2023-2024学年江苏省扬州市邗江区第三共同体九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市邗江区第三共同体九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程是一元二次方程的是
( )
A. B. C. D.
2.把方程配方后，可变形为
( )
A. B. C. D.
3.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值不可能是
( )
A. B. C. D.
4.如图，是的直径，点、在上，，则的大小为
( )
A. B. C. D.
5.如图，的半径为，是的内接等边三角形，点在上．四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是
( )
A. B. C. D.
6.下列命题：长度相等的弧是等弧任意三点确定一个圆相等的圆心角所对的弦相等外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.如图，四边形内接于，点为边上任意一点点不与点，重合，连接若，则的度数不可能为
( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，，，若在直线上存在点满足，则的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
10.若圆锥母线长，底面周长，则其侧面展开图面积为 ．
11.如图，在上顺次取点，，，，连接，，，，若，，则的度数为 ．
12.如图，、是的弦，交于，若，则 ．
13.方程的一个根是，则 ．
14.如图，四边形是的内接四边形，若半径为，且，则的长为 ．
15.如图，与正六边形相切于点、，则劣弧所对的圆心角的大小为 度．
16.已知的直径为，，分别是的两条弦，且，，，则，之间的距离是 ．
17.如图，是半圆的直径，点不与点，重合为半圆上一点，将图形沿折叠，分别得到点，的对应点，，过点，若与半圆恰好相切，则的大小为 ．
18.如图．在中，，，以为圆心，长为半径的弧交的延长线于，若图中两个阴影部分的面积相等，则 ．
三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解方程下列方程：
；
．
20.本小题分
如图，点是的平分线上任意一点，过作于，以为半径作，求证：是的切线．
21.本小题分
已知关于的方程．
求证：此方程有两个不相等的实数根；
设此方程的两个根分别为，，若，求的值．
22.本小题分
请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．
如图是以格点为圆心，为直径的圆，在上找出一点，使；
如图是以格点为圆心的圆，在弦上找出一点使．
23.本小题分
如图，为的直径，是的切线，为外一点，交于点，，，垂足为．
求证：；
若，，求的长．
24.本小题分
如图，某农场老板准备建造一个矩形羊圈，他打算让矩形羊圈的一面完全靠着墙，墙可利用的长度为，另外三面用长度为的篱笆围成篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分，问：若要使矩形羊圈的面积为，则垂直于墙的一边长为多少米？
25.本小题分
如图，为的直径，并与弦交于点，连接、，过点作射线交的延长线于点，使．
求证：是的切线．
若，，求图中阴影部分的面积．
26.本小题分
我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题：
若，是方程的两根，则__，__；若，是方程的两根，则__，__；
已知，满足，，求的值；
已知，，满足，，则正整数的最小值为__．
27.本小题分
我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”如图，已知的两条弦，则、互为“十字弦”，是的“十字弦”，也是的“十字弦”．
【概念理解】
若的半径为，一条弦，则弦的“十字弦”的最大值为__，最小值为__．
如图，若的弦恰好是的直径，弦与相交于，连接，若，，，求证：、互为“十字弦”；
【问题解决】
如图，在中，半径为，弦与相交于，、互为“十字弦”且，，则的长度__．
28.本小题分
综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析
如图，正方形中，点为对角线上一个动点，连接，将射线绕点顺时针旋转的度数，交直线于点．
小明的思考如下：
连接，，，，依据，，点、、、共圆，，，依据，依据
填空：依据应为__，
依据应为__，
依据应为__；
一般结论探究
将图中的正方形改为菱形，其他条件不变，中的结论是否成立，若成立，请仅以图的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸
若，，当为直角三角形时，请直接写出线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】一元二次方程必须满足以下条件：
未知数的最高次数是；
二次项系数不为；
是整式方程；
含有一个未知数．同时满足以上四个条件的方程就是一元二次方程．
【解答】解：、方程化简得到，是一元一次方程，故错误；
、未知项的最高次数是，故错误；
、不是整式方程，故错误；
、符合一元二次方程的定义，正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】首先移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【解答】解：，
