2023-2024学年江苏省苏州市高新实验中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市高新实验中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列事件中，属于必然事件的是
( )
A. 射击运动员射击一次，命中环 B. 在一个只装有白球的袋中摸出红球
C. 是实数， D. 一个三角形的三个内角的和大于
2.已知点到圆心的距离为，若点在圆内，则的半径可能为
( )
A. B. C. D.
3.已知，则下列比例式错误的是
( )
A. B. C. D.
4.把二次函数的图象向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为
( )
A. B.
C. D.
5.如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是
( )
A. 平分 B.
C. D.
6.如图，，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
7.如图，是的半径，以为直径的与的弦相交于点，则与的大小关系
( )
A. B. C. D. 无法判断
8.小凯在画一个开口向下的二次函数图象时，列出如下表格：
发现有一对对应值计算有误，则错误的那一对对应值所对的坐标是
( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结若点与圆心不重合，，则的度数为
( )
A. B. C. D.
10.已知二次函数的图象过，，，，若，则下列表达式正确的是
( )
A. 对于任意，恒成立
B. 不存在实数，使得成立
C. 存在实数，使得成立
D. 对于任意，恒成立
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11.欢欢将杭州高新实验学校的二维码打印在面积为的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 ．
12.抛物线的顶点坐标 ．
13.如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水的最大深度是 ．
14.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．
15.如图，图是由若干个相同的图组成的图案，在图中，已知半径，，则图的周长为 结果保留．
16.如图，正方形和等边都内接于圆，与，别相交于点，若，则的半径长为 ；的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在直径的圆铁片上切下一块高为的弓形铁片．
用直尺和圆规作出弧的中点．
求这块弓形铁片的面积．
18.本小题分
一个不透明的口袋中有个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，，，摇匀后先从中任意摸出个球不放回，再从余下的个球中任意摸出个球．
用列表或画树状图的方法表示两次摸球的情况；
求乒乓球球面上的数之和是正数的概率．
19.本小题分
图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均在格点上，在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
在图中以线段为边画一个三角形，使它与相似；
在图中画一个三角形，使它与相似不全等；
在图中的线段上画一个点，使．
20.本小题分
如图，在矩形中，是边的中点，于点．
求证：；
若，，求的长．
21.本小题分
如图，已知是的直径，内接于，，点是一动点点不与点，重合．
若，连结，，，求证：；
如图，若平分，连结，求的长．
22.本小题分
在平面直角坐标系中．设函数，其中为常数，且．
当，时，求的值．
若函数的图象同时经过点、，求的值．
已知点和在函数的图象上，且，求的取值范围．
23.本小题分
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计警戒线之间的宽度？
素材 图为某公园的抛物线型拱桥，图是其横截面示意图，测得水面宽度米，拱顶离水面的距离为米．
素材 拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．如图，测得相关数据如下：米，米，米，米．
素材 为确保安全，拟在石拱桥下面的，两处设置航行警戒线，要求如下：游船底部在，之间通行；当载重最少通过时，游船顶部与拱桥的竖直距离至少为米．
问题解决
任务 确定拱桥形状 在图中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．
任务 设计警戒线之间的宽度 求的最大值．
24.本小题分
如图，点是等边三角形中边上的动点，作的外接圆交于点点是圆上一点，且，连接交于点．
求证：；
当点运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
探究线段、、之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据绝对值的非负性，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：、射击运动员射击一次，命中环，是随机事件，故不符合题意；
、在一个只装有白球的袋中摸出红球，是不可能事件，故不符合题意；
、为实数，，是必然事件，故符合题意；
、一个三角形的三个内角的和大于，是不可能事件，故不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可．
【解答】解：点在圆内，且，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项的比例式化成等积式即可解答．
【解答】解：因为，所以，故不符合题意；
因为，所以，故不符合题意；
因为，所以，故不符合题意；
因为，所以，故符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，的图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到：．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】已知，则、选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】解：在和中，，
如果，需满足的条件有：
或是的平分线；
；
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：，，，
，
，
，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】连接，根据半圆或直径所对的圆周角是直角得到，然后根据垂径定理即可得到结论．
【解答】解：如图，连接，
为的直径，
，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】由抛物线开口向下及抛物线不能同时经过，，求解．
【解答】解：抛物线经过，，时，抛物线开口向上，不符合题意，
抛物线不能同时经过，，，
不在抛物线上，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．
【解答】解：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】由对称性质可知，、两点的纵坐标相等，则、两点关于抛物线的对称轴是对称的，由此求得抛物线的对称轴为直线，再，结合二次函数的性质，便可得出结果．
【解答】解：抛物线过，，
对称轴为：，
二次函数的图象过，，，
当时，，则；
当时，，则；
对于任意，恒成立，
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出黑色部分的面积．
【解答】解：由题意可得，
估计黑色部分的面积约为：，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【解答】解：，
，
，
顶点坐标为．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】连接，，则有，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图所示，连接，，则有，
，
在中，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到，即可得出答案．
【解答】解：为的黄金分割点，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】先根据图确定：图的周长个的长，根据弧长公式可得结论．
【解答】解：由图得：的长的长的长，
半径，，
则图的周长为：，
故答案为：．
16.【答案】

