1.1 等腰三角形（第4课时）同步课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
主讲：XXX
1.1 等腰三角形
（第4课时）
素养目标
技能目标
知识目标
理解定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明思路，并能应用。
掌握等边三角形的两个判定定理的证明过程，并能运用它们证明有关命题。
通过定理的逻辑证明，让学生逐步学会用数学符号语言有条理地表达思维过程，发展推理意识和能力。
学习目标
教学重点
教学难点
探索等边三角形的两个判定定理，以及定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。
证明定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”时辅助线的作法。
教学重难点
思考1： 一个三角形三个角满足什么条件时是等边三角形？
思考2：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
请证明自己的结论，并与同伴交流.
三个角都相等的三角形是等边三角形？
有一个角等于 60°的三角形是等边三角形？
情境导入
条件：三个角都相等的三角形 已知：如图，在△ABC 中， ∠A =∠B=∠C
结论：等边三角形 求证： AB=AC=BC
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
B
C
∵ ∠A= ∠ B,（已知）
∴ AC=BC.（等角对等边）
∵ ∠ B=∠C,（已知）
∴ AB=AC.（等角对等边）
∴AB=AC=BC.（等量代换）
证明：
三个角都相等的三角形是等边三角形？
典例探究
数学符号语言如下：
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
A
B
C
∵ ∠A =∠B =∠C （已知）
∴AB = AC=BC，
归纳总结
条件：有一个角是60°的等腰三角形 已知：如图,在△ABC 中,AB=AC , ∠A=60°.
结论：等边三角形 求证： AB=AC=BC
A
B
C
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.（等边对等角）
∴∠A= ∠ B=∠C.（等量代换）
∴AB=AC=BC.（等角对等边）
典例探究
条件：有一个角是60°的等腰三角形 已知：如图,在△ABC 中,AB=AC , ∠B=60°.
结论：等边三角形 求证： AB=AC=BC
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
证明:∵AB=AC,∠B=60° (已知),
∴∠C=∠B=60° (等边对等角)，
∴∠A=60° (三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．（等量代换）
∴△ABC是等边三角形 (三个角都相等的三角形是等边三角形).
A
C
B
60°
典例探究
数学符号语言如下：
定理 有一个角等于 60°的三角形是等边三角形
A
B
C
∵ 在△ABC 中，AB=AC,∠A =60°或∠B =60°或∠C=60° （已知）
∴AB = AC = BC，
典例探究
例 已知：如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ DE//BC,（已知）
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.（等量代换）
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.（两直线平行，同位角相等。）
典例探究
A
B
C
D
30°
60°
30°
60°
操作:用含有30°角的三角板，以股边为轴旋转180°后
你能得到一个怎样的三角形？你能说明理由吗？
猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直
角边与斜边有怎样的大小关系？
得到一个等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
结论:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
典例探究
条件：在直角三角形中, 有30°角
已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 30°.
结论：30°角所对的直角边等于斜边的一半
求证：BC = AB.
证明:在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
1
2
30°
典例探究
证明：延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD.
∵∠ACB = 90°
∴∠ACD = 90°
∵AC = AC，
∴△ABC ≌ △ADC（SAS）.
∴AB = AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC = BD = AB.
A
B
C
D
1
2
1
2
想一想：本题还有其他证法吗？
60°
30°
典例探究
数学符号语言如下：
定理 在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
在直角三角形中，有30°内角时，勾= 弦 或 弦=2勾
归纳总结
C
B
A
D
30°
15°
例 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.CD 是腰 AB 上的高.
求证：CD = AB.
1
2
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）.
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°.（三角形的外角）
∵CD 是腰 AB 上的高， ∴∠ADC = 90°.
∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴CD= AB.（等量代换）
1
2
1
2
15°
典例探究
定理
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形。
定理 有一个叫等于60°的等腰三角形是等边三角形。
定理 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
思想方法
证明角度相等，线段相等利用全等三角形的性质来证明。
文字命题证明的四个特征：已知、求证、图形、证明。
分类讨论，逆向思维
文字语言-符号语言-图形语言的互相转化。
归纳总结
1.房梁的一部分如图所示，其中，BC⊥AC，∠A = 30°，AB = 7.4 m，点 D 是 AB 的中点，且 DE⊥AC，垂足为 E，求 BC，DE 的长.
在△ADE 中，∠A = 30°，DE⊥AC，
∴DE = AD = 1.85 m.
1
2
解：在△ABC 中，∠A = 30°，BC⊥AC，
∴BC = AB = 3.7 m.
1
2
又∵点 D 是 AB 的中点，
∴AD = BD = 3.7 m，
7.4
巩固训练
习题1.4 第3,4题