11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 同步课件 (共40张PPT)

(共40张PPT)
11.1.2
三角形的高、中线
与角平分线
复习导入
回顾：什么叫垂线？线段中点？角平分线？
垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点。
角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
A
B
O
B
A
复习导入
回顾：过一点画如何画已知直线的垂线
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
放、
靠、
过、
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
画.
新知探究
思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
三角形的高
从三角形的一个顶点向它的 所在的直线做垂线， 和
之间的 叫做三角形的高.
对边
顶点
垂足
线段
如图，在△ABC 中，AD⊥BC ，点D是垂足
则 是△ABC的边BC上的高
此时：_________________________
A
B
C
D
AD
∠ADB = ∠ADC = 90°
注意：
标明垂直的记号和垂足的字母.
新知探究
② AD⊥BC，垂足为 D.
③ 点 D 在 BC 上，且∠BDA =∠CDA = 90°.
① AD 是△ABC 的高.
A
B
C
D
高的叙述方法（如图）：有三种
新知探究
每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条高。
如图，画出三角形的高。
3
3
思考：这三条高之间有怎样的位置关系
思考：锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
新知探究
对于任意三角形，是否也满足“三条高相交于一点”
分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高，
并观察三条高是否相交于一点。
A
C
B
A
C
B
A
C
B
新知探究
（1）锐角三角形
O
A
B
C
D
E
F
①BC边上的高为
AC边上的高为
AB边上的高为
AD
BE
CF
②锐角三角形的三条高（线段AD、BE、CF） ，
且
相交于一点
该点位于三角形的内部
新知探究
（2）直角三角形
①AC边上的高为
直角边AB上的高为
直角边BC上的高为
BD
CB
AB
②直角三角形的三条高 。
相交于直角顶点
A
B
C
D
新知探究
（3）钝角三角形
A
B
C
D
E
F
①BC边上的高为
AB边上的高为
AC边上的高为
AD
CE
BF
②直角三角形的三条高 。
不相交于一点
新知探究
A
B
C
D
F
思考：钝角三角形的三条高相交吗？
思考：它们所在的直线交于一点吗？
这点位于何处？
O
E
钝角三角形的三条高不相交.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点，
并且这个点在三角形外部.
新知探究
三角形高的特点
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形
内部
直角顶点
三角形
外部
三角形三条高所在直线的交点称为三角形的 。
垂心
典例精析
例1
如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高（ ）
B
B
例2
典例精析
例3
如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长.
【解析】如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E



∵ BC AE＝ AC BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3
∴ ×4AE＝ ×8×3
解得 AE＝6
∴AE的长为6
新知探究
三角形的中线
思考：你能类比三角形高线的定义，说明什么是三角形的中线吗？
在三角形中，连接一个 与它 的 线段，
叫做这个三角形的中线.
顶点
对边中点
如图，在△ABC 中，E是BC的中点
则 是BC边上的中线，
此时：______________________
B
A
C
A
E
AE
BE=CE
如图，在△ABC 中，AE是BC边上的中线
则E是BC的 ，
此时：______________________
中点
BE=CE
新知探究
每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条中线.
如图，画出三角形的中线.
3
3
思考：这三条中线之间有怎样的位置关系
思考：锐角三角形的三条中线是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条中线交于同一点.
锐角三角形的三条中线都在三角形的内部.
新知探究
对于任意三角形，是否也满足“三条中线相交于一点”
分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线，
并观察三条中线是否相交于一点。
A
C
B
A
C
B
A
C
B
三角形的中线
新知探究
三角形的三条中线 ，且 。
相交于一点
该交点位于三角形内部
三角形三条中线的交点，叫做三角形的的 。
重心
新知探究
思考：如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高．试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系，
为什么？
B
C
D
E
A
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
思考：通过以上问题你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
新知探究
三角形的中线
1. 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心.
2. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
拓展：三角形重心的性质
A
C
D
B
G
典例精析
例4
如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC 的长（AC＜AB）。
【解析】∵AD为△ABC的中线
∴BD＝CD
∵△ABD和△ADC的周长差是4cm
∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD)
＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD
＝AB﹣AC
＝4cm
∵AB＝12cm
∴AC＝AB﹣4cm＝8cm
∴△ABC的边AC的长为8cm
典例精析
例5
如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC ＝12，求 S△ADF－S△BEF 的值.
解：∵ 点 D 是 AC 的中点，∴ AD＝ AC.
∵ S△ABC＝12，∴ S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
∵ EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴ S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4.