，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据根的判别式得到，然后解关于的不等式，即可求出的范围，并根据选项判断．
【解答】解：根据题意得
解得．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】先利用圆周角定理得到，然后根据邻补角的定义计算出的度数．
【解答】解：，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】连接、，根据平行四边形的性质得，再根据圆周角定理得为的直径，利用圆周角定理得到，根据含的直角三角形三边的关系得到，，然后根据矩形的面积公式求解．
【解答】解：连接、，如图，
四边形为平行四边形，
，
，
，
为的直径，
，
为等边三角形，
，
，
而，
，
在中，，，
矩形的面积．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】等弧必须同圆中长度相等的弧；不在同一直线上任意三点确定一个圆；在等圆中相等的圆心角所对的弦相等；外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形．
【解答】解：等弧必须同圆中长度相等的弧，故本选项错误．
不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本项错误．
在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误．
外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，故本选项正确．
所以只有一项正确．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出，然后根据三角形外角性质对各选项进行判断．
【解答】解：四边形为的内接四边形，
，
，
，
即，
的度数不可能为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】作等边三角形，然后作外接圆，求得直线与外接圆相切时的的值，即可求得的取值范围．
【解答】解：如图，作等边三角形，
，，
，
在轴上，
当在上方时，作等边三角形的外接圆，设直线与相切，切点为，当与重合时的值最大，
当与重合时，连接，则直线，
，
，
设的半径为，在中则，
解得，
，
，
由直线可知，
，，
，，
，
，即，
解得，
当在下方时，作等边三角形的外接圆，设直线与相切，切点为，当与重合时的值最小，
当与重合时，同理证得，
的取值范围是，
故选：．
9.【答案】．
【解析】【分析】通过根与系数的关系求得方程的另一个根．
【解答】解：设关于的一元二次方程的另一个根为，
则依题意得：，
解得．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可求解．
【解答】解：圆锥母线长，底面周长，
其侧面展开图的面积，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：，，，
，
，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】先根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，求的度数，再由平行线的性质得出结论．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】将代入原方程，可得出，即，再将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：将代入原方程得：，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】连接、，根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接、，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，
的长：，
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出的度数．
【解答】解：六边形是正六边形，
．
、与相切，
，
，
故答案为：．
16.【答案】或
【解析】【分析】过点作于，交于，连接、，如图，根据平行线的性质得到，则利用垂径定理得到，，再根据勾股定理计算出、，然后讨论：当点不在与之间，如图，；当点在与之间，如图，．
【解答】解：过点作于，交于，连接、，如图，
，，
，
，，
在中，，
在中，，
当点不在与之间，如图，；
当点在与之间，如图，；
综上所述，，之间的距离为或．
故答案为：或．
17.【答案】
【解析】【分析】作于，于，如图，根据切线的性质得到，再利用可证明四边形为正方形，接着根据折叠的性质得，，所以，根据特殊角的三角函数值得到，然后利用可确定的度数．
【解答】解：作于，于，如图，
与半圆恰好相切，
为的半径，即，
，
，，，
四边形为正方形，
图形沿折叠，分别得到点，的对应点，，
，，
，
，
，
．
故答案为．
18.【答案】
【解析】【分析】由题意，图中两个阴影部分的面积相等，则扇形和的面积相等；根据等腰直角三角形的性质及面积公式分别表示出和扇形的面积，变形得出和的数量关系，进而得出和的数量关系，两者相比，计算即可．
【解答】解：图中两个阴影部分的面积相等
，
为等腰直角三角形
故答案为：．
19.【答案】解：，
，，，
，
，
解得，；
，
整理得，
，
，，
解得，．

