1.1 等腰三角形（第2课时） 同步课件(共28张PPT)

(共28张PPT)
1.1等腰三角形（第2课时）
第一章
三角形的证明
1.探索等腰三角形的轴对称性及相关性质；
2.类比等腰三角形的性质，得出等边三角形的相关性质；
3.应用等腰或等边三角形的性质解决相关数学问题。
学习目标
知识点1　
等腰三角形的两底角相等. 简称为等边对等角.
知识点2　
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及
底边上的高线互相重合.
通常称为：等腰三角形“三线合一”.
情境导入
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？
情境导入
核心知识点一：
等腰三角形的重要线段的性质
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，即顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线.
试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
探究新知
画一画：在纸上画一个等腰三角形。
它们在数量上有何关系？你能证明吗？
在等腰三角形中作出两底角的平分线。
探究新知
证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 和CE 是△ABC的角平分线.
求证：BD = CE.
A
B
C
D
E
1
2
探究新知
A
B
C
D
E
1
2
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC 和△CEB 中，
∠ ACB＝∠ ABC，BC=CB，∠1＝∠2，
∴△BDC ≌ △CEB (ASA).
∴BD ＝CE (全等三角形的对应边相等）.
证明：
探究新知
归纳总结
等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.
等腰三角形两底角的平分线相等.
归纳总结
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的中线. 求证：BD=CE.
A
B
C
D
E
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB
∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，
∴CD= AC，BE= AB，∴CD= BE.
在△BDC和△CEB 中，
BC=CB，∠ACB=∠ABC，CD= BE ，
∴ △BDC≌△CEB（SAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
探究新知
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的高. 求证：BD=CE.
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB.
∵ BD和CE是△ABC两腰上的高，
∴ ∠BDC= 90°，∠BEC= 90° .
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠BDC=∠BEC，
∴ △BDC≌△CEB（AAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
A
B
C
D
E
探究新知
A
C
B
D
E
A
C
B
E
F
A
C
B
P
Q
结论总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．
归纳总结
归纳总结
探究新知
归纳总结
如果把等腰三角形两底角的平分线（二等分线）换成三等分线、四等分线，你能得到一个什么结论？
把“等腰三角形两腰上的中线相等”改为“等腰三角形两腰上的三等分线（或四等分线）相等”是否也成立呢？
过底边的端点且与底边夹角相等的两对应线段相等.
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
归纳总结
核心知识点二：
等边三角形的性质
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理 ：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
思考： 怎样证明这一定理？
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
探究新知
已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC.
求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
证明：∵AB = AC，
∴∠ B = ∠ C (等边对等角).
又∵AC = BC，
∴∠A= ∠ B (等边对等角).
∴∠A= ∠ B = ∠ C.在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°.
∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
A
B
C
探究新知
（1）等边三角形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
（2）等边三角形还有哪些特征？
类比拓展：
探究新知
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形的各角都相等，都等于60°
3.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
归纳总结
归纳总结
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是(　　)
A．BD，CE为AC，AB边上的高
B．BD，CE都为△ABC的角平分线
C．∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝ ∠ACB
D．∠ABD＝∠BCE
D
随堂练习
2.如图，在等边三角形ABC中，BD，CE是两条中线，则∠1的度数为(　　)
A．90°
B．30°
C．120°
D．150°
C
随堂练习
3.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°,则顶角的度数为 (　 　)
A.50°　　 B.80 ° C.100 ° 　　 D.130 °
B
4.在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，BD=5，则CE= .
5
随堂练习
5.如图，已知△ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是三边AB，AC，BC 上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF 各个内角的度数．
随堂练习
因为△ABC 是等边三角形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.
所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF 各个内角的度数都是60°.
解：
随堂练习
6.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于点D,点M,N分别在AB,AC边上, AM=2MB, AN=2NC.
求证:DM=DN.
随堂练习
证明:∵AM=2MB,∴AM= AB.
同理,AN= AC.
又∵AB=AC,∴AM=AN.
∵AD平分∠BAC,∴∠MAD=∠NAD.
在△AMD和△AND中,
∵AM=AN,∠MAD=∠NAD,AD=AD,
∴△AMD≌△AND,
∴DM=DN.
随堂练习
7. 如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：∵ △ADE是等边三角形，
∴ AD=DE=AE， ∠ADE= ∠DEA= ∠DAE =60°.
∵ D，E是BC的三等分点，
∴ BD=DE=EC，∴BD=AD，
∴ ∠ABD= ∠BAD= 30°（三角形的外角性质）.
同理， ∠ ACE= ∠CAE= 30°.∴ ∠BAC= ∠BAD+ ∠DAE+ ∠BAD= 120°.
A
B
D
C
E
随堂练习
等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
等腰三角形重要线段的性质
底角的两条角平分线相等
两条腰上的高相等
两条腰上的中线相等
随堂小结
教材“习题1.2”中
第2、3 题