1.3线段的垂直平分线（第2课时）同步课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
1.3 线段的垂直平分线
（第2课时)
素养目标
技能目标
知识目标
经历折纸和作图、猜想、证明的过程，能够证明三角形三边垂直平分线交于一点。
经历猜想-探索-能够作出以 a为底，h为高的等腰三角形。
体验解决问题的多样性发展推理能力和创新精神。锻炼克服困难的意志，建立自信心。
学习目标
教学重点
教学难点
能够证明与线段垂直平分线相关的结论。
已知底边和底边上的高，能够利用尺规作图作出等腰三角形。
证明三线共点
教学重难点
思考1： 拿出你们准备好的锐角三角形纸片，把三条边分别对折，观察三条折痕，你发现了什么？
思考2：作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
P
三条边的垂直平分线交于一点P
三条边的折痕交于一点
情境导入
例1 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
P
A
B
C
已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P.
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA=PB=PC.
分析：要想证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条的交点在另一条直线上即可。我们联想到线段垂直平分线的性质定理和判定定理。
证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.
同理，PB = PC.
∴PA = PB = PC.
∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），即边 AC 的垂直平分线经过点 P.
典例探究
数学符号语言如下：
定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点
的距离相等.
∵　点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴　PA =PB=PC．
A
B
C
P
归纳总结
1. 分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
在三角形内
在斜边中点
在三角形外
典例探究
2. 如图，在△ABC 中，BC = 2，∠BAC ＞ 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 F ，请找出图中相等的线段，并求出△AEF 的周长.
A
B
C
E
F
解：AE = BE，AF = CF. （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
∴ AE + EF + AF
= BE + EF + CF
= BC
= 2
典例探究
做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形
吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A1
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
典例探究
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
可以画出无数个三角形
典例探究
（3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧.
典例探究
数学符号语言如下：
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
归纳总结
例 2 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图，线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h.
a
h
作法：
（1）作线段 BC = a.
（2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D.
（3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h.
（4）连接 AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
B
C
A
a
h
D
典例探究
1.已知直线 l 和其上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
A
B
●
P
已知：直线 l 和 l 上一点P．
求作：PC⊥ l ．
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，
与直线 l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求 l 的垂线．
l
C
分为两种情况：第1种情况是点P在直线上；第2种情况是点P在直线外。
巩固训练
作法：
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
(1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B.
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长为半径作圆，相交于C、D两点.
(3)过两交点作直线 l ,此直线l为过点P的垂线.
巩固训练
定理
定理: 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
尺规作图
已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
思想方法
分类讨论，逆向思维.
文字语言-符号语言-图形语言的互相转化.
推理证明的重要性.
内容
归纳总结
1. 如图，在△ABC 中，已知 AC = 27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 50，求 BC 的长.
A
B
E
D
C
解：因为 DE 为 AB 的垂直平分线，
所以 AE = BE.
△BCE的周长为
d = EC + BE + BC
= EC + AE + BC
= AC + BC
= 27 + BC
= 50.
所以 BC = 23 .
巩固训练
2.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° 　　 B．70° C．60° D．50°
C
B
A
D
E
C
巩固训练
3. 如图，已知线段 a，求作以 a 为底边、以 a 为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？
1
2
A
B
P
a
a
1
2
这是个等腰直角三角形
巩固训练
习题1.8第3、4题