2023级高一上学期第一次阶段考试数学试卷
时间：120分钟 满分：150分.
一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知命题p：，则它的否定为（ ）
A. x>0，x2<2 B. x≤0，x2<2
C. x≤0，x2<2 D. x>0，x2<2
3. 下列结论正确是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
4. 如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
5. 不等式的解集为
A. B.
C D.
6. 下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A. B. C. D.
7. 制作一个面积为2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是（ ）
A. 6.2 B. 6.8
C. 7 D. 7.2
8. 若两个正实数、满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知集合，，若，则实数取值可以是（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
11. 以下结论正确的是（ ）
A. 函数的最小值是2
B. 若且，则
C. 函数的最大值为0
D. 的最小值是2
12. 已知且，那么下列不等式中，恒成立有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共19分）
13. 某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人．
14. 对于任意实数a，b，c，有以下命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件；
④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.
其中正确命题的序号是__.
15. 已知实数、，满足，，则的取值范围是_______.
16. 若正实数x，y满足，则的最小值是_____．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知，，
（1）求和；
（2）若全集，求．
18. 命题：“，”，命题：“，”，若和中至少有一个是假命题，求实数的取值范围．
19. 设全集，集合，集合，其中.
（1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
20. 求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数，满足，求的最小值.
21.
围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
22 已知函数．
（1）若不等式的解集为，求，的值；2023级高一上学期第一次阶段考试数学试卷
时间：120分钟 满分：150分.
一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1 已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
2. 已知命题p：，则它否定为（ ）
A. x>0，x2<2 B. x≤0，x2<2
C. x≤0，x2<2 D. x>0，x2<2
【答案】D
【解析】
【分析】全称命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】的否定是.
故选：D
3. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.
【详解】A选项，，如，而，所以A选项错误.
B选项，，如，而，所以B选项错误.
C选项，，则，所以，所以C选项正确.
D选项，，如，而，所以D选项错误.
故选：C
4. 如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题图中阴影区域，再利用集合的交、补定义及运算即可求出结果.
【详解】因为题图中的阴影部分是的子集，且不属于集合，属于集合的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是，
故选：C.
5. 不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：因为
即，
利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3，
故选C．
考点：分式不等式的解法.
6. 下列条件中，为“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出关于x的不等式对恒成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义即可求解.
【详解】若关于x的不等式对恒成立，
当时，不等式等价于恒成立，故满足要求，
当时，原不等式恒成立当且仅当，解得，
综上所述，若关于x的不等式对恒成立，则当且仅当，
而选项中只有是的充分不必要条件.
故选：B.
7. 制作一个面积为2，形状为直角三角形的铁支架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济（够用，又耗材最少）的是（ ）
A. 6.2 B. 6.8
C. 7 D. 7.2
【答案】C
【解析】
【分析】
设两直角边为a，b，根据面积为2，得到ab=4，然后由，利用基本不等式求解.
【详解】设两直角边为a，b，则ab=4，
则，
当且仅当时，取等号，
故选：C
8. 若两个正实数、满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】将代数式与相乘，利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】因为两个正实数、满足，则
，
当且仅当时，等号成立，故，即，解得.
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知集合，，若，则实数的取值可以是（ ）
A. 0 B. 1 C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分和两种情况讨论集合中的原式，即可求解.
【详解】当时，，满足条件，
当时，若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，无解，
若，则，得，
综上可知，或，只有AC符合条件.
故选：AC
10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的解集，即可判断A项；根据三个二次之间的关系，结合韦达定理可得出，进而代入不等式，化简、求解不等式，即可判断B、C、D项.
【详解】对于A项，由不等式的解集范围为两边，即可得出二次函数开口向上，即，故A项正确；
对于B项，由已知可得，3、4即为的两个解.
由韦达定理可得，，解得，
代入可得.
又，所以，所以解集为，故B项错误；
对于C项，由B知，，，，
代入不等式可得，
化简可得，
解得，
所以，不等式的解集为，故C项错误；
对于D项，由已知可得，当时，有，故D项正确.
故选：AD.
11. 以下结论正确的是（ ）
A. 函数的最小值是2
B. 若且，则
C. 函数的最大值为0
D. 的最小值是2
【答案】BC
【解析】
【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，当时，所以A选项错误.
