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23.2.3 一元二次方程的解法（3）
学习目标
1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤和方法
2、会正确运用配方法解一元二次方程，进一步体会配方法是一种重要的数学方法
学习重、难点
重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）2= n（n≥0）形式
学习过程：
一、情境创设
我们已经学过了用直接开平方法与配方法解一元二次方程，那么如何解方程2x2－5x＋2 = 0呢
二、探索活动
由于该方程不是（x＋m）2= n（n≥0）的形式，因此不能用直接开平方法解，而且也不符合上节课用配方法所解的方程的形式，但如果将方程两边同时除以二次项系数的话就和上节课所学的一样了。即
方程两边同时除以2，得
x2－x ＋1= 0
再用上节课的知识解决即可。
小结：对于二次项系数不为1的一元二次方程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解。
三、例题教学
例 1 解下列方程：
⑴ 3 x2＋8x＋1 = 0 ⑵ －3 x2＋4x＋1 = 0
分析：第1小题先将方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，再用配方法解之；而第2小题的二次项系数是负数，同样只需两边同除以二次项系数－3，再用配方法解之。
小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、方程两边同时除以二次项系数；
2、把常数项移到方程右边；
3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
4、利用直接开平方法解之。
三、课堂练习
P88 练习 1
四、课堂小结
引导学生总结：
1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方时要注意什么？
2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
五、作业
P88 练习1 P93 习题4.2 3
六、课后感
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23.2.4 一元二次方程的解法（4）
学习目标
1、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0
2、会用公式法解一元二次方程
学习重、难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程
难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误
学习过程：
一、情境创设
1、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
2、用配方法结合直接开平方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
3、如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？
二、探索活动
能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）转化为呢？
回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：
因为，方程两边都除以，得
移项，得
配方，得
即
当，且时，大于等于零吗？
让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当时，因为，所以，从而
到此，你能得出什么结论？
让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为，即。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （）
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
思考：当时，方程有实数根吗？
三、例题教学
例 1 解下列方程：
⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4
分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。
四、课堂练习
1、P90 练习 1、2
2、思维拓展：用配方法解方程x2＋px＋q = 0(p2－4q≥0)
五、课堂小结
引导学生总结：
1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？
2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。
3、若解一个一元二次方程时，b2－4ac＜0，请说明这个方程解的情况。
五、作业
后进生：P90 练习1 优生：P93 习题4.2 2、3
六、课后感
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23.2．1 一元二次方程的解法（1）
学习目标
1、了解形如（x＋m）2= n（n≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法
2、会用直接开平方法解一元二次方程
学习重、难点
重点：会用直接开平方法解一元二次方程
难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系
学习过程：
一、情境创设
我们曾学方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根 平方根有哪些性质
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。平方根有下列性质：
(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。
如何求出适合等式x2=4的x的值呢
二、探索活动
根据平方根的定义，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值为2和－2
即 根据平方根的定义，得 x2＝4
x＝±2
即此一元二次方程的解为： x1=2，x2 =－2
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
三、例题教学
例 1 解下列方程：
（1）x2＝2 （2）4x2－1＝0
分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x2＝a的形式，再用直接开平方法解之。
例 2 解下列方程：
⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0
⑶ 12（3－x）2－3 = 0
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样地去解即可。
小结：如果一个一元二次方程具有（x＋m）2= n（n≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯）
三、课堂练习
P84 练习 1、2、3
四、课堂小结
引导学生总结：
1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；
2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？
五、作业
P84 练习1、2 P93 习题4.2 1
六、课后感
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23.1 一元二次方程
学习目标
1、经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型
2、了解一元二次方程的概念和它的一般形式，会根据实际问题列一元二次方程
学习重、难点
重点：一元二次方程的概念和一般形式
难点：正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”
学习过程：
一、情境创设
1、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率？
3、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？
4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。
二、探索活动
上述问题可用方程解决：
问题1中可设宽为x米，则可列方程： x（x+10）= 900
问题2中可设这两年的平均增长率为x，则可列方程： 5（1＋x）2 = 7.2
问题3中可设这个正方形的连长为x，则可列方程： 2x2 = 15
问题4中可设较小的一个数为x，则可列方程： x（x＋3）= 10
观察上面列出的4个方程，它们有哪些相同点？（从方程的概念看）
归纳：像上述方程这样，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
注：符合一元二次方程即符合三个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程
任何一个关于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：
ax2＋bx＋c = 0（a、b、c是常数，且a≠0）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫二次项系数和一次项系数。
三、例题教学
例 1 根据题意，列出方程：
（1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。求这两年图书的年平均增长率。（答案：设这两年图书馆的年平均增长率是x，根据题意，得1·（1＋x）2=1.44）
（2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的连长。（答案：设这个正方形的连长是x厘米，根据题意，得x·（x＋10）= 600）
例 2 判断下列关于x的方程是否为一元二次方程：
⑴ 2（x2－1）= 3y ⑵
⑶（x－3）2= （x＋5）2 ⑷ mx2＋3x－2 = 0
⑸ （a2＋1）x2＋（2a－1）x＋5―a = 0
例 3 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
⑴ 2（x2－1）= 3 x ⑵ 3（x－3）2=（x＋2）2＋7
三、课堂练习
P81 练习 1、2
四、课堂小结
引导学生总结：
1、一元二次方程定义的三要素。
2、一元二次方程的一般形式及二次项系数不能为零。
五、作业
P81 练习 1、2 P82 习题4.1 1
六、课后感
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23.2 .2一元二次方程的解法（2）
学习目标
1、经历探究将一元二次方程的一般（x＋m）2= n（n≥0）形式的过程，进一步理解配方法的意义
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化的思想方法
学习重、难点
重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程
难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）2= n（n≥0）形式
学习过程：
一、情境创设
我们已经学过了用直接开平方法解形如（x＋m）2= n（n≥0）的一元二次方程，那么如何解方程x2＋6x＋4 = 0呢
二、探索活动
我们能否将方程x2＋6x＋4 = 0转化为（x＋m）2= n的形式呢？
先将常数项移到方程的右边，得
x2＋6x = －4
即 x2＋2·x·3 = －4
在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得
x2＋2·x·3 ＋32 = －4＋32
（x＋3）2 = 5
解这个方程，得
x＋3 = ±
所以 x1 = ―3＋ x2 = ―
（注：可以多举几例，综合得出“两边加上一次项系数一半的平方”的结论）
由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x＋m）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
三、例题教学
例 1 将下列各进行配方：
⑴＋8x＋_____＝（x＋_____）2 ⑵－5x＋_____＝（x－_____）2
⑶－x＋_____＝（x－____）2 ⑷－6x＋_____＝（x－____）2
分析：本题应用“方程两同时加上一次项系数一半的平方”来配方。
例 2 解下列方程：
（1） x2－4x＋3 = 0 （2）x2＋3x－1 = 0
小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、把常数项移到方程右边；
2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
3、利用直接开平方法解之。
思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？
三、课堂练习
P87 练习 1、2、3
四、课堂小结
引导学生总结：
1、配方法解一元二次方程的作用是什么？配方时要注意什么？
2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
五、作业
P87 练习1、2 P93 习题4.2 2、3
六、教后感
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