1.3 线段的垂直平分线（第1课时）同步课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
1.3 线段的垂直平分线
（第1课时)
素养目标
技能目标
知识目标
能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。
经历探索-猜测-证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。
体验解决问题的多样性发展推理能力和创新精神。锻炼克服困难的意志，建立自信心。
学习目标
教学重点
教学难点
掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理。
能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.
教学重难点
思考1： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
情境导入
操作观察：
已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l 折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（中垂线）.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
情境导入
思考2：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
情境导入
证明命题：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点.
求证：PA = PB.
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB = 90°.
∵ AC = BC，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）.
典例探究
数学符号语言如下：
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
∵直线 l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在 l 上．
∴PA =PB．
归纳总结
思考：你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
典例探究
证明命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
已知：已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA = PB．
求证：P 点在 AB 的垂直平分线上．
证明一：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC，
∵ PA = PB， PC = PC，
∴Rt△PAC ≌Rt△PBC（HL）．
∴AC = BC，
即 P 点在 AB 的垂直平分线上．
分析：借助等腰三角形的“三线合一”
典例探究
证法二：取 AB 的中点 D，过 P，D 作直线.
∵AP = BP，PD = PD. AD = DB，
∴△APD ≌△BPD（SSS）.
∴∠PDA =∠PDB（全等三角形的对应角相等）.
又∵∠PDA +∠PDB = 180°，
∴∠PDA =∠PDB =∠90°，即 PD⊥AB.
∴ P 点在 AB 的垂直平分线上.
典例探究
证法三：过 P 点作∠APB 的角平分线交 AB 于点 D.
∵AP = BP，∠APD =∠BPD，PD = PD，
∴△APD ≌△BPD（SAS）.
∴AD = BD，∠PDA =∠PDB
又∵∠PDA +∠PDB = 180°
∴∠PDA =∠PDB = 90°
∴ P 点在线段 AB 的垂直平分线上.
典例探究
数学符号语言如下：
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
归纳总结
例 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
证明：∵ AB = AC.
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
典例探究
1.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
巩固训练
线段的
垂直平分线
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。
作用
见垂直平分线，得线段相等。
判断一个点是否在线段的垂直平分线上。
分类讨论，逆向思维.
思想方法
文字语言-符号语言-图形语言的互相转化.
归纳总结
1. 在△ABC 中，AB 的中垂线与 AC 边所在直线相交所得的锐角为 50°，则∠A 的度数为（ ）
A. 50° B. 40°
C. 40°或140° D. 40°或50°
C
巩固训练
2.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
巩固训练
3.如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
P
解：连接AB，作线段的垂直平分线 l，交河边于点P，点P就是码头所建在的位置。
理由是“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”
l
巩固训练
习题1.7第1、3题