B选项，若且，则，
所以，当且仅当时等号成立，B选项正确.
C选项，当时，，
当且仅当时等号成立，所以，C选项正确.
D选项，，
但方程无解，所以等号不成立，D选项错误.
故选：BC
12. 已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】AD选项结合均值不等式即可判断；BC选项结合二次函数的最值问题即可分析.
【详解】A．因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A错误，
B．，当且仅当时，等号成立，故B正确，
C．
，当且仅当时，等号成立，因此，故C正确，
D． ，当且仅当，即时，等号成立，故D错误；
故选：BC.
三、填空题（本大题共4小题，共19分）
13. 某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人．
【答案】43
【解析】
【分析】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，根据题意画出维恩图求解.
【详解】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，
由题意画出维恩图，如图所示：
全班人数为（人）.
故答案为：43
14. 对于任意实数a，b，c，有以下命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件；
④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.
其中正确命题的序号是__.
【答案】②④
【解析】
【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案.
【详解】解：∵①中“a＝b” “ac＝bc”为真命题，
但当c＝0时，“ac＝bc” “a＝b”为假命题，
故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故①为假命题；
∵②中“a+5是无理数” “a是无理数”为真命题，
“a是无理数” “a+5是无理数”也为真命题，
故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故②为真命题；
∵③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的必要条件，故③为假命题；
∵④中{a|a＜3}比{a|a＜5}范围小 ，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故④为真命题.
故真命题的个数为2
故答案为：②④
15. 已知实数、，满足，，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用待定系数法得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，
，解得，所以，，
，，所以，，，
所以，，即.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用不等式的基本性质求代数式的取值范围，考查了待定系数法的应用，考查计算能力，属于基础题.
16. 若正实数x，y满足，则的最小值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正实数x，y满足，利用基本不等式转化为，然后利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】因为正实数x，y满足，
所以
，
当且仅当，取等号，
所以的最小值是
故答案为：
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知，，
（1）求和；
（2）若全集，求．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式和二次不等式得集合；
（2）结合（1），根据集合的运算求解即可．
【小问1详解】
解：由得，所以，即，
或，
所以，.
【小问2详解】
解：由（1）知，
所以，
18. 命题：“，”，命题：“，”，若和中至少有一个是假命题，求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】
【分析】先求出和均为真命题时的实数的取值范围，再利用补集求出符合题意的实数的取值范围．
【详解】若是真命题，则对于恒成立，所以，
若是真命题，则关于的方程有实数根，
所以，即，
若和同时为真命题，则，所以，
所以当和中至少有一个是假命题时，有．
19. 设全集，集合，集合，其中.
（1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由“”是“”的充分条件，得，从而可列出关于的不等式组，进而可求出的取值范围；
（2）分和两种情况求解即可.
【小问1详解】
因为“”是“”的充分条件，故，
因为集合，集合，
故，解得
故“”是“”的充分条件，a的取值范围为，
小问2详解】
①当时，即，解得，此时，不合题意；
②当时，则，得，
若，则或，解得或，
所以，所以或，
因为，所以，
综上，若，则的取值范围为.
20. 求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数，满足，求最小值.
【答案】（1）；（2）5.
【解析】
【分析】（1）化为，再根据基本不等式可求出结果；
（2）化为，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】（1），当且仅当即时等号成立，
故函数的最小值为.
（2）由得，
则，
当且仅当,即，时等号成立，
故的最小值为5.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
21.
围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.
（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【答案】（Ⅰ）y=225x+
（Ⅱ）当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值
试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m
则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360
由已知xa=360,得a=,
所以y=225x+
（2）
．当且仅当225x=时，等号成立．
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
考点：函数模型的选择与应用
22. 已知函数．
（1）若不等式解集为，求，的值；
（2）若，求不等式的解集．
【答案】（1），；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，且，根据韦达定理即可求解；
（2）等式即，对分类讨论即可求解.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以和是方程的两个根，且，
可得，解得，．
【小问2详解】
当时，不等式即，即，
①当时，，解得；
②当时，不等式可化为，解得或；
③当时，不等式化为，
若，则；
若，则；
若，则，
