河北省邢台市质检联盟2023-2024学年高一上学期第三次月考（11月）数学试题（含解析）

邢台市质检联盟2023-2024学年高一上学期第三次月考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第四章.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设，则（ ）
A. B.
C. D.
4.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
5.函数的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
6.某工厂准备建造一个长方体无盖的蓄水池，其容积为7200立方米，深度为2米.已知池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为80元，则该蓄水池的最低造价为（ ）
A.793200元 B.745800元 C.739200元 D.758400元
7.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列函数中零点仅为0的是（ ）
A. B.
C. D.
10.下列命题为真命题的是（ ）
A.“”的否定是“”
B.若，则
C.的最小值为
D.若正数满足，则
11.已知定义在上的函数对任意实数，都有，则（ ）
A. B.
C. D.为奇函数
12.已知函数若关于的方程有四个互不相等的实数根，则的取值可能为（ ）
A.-5 B.-4 C.5 D.-3
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知函数是定义在上的偶函数，则__________.
14.若幂函数的图象过点，则__________.
15.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过12立方米的部分 4元/立方米
超过12立方米但不超过18立方米的部分 6元/立方米
超过18立方米的部分 8元/立方米
若某户居民本月交纳的水费为100元，则此户居民本月用水量为__________立方米.
16.已知实数满足，则__________.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
17.（10分）
（1）求值：.
（2）已知正数满足，求的值.
18.（12分）
已知函数.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并予以证明.
19.（12分）
已知函数且的图象与轴交于点，且点在一次函数的图象上.
（1）求的值；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
20.（12分）
小钗计划开始学习国画，且无论任何情况都坚持每天打卡.把小钗现在的国画学习作在作天后小钗的国画学习值为，已知10天后小钗的国画学习值为1.22.（参考数据：取）
（1）求的值，并写出的解析式；
（2）当小钗的国画学习值达到2.89时，试问小钗已经坚持学习国画多少天？（结果保留整数）
21.（12分）
已知函数.
（1）求的值；
（2）设函数，证明：在上有唯一零点.
22.（12分）
已知函数且.
（1）若的值域为，求的取值范围.
（2）试判断是否存在，使得在上单调递增，且在上的最大值为1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，请说明理由.
邢台市质检联盟2023-2024学年高一上学期第三次月考
数学参考答案
1.B 因为，所以.
2.A 由，解得或2，所以“”是“”的充分不必要条件.
3.B 因为，所以.
4.C 易得在上单调递增，因为，所以的零点所在的区间为.
5.A 由，解得，又，得函数在上单调递增，在上单调递减.又因为函数在，上单调递减，根据复合函数的单调性，所以函数的单调递减区间为.
6.D 设蓄水池底面长为米，宽为米，总造价为元，则，得.根据题意可得.因为，所以，当且仅当时，等号成立.故该蓄水池的最低造价为758400元.
7.C 因为，所以为奇函数，排除选项.因为，所以排除选项.当时，，则，排除选项D.
8.D 由，得，即.令，不妨设，得，则，即在上单调递减.不等式转化为，因为，所以，则，解得，故不等式的解集为.
9.ABD 的零点均为的零点为0和7.
10.ABD 存在量词命题的否定是全称量词命题，正确.令，得或2，当-1时，，不满足元素的互异性，当时，符合题意，B正确.，令，则函数在上单调递增，则的最小值为，C错误.，当且仅当时，等号成立，正确.
11.ABD 令，得，A正确.令，得，则正确.令，得，令，得，则错误.令，得，则，令，得，则为奇函数，D正确.
12.AB 当时，.当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且函数在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，由，得；当时，单调递增，.令，当或时，方程只有一解；当时，方程有两解；当时，方程有三解.方程有四个不相等的实数根等价于关于的方程有两个不相等的实数根，，且.令，因为，所以，得，此时，故的取值范围为.
13.1 由，解得.
14.2 由题意得，则，由，得.
15.20 因为，所以此户居民本月用水量超过18立方米，设此户居民本月用水量为立方米，且，则，解得.
16.36 由函数为增函数，且，得.由函数为增函数，且，得.故.
17.解：（1）原式
.
（2）因为，所以.
所以.
18.解：（1）由
解得或，
故的定义域为.
（2）为奇函数.
由（1）知的定义域关于原点对称，
因为，
所以，
所以为奇函数.
19.解：（1）因为点在轴上，且在一次函数的图象上，
所以点的坐标为，
所以，
又，所以.
（2）因为，所以.
因为函数在上单调递增，所以对恒成立
即对恒成立.
当时，，
所以，即的取值范围为.
20.解：（1）依题意可得，
则，
因为，所以，因为，所以，
所以，
.
（2）令，
得，
故当小钢的国画学习值达到2.89时，小钢已经坚持学习国画54天.
21.（1）解：因为，
所以.
（2）证明：
因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为，
，
所以，
所以，即在上有且仅有一个零点.
22.解：（1）设函数的值域为，因为的值域为，所以.
当时，的值域为，符合题意.
当时，由解得.
综上，的取值范围为.
（2）当时，，因为，所以不符合题意，舍去.
当时，，不符合题意.
下面只讨论的情况.
若，则在上单调递增，由，
解得，
此时，
得，即当时，存在，符合题意，当时，不存在符合题意的.
若，则在上单调递减，
由，解得，
此时，
得，则当，即时，存在，符合题意.
综上，当或时，存在，符合题意；当时，不存在符合题意的.