1.4 角平分线（第1课时）同步课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
主讲：XXX
1.4 角平分线
（第1课时)
素养目标
技能目标
知识目标
掌握角平分线性质定理、判定定理并进行规范证明，能利用它们解决部分线段相等、角相等的证明和计算。
在证明过程中，发展学生合情推理和演绎推理能力，体验解决问题方法的多样性。
积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣。
学习目标
教学重点
教学难点
角平分线性质及判定定理的证明及应用，独立进行合情推理，规范书写表达。
角平分线性质及判定定理的区分与应用。
教学重难点
思考1：如图，一目标在A区，到铁路、公路距离相等，离公路、铁路交叉处500米，在图中标出它的位置（比例尺1:20000）
情境导入
思考2：什么叫角平分线？
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.
思考3：你还记得角平分线上的点有什么性质吗？我们该如何证明呢？
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
情境导入
求证：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
分析：要想两条线段相等，只要证明这两条线段所在的两个三角形全等即可。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∵ ∠AOC =∠BOC（已知），OP = OP（公共边）
∴△PDO≌△PEO（AAS）.
∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）.
典例探究
数学符号语言如下：
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
PD⊥OA,PE⊥OB，
作用：证明线段相等.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
归纳总结
判一判：
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
BD CD
×
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
BD CD
×
学以致用
填一填：
1.已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点，PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离为_____.
5
A
O
E
B
P
C
学以致用
填一填：
2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC的　 AE+DE= .
C
A
B
E
D
角平分线
6cm
学以致用
　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
思考4：你能写出这个定理的逆命题吗
　　这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
　　角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
这是一个真命题吗 你是怎么证明的呢？
典例探究
求证：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，且 PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 为垂足且 PD = PE.
求证：OP 平分∠AOB.
分析：要想证明OP 平分∠AOB，只要把问题转化为证明两个角相等即可。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∵ PD = PE， OP = OP，
∴Rt△DOP ≌ Rt△EOP（HL）.
∴∠DOP =∠EOP（全等三角形对应角相等）.
∴OP 平分∠AOB.
典例探究
数学符号语言如下：
定理 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上或∠DOP =∠EOP
（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．）
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
作用：判断点是否在角平分线上或两个角相等。
归纳总结
判一判：
（1）∵ DC = DB，
∴ AD 平分∠BAC （到角两边距离相等的
点在这个角的平分线上）.
×
（2）∵ DC⊥AC，DB⊥AB，
∴ AD 平分∠BAC（到角两边距离相等的
点在这个角的平分线上）.
×
学以致用
例1 在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，
∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°.
∴在 Rt△ADE 中，
∠AED = 90°，AD = 10，
∴ DE = AD = ×10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
1
2
1
2
典例探究
定理: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
作用：证明两个角相等或点在角平分线上。
思想方法
逆向思维，转化思维，证明角相等、线段相等的新方法。
文字语言-符号语言-图形语言的互相转化.
推理证明的重要性.
定理
定理: 在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
作用：证明两条线段相等。
归纳总结
1. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.(角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等)
又∵BD = CD（已知），
∴Rt△DEB ≌ Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.（全等三角形的对应边相等）
分析：要想证明两条线段相等，可以利用角平分线性质定理、全等三角形性质来解答。
学以致用
解：把公路、铁路看成两条相交的直线，作出其交叉角的平分线OB（O为顶角），在OB上作OC，使OC=2.5cm，点C即为所求。
2.如图，一目标在A区，到铁路、公路距离相等，离公路、铁路交叉处500米，在图中标出它的位置（比例尺1:20000）
分析：利用角平分线上的点到这个角的两边的距离相等来解答。
学以致用
习题1.9第3、4题