1.4 角平分线（第2课时）同步课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
1.4 角平分线
（第2课时)
素养目标
技能目标
知识目标
经历合情推理和建模的过程，掌握“三角形三条角平分线交于一点”这一定理及证明过程，能够利用模型解决部分几何问题。
在证明过程中，发展学生转化思想及合情推理和演绎推理能力，使学生清晰地表达自己的想法。
获得利用转化思想分析问题和解决问题的基本方法，发展创新意识。
学习目标
教学重点
教学难点
三角形三条角平分线交于一点的证明，三线共点问题的证明，独立进行合情推理，规范书写表达。
三线共点问题的证明，利用已有知识结局我一些几何问题及实际问题。
教学重难点
思考1：
如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库.要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置
情境导入
思考2：把你们准备好的三角形纸片对折三个角，三条折痕有什么关系？
三条折痕（角平分线）相交于一点。
思考3：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的三条角平分线相交于一点。
情境导入
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
求证：P 点在∠BAC 的角平分线上.
M
N
证明命题：三角形的三条角平分线相交于一点。
D
E
F
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC
∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
同理：PE = PF.
∴PD = PE = PF.
∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个角的内部，到角的
两边距离相等的点在这个角的平分线上），
即∠A 的平分线经过点 P.
分析:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.
证明过程中我们还知道，这个交点到三条边的距离相等。
典例探究
数学符号语言如下：
定理 三角形三个角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
∵△ABC的三条角平分线相交于点P，
∴PD=PE=PF
PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC
作用：证明线段相等,角度相等
D
E
F
归纳总结
例 如图，在△ABC 中. AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD.
（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C = 90°，DE⊥AB，垂足为 E，
∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∵AC = BC ∴∠B = ∠BAC（等边对等角）
∵∠C = 90°，
∴∠B = ×90°=45°.
∴∠BDE=90°– 45°= 45°
∴BE = DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形 BDE 中 cm（勾股定理)，
∴AC = BC = CD + BD =（4+ ）cm.
1
2
典例探究
例 如图，在△ABC 中. AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD.
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL)
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）
又∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
典例探究
1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D.
求证：（1）OC = OD；（2）OP 是 CD 的垂直平分线.
O
C
D
B
P
E
A
证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，
OP = OP，PC = PD，
∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）.
∴OC = OD（全等三角形对应边相等）.
巩固训练
1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D.
求证：（1）OC = OD；（2）OP 是 CD 的垂直平分线.
O
C
D
B
P
E
A
证明：（2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线，OC=OD
∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.
巩固训练
定理: 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
思想方法
逆向思维，转化思维，证明角相等、线段相等的新方法。
文字语言-符号语言-图形语言的互相转化.
数学建模，推理证明的重要性.
定理
作用：证明两条线段相等，位置的选择问题.
归纳总结
1. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.(角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等)
又∵BD = CD（已知），
∴Rt△DEB ≌ Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.（全等三角形的对应边相等）
分析：要想证明两条线段相等，可以利用角平分线性质定理、全等三角形性质来解答。
巩固训练
解决问题：
2.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库.要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置
P1
P2
P3
P4
A
B
C
巩固训练
习题1.10第1、3题