(共16张PPT)
1.2.1直角三角形（1）
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a.b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
开启 智慧
a
c
b
勾
弦
股
预习展示
1、直角三角形的两个锐角有什么关
系？为什么？
定理1：直角三角形的两个锐角互余。
如果一个三角形有两个角互余，那么这个
三角形是直角三角形吗？为什么？
定理2：有两个角互余的三角形是
直角三角形。
勾股定理的证明
我能行
1
方法一: 数方格
方法二：割补法
方法三：赵爽的弦图
方法四：总统证法
方法五：青朱出入图
这些证法你还能记得多少 你最喜欢哪种证法
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2 + 4 ab/2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
(a+b)2
c2 +4 ab/2
c
a
c
a
c
b
c
a
∵ c2= 4 ab/2 +(b-a)2
c2 =2ab+b2-2ab+a2
c2 =a2+b2
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
c2
4 ab/2+(b- a)2
总统证法
′
这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式.
图中三个三角形面积的和是
2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2;
比较可得:c2 = a2+b2 .
伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观.简捷.易懂.明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法. ．
勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！
a
b
a
b
c
c
回顾反思
2
勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
命题: 如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
合作探究1
如果将条件和结论反过来，命题还成立吗？
勾股定理的逆定理
我能行
3
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.
a
c
b
A
B
C
(1)
逆定理的证明
我能行
4
证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.
求证:△ABC是直角三角形.
a
c
b
A
B
C
(1)
a
c
b
B′
A′
C′
(2)
A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).
∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图),
∴ AB2=A′B′2(等式性质).
∴ AB=A′B′(等式性质).
∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS).
∴ ∠A=∠A′＝ 900(全等三角形的对应边).
∴ △ABC是直角三角形(直角三角形意义).
几何的三种语言
回顾反思
5
′
勾股定理的逆定理
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
这是判定直角三角形的根据之一.
在△ABC中
∵AC2+BC2=AB2(已知),
∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).
a
c
b
A
B
C
(1)
命题与逆命题
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形
观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系 与同伴交流.
再观察下面三组命题:
如果两个角是对顶角,那么它们相等,
如果两个角相等,那么它们是对顶角;
如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,
如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;
三角形中相等的边所对的角相等,
三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗 与同伴进行交流.
开启 智慧
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
开启 智慧
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗
它们都是真命题吗
想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
开启 智慧
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
你还能举出一些例子吗
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
蓄势待发
随堂练习
6
′
老师提示:
你是否能将有关命题的知识予以整理.
说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假:
四边形是多边形;
两直线平行,同旁内角互补;
如果ab=0,那么a=0,b=0.
请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假.
勾股定理:
如果直角三角形两直角边分别为a.b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
命题与逆命题
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
课堂小结(共20张PPT)
1.2 直角三角形（2）
*
学习目标
1.会证明直角三角形全等的判定定理；
2.会用判定定理（HL）解决有关问题。
预习展示
1、三角形全等的判定方法有哪些？
2、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
3、如果其中一边的所对的角是直角呢
命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.
这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:
A
B
C
A′
B′
C′
A′
B′
C′
●
●
●
(1)
(2)
(3)
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形
已知：线段a，c，直角α
求作：Rt△ABC，使∠C=∠α ，
BC=a，AB=c
感悟导入
已知：线段a，c，直角α
求作：Rt△ABC，使∠C=∠α ，
BC=a，AB=c
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
简述为：“斜边、直角边”或“HL”
你能证明它吗？
你们得到的三角形全等吗？你能得到什么样的结论呢？
已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900
BC=B′C ′, AB=A′B′
求证:△ABC≌△A′B′C′.
A
B
C
A′
B′
C′
合作探究
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，
AB=A′B′，BC=B′C′
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
证明： ∵在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2(勾股定理)．
又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2－B'C'2 (勾股定理)
∵ AB=A'B'，BC=B'C'，∴AC=A'C'．
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
A
B
C
A′
B′
C′
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
简述为：“斜边、直角边”或“HL”
几何语言:
在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900
∵ BC=B′C ′, AB=A′B′
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.（HL）
A
B
C
A′
B′
C′
例：有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小关系？
解：根据题意可知，∠BAC=∠EDF=90°，
BC=EF,AC=DF
∴Rt△BAC≌Rt△EDF (HL)
∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等)
∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠B+∠F=90°
1、判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两直角边对应相等的两个直角三角形全等;
一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.
假
真
真
真
A
C
B
D
E
G
F
H
巩固训练
2、如图，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明理由。
解：相等。
根据题意可知，∠AOC=∠AOB=90°，
AB=AC,AO=AO
∴Rt△AOB≌Rt△AOC (HL)
∴ OB=OC (全等三角形对应边相等)
3、如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件 把它们分别写出来.
增加AC=BD（HL）;
增加BC=AD（HL）;
增加∠ABC=∠BAD （AAS）;
增加∠CAB=∠DBA（AAS） ;
1、已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形
证明：∵ D是△ABC的BC边的中点
∴BD=CD
∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠1=∠2=90°
∵BD=CD,DE=DF
∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL)
∴∠B=∠C
∴△ABC是等腰三角形
1
2
测试评价
2、已知：如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为EF，且DE=BF，求证：（1）AE=CF（2）AB∥CD
证明：（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠1=∠2=90°
∵AB=CD,DE=BF
∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)
∴AF=CE
∴AF-EF=CE-EF
即AE=CF
(2) ∵Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)
∴∠A=∠C ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
1
2
用三角尺作角平分线
再过点M作OA的垂线,
3、如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;
过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,
那么射线OP就是∠AOB的平分线.
请你证明OP平分∠AOB.
已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON.
求证:∠AOP=∠BOP.
先把它转化为一个纯数学问题:
分析:在Rt△OMP和Rt△ONP中,OP=OP,OM=ON,
利用HL证明三角形全等
4、判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）两边分别相等的两个直角三角形全等
（2）一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
假
假
5、在如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕）.①先将点B对折到点A，②将对折后的纸片再沿AD对折. （1）由步骤①可以得到哪些等量关系？ （2）请证明△ACD≌△AED； （3）按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？
30°
30°
（1） AE=BE,AD=BD,∠B=∠DAE=30°，∠BDE=∠ADE=60°，∠AED=∠BED=90°
(2)提示：法一，在Rt△ABC中，∠B=30°，所以AC=1/2AB，由操作①可知AE=1/2AB,因而AC=AE,且AD为公共边，运用HL可证Rt△ACD≌Rt△AED；
法二，由操作②得到∠CAD=∠EAD=30°，由操作①得到∠AED=90°，依据AAS证明Rt△ACD≌Rt△AED
（3）不能
