北师大版五年级数学上册5.5最大公因数（知识梳理+真题练习）学案

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北师大版五上5.5最大公因数
知识梳理
1、找最大公因数的方法。
（1）几个数相同的因数是它们的公因数,其中最大的一个是它们的最大公因数。
（）2最大公因数在生活中应用很多,如把下面两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，求每根短彩带最长是多少厘米,就是求45和30的最大公因数。
真题练习
一、选择题
1．淘气买圆珠笔花了10元，笑笑买圆珠笔花了8元。如果他们买的圆珠笔的单价是一样的，那么这种圆珠笔的单价最高是（ ）元。（淘气和笑笑买圆珠笔的单价和数量都是整数）
A．2 B．4 C．20 D．40
2．如果m＝9n（m和n都是不为0的整数），那么m和n的最大公因数是（ ）。
A．m B．9 C．n D．mn
3．两根绳子分别长48dm和54dm，要将它们剪成同样长的小段而没有剩余，每小段最长（ ）。
A．12dm B．6dm C．3dm D．2dm
4．下面（ ）组的公因数只有1。
A．21和14 B．54和42 C．3和39 D．26和27
5．两根铁丝的长分别为18米，12米，现在把它们截成相等的小段，且每一段必须最长，这样共可截（ ）段。
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
6．有两根竹竿，长度分别是16dm、20dm。要把它们截成同样长的几段，不许剩余，每段最长是( )dm。
7．18的因数是( )，21的因数是( )，它们的公因数是( )。
8．长24cm、36cm的两根小棒，截成相等小段，正好截完，没有剩余。每段最长( )cm。
9．互质的两个数的最大公因数是_____。
10．男生有36人，女生有48人，各排一个方队，要使每排人数相同，每排最多有( )人。
三、计算题
11．求下面每组数的最大公因数。
6和10 18和24 34和17
四、解答题
12．有三根小棒，分别长12cm，44cm，56cm。要把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段这样的小段？
13．把两根分别长32cm和40cm的木条截成同样长的小段，每小段都要求是整厘米数，且没有剩余。每小段木条最长是多少厘米？一共能剪多少段这么长的木条？
14．李明家买的房子带一间地下室，地下室长24分米，宽12分米，高3米。
（1）地下室的门面积是160平方分米，没有窗户，要粉刷这间地下室的墙壁和天花板，需要粉刷的面积是多少平方分米？
（2）给地下室的地面铺上防潮砖，为了美观，全家人商量后确定使用的防潮砖必须都是整块的，选择下面哪种规格的防潮砖可以满足他们的要求？请说明你的理由。
规格一 边长是8分米
规格二 边长是4分米
规格三 边长是5分米
参考答案
1．A
【分析】淘气买圆珠笔花了10元，笑笑买圆珠笔花了8元，因为他们买的圆珠笔的单价是一样的，所以圆珠笔的单价是10、8的公因数；求这种圆珠笔的单价最高是多少元，就是求10、8的最大公因数。
【详解】10＝2×5
8＝2×2×2
所以10、8的最大公因数是：2；
因此这种圆珠笔的单价最高是2元。
故答案为：A
【点睛】此题需要学生掌握求最大公因数的方法并灵活运用。
2．C
【分析】由m＝9n可知，m÷n＝9，则m是n的倍数，n是m的因数，m和n成倍数关系时，最大公因数是里面的较小数，据此解答。
【详解】假设m＝18，n＝2，18＝9×2，18和2的最大公因数是2，则m和n的最大公因数是n。
故答案为：C
【点睛】根据题意确定m和n成倍数关系是解答题目的关键。
3．B
【分析】每小段最长的分米数就是两根绳子长度分米数的最大公因数，据此解答。
【详解】48＝2×2×2×2×3
54＝2×3×3×3
48和54的最大公因数是2×3＝6，所以每小段最长是6分米。
故选择：B
【点睛】此题考查了最大公因数的相关应用，求两个数的最大公因数也就是两个数公有因数的连乘积。
4．D
【分析】几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，据此解答。
【详解】A． 21和14的公因数有：1、7；
B． 54和42的公因数有：1、2、3、6；
C． 3和39的公因数有：1、3；
D． 26和27的公因数只有1。
故选择：D
【点睛】此题考查了公因数的找法，一般用短除法。另外记住连续的自然数只有公因数1。
5．C
【分析】根据题干，要使每一段最长，那么每一段的长度应是18和12的最大公因数，此题只要求出18和12的最大公因数，即可求得截得的段数，由此即可解得答案进行选择。
【详解】18＝2×3×3，
12＝2×2×3，
所以18和12的最大公因数是2×3＝6，即每一段最长为6米，
共可截得：（18＋12）÷6
＝30÷6
＝5（段）
