第一章 三角形的证明 小结与复习 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
主讲：XXX
第一章《三角形的证明》
小结与复习
素养目标
技能目标
知识目标
复习有关定理的探索与证明，证明的思路与方法，尺规作图等。
进一步体会证明的必要性，发展学生的初步演绎推理能力；进一步掌握综合证明方法。
提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
学习目标
教学重点
教学难点
让学生领会几何证明题的分析方法和证明的表达书写过程。
本章知识的综合性应用，进一步领会证明的思路和方法。
教学重难点
全等三角形
直角三角形
线段的垂直平分线
等腰三角形
角平分线
互逆命题及其真假
尺规作图
三角形的证明
知识梳理
知识梳理
SSS
ASA
AAS
SAS
HL
“HL” 只能在直角三角形中使用哦。
全等三角形的对应边相等、对应角相等。
应用：证明线段相等、角相等。
三角形全等的判定定理
全等三角形的性质定理
全等三角形
知识梳理
有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）
等腰三角形的两底角相等.（等边对等角）
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一）
等边三角形的三个内角都相等，每个角都等于60°.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
等腰三角形的判定定理
等边三角形的判定定理
等腰三角形
等腰三角形的性质定理
等边三角形的性质定理
等腰三角形的推论
等边三角形
知识梳理
边
角
边
边
角
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
判定定理
性质定理
直角三角形
角
知识梳理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
应用：找点的位置。
应用：证明线段相等。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
应用：证明线段相等。
判定定理
性质定理
线段的垂直平分线
有关推论
知识梳理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
应用：找点的位置。
应用：证明线段相等。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
应用：证明线段相等。
判定定理
性质定理
角平分线
有关推论
知识梳理
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。例如勾股定理及其逆定理。
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们把它叫做反证法.
互逆命题
互逆定理
互逆命题及其真假
反证法
知识梳理
角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线。
线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形。
应用举例
尺规作图
知识梳理
文字语言-符号语言-图形语言的互相转化.
逆向思维，转化思维，证明角相等、线段相等的新方法。
思想方法
数学建模，推理证明的重要性.
知识梳理
1. 如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)∵AD⊥BC，
∴∠ ____= ∠_____;____=____.
(2) ∵AD是中线，
∴____⊥____; ∠_____= ∠_____.
(3) ∵ AD是角平分线，
∴____ ⊥____;_____=____.
BAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
运用“三线合一”，必须是在等腰三角形中使用。
巩固练习
2.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1， (n＞1)，判断△ABC是否为直角三角形．
解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，
从而a2＋b2＝c2，
故可以判定△ABC是直角三角形．
分析：要判断直角三角形，这里给了三边的长度，可以利用勾股定理的逆定理。
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：
①先判断哪条边最大；
②分别用代数方法计算出a2＋b2和c2的值(c边最大)；
③判断a2＋b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
巩固练习
3. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.(角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等)
又∵BD = CD（已知），
∴Rt△DEB ≌ Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.（全等三角形的对应边相等）
分析：要想证明两条线段相等，可以利用角平分线性质定理、全等三角形性质来解答。
巩固练习
4.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF. 求证：△ABC是等腰三角形.
分析：要证△ABC是等腰三角形，可证∠B=∠C.
证明：∵点D是BC的中点（已知）
∴BD=CD.(中点定义)
又∵DE = DF（已知），
∴Rt△DEB ≌ Rt△DFC（HL）.
∴∠B=∠C.（全等三角形的角相等）
∴△ABC是等腰三角形（等角对等边）
证明三角形是等腰三角形，我们可以转化为证明两条边相等。
巩固练习
5. 已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为 N，M，且 OM = ON.
求证：PM = PN.
证明：连接OP，
∵ AN⊥OB，BM⊥OA，
∴∠OMP =∠ONP=90°
在 Rt△OMP 和 Rt△ONP 中，
∵ OM = ON，OP = OP，
∴ Rt△OMP ≌ Rt△ONP（HL），
∴ PM = PN.
A
B
O
P
M
N
分析：要证两条线段相等，可以证明两个三角形全等
巩固练习
1
2
5. 已知：如图，AB⊥CD于点B，AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于E、F，EB= EF. 求证：求∠A的度数.
解：连接DE，CF垂直平分线AD
∴ AE=DE ∴∠A=∠1
∵ EB⊥CD，EF⊥AD，EB=EF
∴DE是∠ADB的平分线
∴∠1 =∠2
又∵在Rt△ABD中 ∠A +∠1+∠2=90°
∴3∠A =90° ∴∠A =30°
分析：可以综合利用线段的垂直平分线性质定理，三角形的内角和定理。
巩固练习
6 . 如图，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC 于点 E，已知△BCE 的周长为 8，AC－BC = 2. 求 AB 与 BC 的长.
证明： ∵AB 的垂直平分线交 AC 于点 E， ∴ AE = BE，
∵△BCE 的周长为 8，
∴ BC + CE + BE = 8，
∴ BC + CE + AE = 8 ，即 AC + BC = 8，
又∵ AC – BC = 2，
∴ AC = 5，BC = 3，∴ AB = AC =5.
分析：由已知AC－BC=2，即AB－BC=2，要求AB和BC的长，利用方程的思想，需找另一个AB与BC的关系。
数学思想：转化思想
巩固练习
章末复习题