∵ S△ABD－S△ABE ＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF) ＝S△ADF－S△BEF，
∴ S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
方法总结
典例精析
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
新知探究
三角形的角平分线
思考：你能类比三角形高线的定义，说明什么是三角形的角平分线吗？
在三角形中，一个内角的 与它的 相交，这个角
的 与 之间的线段，叫做三角形的角平分线。
平分线
对边
顶点
交点
如图，在△ABC 中，∠1=∠2
则 是∠A的角平分线
1
2
A
B
C
D
AD
如图，在△ABC 中，AD是∠A的角平分线
则___________
∠1=∠2
新知探究
思考：三角形的角平分线与角的平分线相同吗
A
B
C
D
相同点是： ∠ABD = ∠CBD；
不同点是：前者是线段，后者是射线.
新知探究
每一个三角形都有 个内角，因此每一个三角形都有 条角平分线.
如图，画出三角形的角平分线.
3
3
思考：这三条角平分线之间有怎样的位置关系
思考：锐角三角形的三条角平分线是在三角形的内部还是外部
锐角三角形的三条角平分线交于同一点.
锐角三角形的三条角平分线都在三角形的内部.
新知探究
对于任意三角形，是否也满足“三条角平分线相交于一点”
分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线，
并观察三条角平分线是否相交于一点.
A
C
B
A
C
B
A
C
B
三角形的角平分线
新知探究
三角形的三条角平分线 ，且 ，
该点称为三角形的 。
相交于一点
该交点位于三角形内部
三角形的角平分线是一条 。
线段
内心
典例精析
例6
A
B
C
如图，AD、BE、CF分别是△ABC的三条角平分线，请判断下列各角之间的大小关系并填空.
D
E
F
1
2
3
4
（1）∠1=∠（ ）；
（2）∠3= （ ）；
（3）∠ACB=（ ）∠4.
2
∠ABC
利用三角形的角平分线的性质进行解答.
2
典例精析
例7
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE.
解：∵在△ABC中， ∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=70°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE.
∵∠BAC=70°， ∴∠BAE=35°.
∵AD⊥BC，∠B=80°， ∴∠BAD=10°.
∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°.
D
E
┐
B
A
C
典例精析
变式
如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=x°，
∠C=y°，求∠DAE(用x,y表示).
解：∵在△ABC中， ∠B=x°，∠C=y°，
∴∠BAC=(180-x-y)°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE.
∴∠BAE=90°-0.5(x+y)°.
∵AD⊥BC，∠B=80°， ∴∠BAD=(90-x)°.
∴ ∠DAE=∠BAE-∠BAD=0.5(x-y)°.
D
E
┐
B
A
C
归纳总结
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°
∵ AD是△ABC的BC上的中线
∴ BD=CD= BC
∵AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
当堂检测
1.如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上的一点，CF⊥AD于H．下列判断正确的有（　　）
A．AD是△ABE的角平分线
B．BE是△ABD边AD上的中线
C．CH为△ACD边AD上的高
D．AH为△ABC的角平分线
【解析】A、根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故本选项错误；
B、根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故本选项错误；
C、根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故本选项正确；
D、根据三角形的角平分线的概念，知AD是△ABC的角平分线，故本选项错误．
C
当堂检测
2.如图，CM是△ABC的中线，AB＝10cm，则BM的长为（　　）
A．7cm B．6cm
C．5cm D．4cm
【解析】∵CM是△ABC的中线，AB＝10cm∴BM= AB＝5cm故答案选C
C
3. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC 的高的有 （　　）
A．2 条 B．3 条
C．4 条 D．5 条
B
当堂检测
4.填空：
(1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则
AB = 2＿＿，BD = ＿＿，AE = ＿＿ .
(2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，
则∠1 =_______， ∠3 =_______，∠ABC = 2_____.
图①
图②
AF
DC
∠CAD
∠2
∠BCF
A
B
C
D
E
F
AC
当堂检测
5. 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，
S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =_____cm2.
12
6.BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是　　。
【解析】∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴△ABD和△BCD的周长的差
=(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)
=AB﹣BC，
∵AB＝5，BC＝3，
∴△ABD和△BCD的周长的差＝5﹣3＝2
2
当堂检测
解：∵ CD 是△ABC 的中线，
∴ BD = AD.
∵ BC - AC = 5cm，
∴△DBC 与△ADC 的周长差是 5 cm.
又∵△DBC 的周长为 25 cm，
∴△ADC 的周长为 25 - 5 = 20 (cm).
7. 如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长.
A
D
B
C
当堂检测
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长。
【解析】∵DB为△ABC的中线
∴AD＝CD
设AD＝CD＝x，则AB＝2x
当x+2x＝12，解得x＝4
BC+x＝15，解得BC＝11
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11
当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7
当堂检测
9. 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值.
解：根据垂线段最短，可知当 BP⊥AC 时，BP 有最小值．
此时由△ABC 的面积公式可知，
AD · BC＝ BP · AC.
代入数值，可解得 BP＝ .
P
当堂检测
10.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
解：根据面积比值为1：1：2的要求，可以将三角形菜地的总面积看作4份.
利用三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形的性质.
如图，分别作出两条中线，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积之比就是1：1：2.
A
B
C
E
D