【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程；
利用因式分解法求解即可．
20.【答案】证明：过点作于，
点是的平分线上任意一点，，
，
即到直线的距离等于的半径，
与相切．

【解析】【分析】首先过点作于，由点是的平分线上任意一点，，根据角平分线的性质，即可得，则可得到直线的距离等于的半径，则可证得与相切．
21.【答案】证明：，
此方程有两个不相等的实数根．
解：，即，
解得：，．
，
，
解得：．

【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；
利用分解因式法解方程可得出方程的根，，结合，即可找出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
22.【答案】解：如图，在上方个格点确定点，连接，与的交点即为；
如图，点向右、向上各个格点取，连接，与弦的交点即为．

【解析】【分析】如图，在上方个格点确定点，连接，与交于点，则，，与的交点为，由垂径定理可知，即点即为所求；
如图，连接、、，由圆周角定理可知，点向右、向上各个格点取，连接，则，，则与弦的交点即为．
23.【答案】证明：连接，，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
切圆于，
直径，
，
，
，
，
，
；
解：设，则，
，
，
，
，
，
．

【解析】【分析】连接，，由圆周角定理，垂直的定义得到，由平行线的性质，等腰三角形的性质得到，又，推出，因此；
设，则，由勾股定理得到，求出的值即可．
24.【答案】解：设所围矩形的宽为米，则宽为米．
依题意，得，
即，，
解此方程，得，．
墙的长度不超过，
不合题意，应舍去．
垂直于墙的一边长为米．

【解析】【分析】设所围矩形的宽为米，则宽为米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解．
25.【答案】证明：连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：，
，
，
，
，
，，，，
，
解得或不符合题意，舍去，
，
，
，
，
阴影部分的面积是．

【解析】【分析】连接，则，所以，则，因为，，即可证明是的切线；
由，得，根据垂径定理得，则，由勾股定理得，因为，，，，所以，可求得，则是等边三角形，所以，而，即可由，求得阴影部分的面积是．
26.【答案】解：，是方程的两根，
，；
，是方程的两根，
，，解得，．
故答案为：，，，．
，满足，，
当时，原式；
当时，、可看作方程的两根，
，，
原式．
综上，的值为或．
，，
，
、为一元二次方程的两根，
，而，
，即．
的最小整数为．
故答案为：．

【解析】【分析】直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，，即可得到、的值；
讨论：当时，易得原式；当时，把、看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，，再通分化简原式，然后利用整体代入计算即可解答；
利用已知条件变形得到，根据根与系数的关系，则、为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定的最小整数值．
27.【答案】解：当为的直径时，有最大值，最大值为，
如图，当点与点重合时，有最小值，
连接，
，
为的直径，
由勾股定理得：，
故答案为：；；
证明：如图，连接，
为的直径，
，
，，，
，，
，
，
，
，
，
、互为“十字弦”；
解：如图，过点作于，于，连接，
，
四边形为矩形，
，，，
，
矩形为正方形，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，，即，
解得：，舍去，
，
故答案为：．

【解析】【分析】根据直径的最长的弦求出的最大值，根据圆周角定理、勾股定理求出的最小值；
连接，根据圆周角定理得到，证明，根据相似三角形的性质得到，根据“十字弦”的定义证明结论；
过点作于，于，连接，证明四边形为正方形，根据正方形的性质得到，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
28.【答案】解：连接，
，，
两直线平行，内错角相等，
，
，
点、、、共圆，
，同弧所对的圆周角相等，
，
等角对等边；
故答案为：两直线平行，内错角相等；同弧所对的圆周角相等；等角对等边；
结论成立，理由如下：
连接，
，，
两直线平行，内错角相等，
，
，
点、、、共圆，
，同弧所对的圆周角相等，
，
；
时，此时点和点重合，
，
，，
，
即是等边三角形，
，
，
即；
当时，此时，点和点重合，
，，
，
，
解得舍去负值，
综上所述，的长为或．

【解析】【分析】平行线的性质，圆的性质，等腰三角形的性质得出结论即可；
同理得出结论即可；
分情况利用特殊直角三角形得出的长度即可．
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