【解析】【分析】连接、，过点作于，根据正三角形的性质得到，进而求出；连接、，交于，连接，根据正方形的性质得到，计算即可．
【解答】解：如图，连接、，过点作于，
则，
为正三角形，
，
，
，
；
连接、，交于，连接，
则，
，
在中，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，
故答案为：；．
17.【答案】解：如图，点为所作；
设圆铁片的圆心为点，连接交于点，连接、，如图，
点为弧的中点，
，
，
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
、都为等边三角形，
，
，
这块弓形铁片的面积
．

【解析】【分析】作的垂直平分线交于点，利用垂径定理可得到点为的中点；
设圆铁片的圆心为点，连接交于点，连接、，如图，利用垂径定理得到，，计算出，，所以，接着证明、都为等边三角形得到，然后根据扇形的面积公式，利用这块弓形铁片的面积进行计算即可．
18.【答案】解：画树状图如下：
画树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为种，
两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率为．

【解析】【分析】画出树状图即可；
画树状图，共有种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为种，再由概率公式求解即可．
19.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
如图，点即为所求．

【解析】【分析】取格点，连接，使，由相似三角形的判定可知．
取格点，，，使，，即可．
取格点，，连接，交于点，连接，，此时，由，可得．
20.【答案】证明：四边形为矩形，，
，
，
，
，
．
解：为的中点，
，
在中，．
，
，
．

【解析】【分析】由四边形为矩形，，可得，推导出，即可证明结论；
为的中点，根据勾股定理可得，再根据相似三角形的性质即可列出比例式求得的长即可．
21.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
；
解：连接，
是圆的直径，
，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．

【解析】【分析】由圆心角、弧、弦的关系得到，由圆周角定理推出，由，得到，因此，即可证明；
连接，由圆周角定理推出是等腰直角三角形，即可求出的长．
22.【答案】解：函数的图象经过点，得
，
解得，；
，
抛物线的对称轴为直线，
函数的图象同时经过点，，
，
解得：；
，
，
又，
，
，
．

【解析】【分析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
根据二次函数的性质，可得答案．
23.【答案】解：任务
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，如图：
，，
点的坐标为，顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
这条抛物线的函数表达式为；
任务
过点作于点，如图：
米，米，
米，
米，
由题意可知，当最大时，
点的纵坐标为，
在中，令，得，
解得或，
米，米，
米，
游船底部在，之间通行，
的最大值为米．

【解析】【分析】任务：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求出点的坐标为，顶点为，再用待定系数法可得答案；
任务：过点作于点，求出米，当最大时，点的纵坐标为，令，得或，可得米，即可得的最大值．
24.【答案】证明：如图，连接，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
；
解法二：，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
；
解：连接，
，
，
，
，
，
；
理由如下：
延长到点，使得，连接、、、，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．

【解析】【分析】连接，证明，便可得；
连接，根据在同圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，得，，再根据三角形的外角定理便可求得的度数；
延长到点，使得，连接、、、，先证明为等边三角形，再证明，得，再证明，进而得，再证明，得，便可得出结论．
第1页，共1页