2023-2024学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省常州二十四中教育集团九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为
( )
A. B. C. 或 D.
2.在中，，，，以为圆心，为半径作，则点与的位置关系是
( )
A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定
3.下列各组的四条线段，，，是成比例线段的是
( )
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
4.以下命题中，两个直角三角形一定相似；两个等边三角形一定相似；两个菱形一定相似；任意两个矩形一定相似；两个正六边形一定相似．其中真命题的个数是
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是
( )
A. B. C. D.
6.如图，某建筑工程队在工地一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则可列方程
( )
A. B.
C. D.
7.如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则等于
( )
A. B. C. D.
8.如图，矩形中，点在边上，，，，点是矩形内一动点，满足，连接绕点逆时针旋转至，连接，则的最小值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.在比例尺是的地图上，若某条道路长约为，则它的实际长度约为 ．
10.若，则 ．
11.鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 结果保留根号
12.如图，是的直径，点，在上．若，则 ．
13.圆内接四边形中，；则的度数为 ．
14.设，是方程的两根，则的值是 ．
15.若是一元二次方程的一个解，则的值为 ．
16.在中，，，点是的中点，点为上一动点，当 时，与相似．
17.如图，已知，，，，是轴上的点，且，分别过点，，，作轴的垂线交直线于点，，，，连接，，，，，，，依次相交于点，，，，，，，，的面积依次为，，，，则为 ．
18.将图中的矩形和正方形纸片沿图中的虚线剪成块，再用这块拼接成如图所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
在中，请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线，使上的各点到、两边的距离相等，设直线与边交于点，在上找一点使不写作法，保留作图痕迹
21.本小题分
某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“双十一”促销活动，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件．
在每件盈利不少于元的前提下，要使该童装每天销售获利为元，每件童装应降价多少元？
该童装每天的销售获利能达到元吗？如果能，请写出降价方案；如果不能，请说明理由．
22.本小题分
如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点连接，，与的延长线相交于点．
求证：是的切线；
求证：；
若，，请直接写出__．
23.本小题分
如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
__填“是”或“不是”；
__填“是”或“不是”
求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
24.本小题分
综合与实践
动手操作：
如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到延长分别交于点，交于点，连接．
思考探究：
__，__；
若，则
__；
__；
开放拓展：
如图，若改变旋转角，已知，，当时，请直接写出的面积为__．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系内，，为轴上两点，以为直径的交轴于，两点，为的中点，弦交轴于点，且点的坐标为，．
求的半径；
动点在的圆周上运动，连接，交于点．
如图，当平分时，求的值；
如图，过点作的切线交轴于点，当点与点，不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出满足的条件求解即可．
【解答】解：由题意，
解得：，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论．
【解答】解：中，，，，
，
，
点在内，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案．
【解答】解：、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项不符合题意；
、，故此选项符合题意，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断．
【解答】解：任意两个直角三角形，不能判断它们的对应角相等，对应边的比相等，所以不一定相似，故原命题为假命题；
任意两个等边三角形，它们的内角相等，对应边的比相等．所以一定相似，故原命题为真命题；
任意两个菱形，只能判断对应边的比相等，不能判断对应的角相等．所以不一定相似，故原命题为假命题；
任意两个矩形，它们的对应角相等，不能判断对应边的比相等．所以不一定相似，故原命题为假命题；
任意两个正六边形，它们的内角相等，对应边的比相等．所以一定相似，故原命题为真命题．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】详解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，则，
即，
解得：，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据铁栅栏的总长及的长，可得出米，根据仓库总面积为平方米，即可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：铁栅栏的总长为米，且米，
米，
根据题意得：．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】利用，得到，则，根据三角形外角性质得，所以，同理得到，然后利用进行计算即可．
【解答】解：连接，如图，
，，
，
，
，
，
而，
，
，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】取的中点，再把绕点逆时针旋转至，连接，，，则有，即可求出，然后过点作于点，连接，利用勾股定理可以得到，再根据求出结果．
【解答】解：如图，取的中点，再把绕点逆时针旋转至，连接，，，
，
，
根据旋转可得：，，
，，
，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上移动，
过点作于点，连接，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
【解答】解：设它的实际长度约为，则
，
解得，
．
它的实际长度约为．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用设法进行计算，即可解答．
【解答】解：设，
，，
，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：是的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算出，从而得到的度数．
【解答】解：为的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据圆内接四边形对角互补求解．
【解答】解：四边形是圆内接四边形，
，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】根据根与系数的关系，直接代入求解即可得到答案．
【解答】解：，是方程的两根，
，，
，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】把代入方程中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：把代入方程中得：，
，
，
故答案为：．
16.【答案】或
【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得比例关系进而得出的值．
【解答】解：和相似时，
或者，
在中，，，点是的中点，
，
，即，
解得，
，即，
解得．
故答案为：或．
17.【答案】
【解析】【分析】根据图象上点的坐标性质得出点、、、、、各点坐标，进而利用相似三角形的判定与性质得出、、、、，进而得出答案．
【解答】解：、、、、、是轴上的点，且，分别过点、、、、、作轴的垂线交直线于点、、、、、，
依题意得：，，，，
，
，
，
与对应高的比为：，
，
边上的高为，
，
同理可得：，，
．
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】如图，设，则，，首先证明，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．
【解答】解：如图，设，则，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得，，
，
，
，
．
故答案为：
19.【答案】解：由原方程，得
，
开方，得
，
解得，；
由原方程，得
，
解得，．

