与三角形的内角和是180°定理矛盾∴假设不成立∴等腰三角形的底角必为锐角
隋堂练习P3514题3、已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC． 隋堂练习P9习题1 隋堂练习P9习题34.用尺规做等腰三角形5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AB+BD=CD,
求证：∠B=2∠C （1）本节课学习了哪些内容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？
（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判
定的区别和联系．
（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路课堂小结作业祝你成功！一、随堂练习1、2题
习题1.3 第1题
二、练习册1.1.3课件20张PPT。 北师大版八年级数学下第一章三角形的证明 1.1.4 等腰三角形学习目标1、探索一个三角形成为等边三角形的条件并证明正确性
2、探究有30°角的直角三角形的性质及推理过程
3、运用所学知识进行相关的证明和计算自学指导阅读课本10-13页，回答问题：
（1）一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
（2）一个等腰三角形满足什么条件时便成了等边三角形？
（3）用两个含30°角的全等的三角尺，能拼出一个怎样的三角形？
请回答上述问题并证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴进行交流。
总结：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么他所对的直角边与斜边的数量关系是？
（4）阅读例题体会运用知识并解决随堂练习和习题1命题的证明定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知),
∴∠C=∠B=600.(等边对等角)
∴∠A=600(三角形内角和定理)
∴∠A=∠B（等式的性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式的性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义).已知:如图,在△ABC中 AB=AC,∠B=600.
求证:△ABC是等边三角形. 几何的三种语言驶向胜利的彼岸定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.在△ABC中,
∵AB=AC,∠B=600(已知).
∴△ABC是等边三角形
(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据之一驶向胜利的彼岸命题的证明定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B (已知),
∴ BC=AC,(等角对等边).
又∵∠B=∠C(已知),
∴ AB=AC,(等角对等边).
∴AB=BC=AC(等式性质).
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形定义)已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.
求证:△ABC是等边三角形.几何的三种语言′定理:三个角都相等的三角形是等边三角形在△ABC中,
∵∠A=∠B=∠C(已知),
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).驶向胜利的彼岸命题的猜想1 操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？结论:在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半.能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？驶向胜利的彼岸命题的证明定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300
求证:BC= AB.分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题“线段相等”问题延长BC至D,使CD=BC,连接AD ∵ ∠ACB=900, (已知),
∴∠ACD=900(平角定义)
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）
∠ACB=∠ACD（已证）
AC=AC（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴ AD=AB
∵∠ACB=900,∠A=300(已知),
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
∴△ABD是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD= AB(等式性质).证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD几何的三种语言驶向胜利的彼岸定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,
∵∠ACB=900,∠A=300.
∴BC= AB.(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半).推论：学无止境驶向胜利的彼岸解:∵∠B=∠ACB=150(已知),
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).
∴CD= AC=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).例 .已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.
求:腰上的高.2a2a探索腰AB与底BC的关系？ABC300300D含300角的直角三角形′驶向胜利的彼岸1.已知:如图,
在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.
求证:BD=AB/4.你能规范地写出证明过程吗？
你的证题能力有所提高吗?300展展身手1.已知：如图，在△ABC中,高线BD和CE相交于H，∠BHC=120°,HD=1,HE=3,求BD和CE的长。CH=2
CE=5
BH=6
BD=72.已知：如图，△ABC是等边三角形,D.E分别是BC,AC上的点,且AE=CD,BE和AD相交于P,BQ⊥AD, 垂足是Q, (1)求∠BPD的度数
(2)求证:BP=2PQACDBPEQ60°展展身手3.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由.展展身手再 来4矩形ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为EF展开后再折成如图所示,使点A落在EF上的点A'处,求第二次折痕BG的长.36练一练5.已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,MN⊥DM,且交∠CBE的平分线于N, (1)求证:MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？如果成立请证明；若不成立请说明理由.HH.回味无穷等边三角形的判定:
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
特殊的直角三角形的性质:
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
老师提醒:
反证法还认识你吗?300