故答案为：C。
【点睛】根据题干，得出每段最长即是求这两个数的最大公因数是解决本题的关键。
6．4
【分析】分别把16dm和20dm两个数分解质因数，求出它们的最大公因数，就是每段最长的长度。
【详解】16＝2×2×2×2
20＝2×2×5
16和20的最大公因数是：2×2＝4。
所以每段最长是4dm。
【点睛】主要考查几个数的最大公因数的求法，并用它解决实际问题。
7．1、2、3、6、9、18 1、3，7、21 1、3
【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；两个数公有的因数叫做它们的公因数。据此解答即可。
【详解】18的因数有：1、2、3、6、9、18；
21的因数有：1、3，7、21；
18和21的公因数有：1、3。
【点睛】此题考查的目的是理解因数、公因数的意义，掌握求一个数的因数的方法、求两个数的公因数的方法及应用。
8．12
【分析】分别把24和36两个数分解质因数，求出它们的最大公因数，就是每根小棒最长厘米数。
【详解】24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3
所以24和36的最大公因数是2×2×3＝12，所以每段最长12cm。
【点睛】主要考查几个数的最大公因数的求法，并用它解决实际问题。
9．1
【详解】两个数互质，它们的最大公因数是1。
10．12
【分析】要使每排的人数最多，那么每排的人数就是男生、女生人数的最大公因数，据此解答。
【详解】36＝2×2×3×3；
48＝2×2×2×2×3
所以36和48的最大公因数是2×2×3＝12，每排最多有12人。
【点睛】此题考查了最大公因数的实际应用，求两个数的最大公因数，把两个数公有的质因数连乘即可。
11．2；6；17
【分析】根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积；当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数；当两个数是互质数时，最大公因数是1，据此解答即可。
【详解】10＝2×5
6＝2×3
所以6和10的最大因数是2；
18和24
18＝2×3×3
24＝2×2×2×3
所以18和24的最大公因数是6；
34和17
17和34是倍数关系，所以34和17的最大公因数是17。
12．4厘米；28段
【分析】每小段最长的厘米数就是三根小棒厘米数的最大公因数，一共可以截成的段数＝三根小棒的总长度÷每小段的长度即可。
【详解】12＝2×2×3
44＝2×2×11
56＝2×2×2×7
12、44、56的最大公因数是2×2＝4
（12＋44＋56）÷4
＝112÷4
＝28（段）
答：每小段最长是4厘米，一共可以截成28段这样的小段。
【点睛】此题考查了最大公因数的应用，其最大公因数就是把这几个数公有的因数连乘即可。
13．木条最长8厘米；一共能剪9段
【分析】根据题意，可计算出32与40的最大公因数，即是每小段木条的最长厘米数，然后再用40除以最大公因数加上32除以最大公因数的商，即是一共能剪木条的段数，列式解答即可得到答案。
【详解】32＝2×2×2×4
40＝2×2×2×5
32和40的最大公因数是2×2×2＝8
所以每段最长8厘米
32÷8＋40÷8
＝4＋5
＝9（段）
答：每小段木条最长是8厘米；一共可以剪成9段这么长的木条。
【点睛】解答此题的关键是利用求最大公因数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可。
14．（1）2288平方分米；（2）见详解
【分析】（1）求粉刷的面积，实际上求长方体4个侧面和1个上底面的面积之和，根据长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，求出总面积，再减去地下室的门面积，即是需要粉刷的面积；
（2）根据题意，要使用的防潮砖正好铺满，也就是防潮砖的边长必须是长和宽的因数，根据求公因数的方法解答即可。
【详解】（1）3米＝30分米
24×12＋24×30×2＋12×30×2－160
＝288＋1440＋720－160
＝2448－160
＝2288（平方分米）
答：需要粉刷的面积是2288平方分米。
（2）24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24
12的因数有1、2、3、4、6、12
所以24和12的公因数有1、2、3、4、5、6、12
答：选择边长是4分米的防潮砖可以满足他们的要求，理由是防潮砖的边长必须是24和12的公因数。
【点睛】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，求两个数的公因数的方法及应用。
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