【解析】【分析】利用直接开平方法解方程即可；
利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解，然后解方程．
20.【答案】解：作的平分线，交于点，则直线即为所求作的直；作线段的垂直平分线和以为直径的，与半圆的交点为，连接，与的交点即为点，如图：

【解析】【分析】作的平分线，交于点，则直线即为所求作的直；作线段的垂直平分线和以为直径的，与半圆的交点为，连接，与的交点即为点．
21.【答案】解：设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利为元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，每件盈利为：，不合题意，舍去；
当时，每件盈利为：，符合题意；
答：每件童装应降价元；
不能，理由如下：
设童装每天的销售获利为元，
由知，，
当时，的值最大，最大值为，
该童装每天的销售获利不能达到元．

【解析】【分析】设每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利为元，根据总利润每件利润销售数量，列出一元二次方程，解方程并由每件盈利不少于元，即可得出答案；
设童装每天的销售获利为元，根据总利润每件利润销售数量，求最大值即可．
22.【答案】证明：连接交于点，则，
，
，
，
是的直径，
，
是的半径，且，
是的切线．
证明：点是劣弧中点，
，
，
，
，
，
．
解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．

【解析】【分析】连接交于点，由，，得，则，即可证明是的切线；
由点是劣弧中点，根据垂径定理得，则，所以，则，而，所以；
由，得，由，得，再证明，则，所以，则，由三角形的中位线定理得，于是得到问题的答案．
23.【答案】解： 不是“勾系一元二次方程”，
理由：，
，
，，
，
以、、为三边长的三角形是不是直角三角形，且为斜边的长，
不是“勾系一元二次方程”，
是“勾系一元二次方程”，
理由：，
，
，，
，
以、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边的长，
是“勾系一元二次方程”，
故答案为：不是，是；
证明：是“勾系一元二次方程“，
、、为同一直角三角形的三边长，且为斜边的长，
，
，
关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．
解：是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
四边形的周长是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
面积是．

【解析】【分析】利用“勾系一元二次方程”的定义进行判断即可求解；
由是“勾系一元二次方程“得，因为，所以关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
由是“勾系一元二次方程”的一个根得，整理得，由四边形的周长是，可得，所以，则，则，所以，而，所以，即可求出的值及的值，得到面积．
24.【答案】解：将绕点逆时针旋转得到．
，，，，
四边形是正方形，，
，
故答案为：，；
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
，，，
，
将绕点逆时针旋转得到．
，，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
的面积，
故答案为：．

【解析】【分析】由旋转的性质可得，，，，可证四边形是正方形，，可求；
由正方形的性质可得，，，可求，可得，由平行线的性质可求，由相似三角形的性质可求出答案；
由勾股定理可求，由旋转的性质可求，，，，通过证明，可求的长，由三角形的面积公式可求解．
25.【答案】解：如图中，连接．
，
，
设，
在中，，
，
解得，
的半径为．
如图中，连接，．
是直径，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
如图中，连接，．
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．

【解析】【分析】如图中，连接设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
如图中，连接，证明，推出，解直角三角形求出即可解决问题．
如图中，连接，证明，推出，推出，推出，可得，求出即可解决问题．
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