2023-2024学年江苏省常州二十四中教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省常州二十四中教育集团八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.我国杨秉烈先生在上世纪八十年代发明了繁花曲线规画图工具，利用该工具可以画出许多漂亮的繁花曲线，繁花曲线的图案在服装、餐具等领域都有广泛运用．下面四种繁花曲线中，是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.下列数组中，能构成勾股数的是
( )
A. B. ，， C. ，， D.
3.如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为
( )
A. B. C. D.
4.如图，已知，点是其中一边上的点，用尺规作图的方法在另一边上确定一点，使是等腰三角形，则作图痕迹不符合要求是
( )
A. B.
C. D.
5.如图，三条公路把、、三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在
( )
A. 在、两内角平分线的交点处 B. 在、两边中线的交点处
C. 在、两边高线的交点处 D. 在、两边垂直平分线的交点处
6.若直角三角形的两直角边分别为，，且满足，则该直角三角形的斜边为
( )
A. B. C. 或 D.
7.下列说法中，正确的是
( )
A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某直线成轴对称的图形
B. 等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
C. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形
D. 线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形
8.如图，在中，，面积是，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.实数的算术平方根是 ．
10.如图，已知，，要使，还需添加的条件是只需填一个 ．
11.如图，与关于直线对称，则的度数为 ．
12.已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数等于 ．
13.如图，在中，，点为边的中点，，则 ．
14.等腰三角形两边长为和，则此等腰三角形的周长是 ．
15.如图，为内任意一点，分别画出点关于，的对称点，，连接交于点，交于点若，则的周长为 ．
16.如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，于点，若，则两平行线与间的距离为 ．
17.如图，长方形的长和宽分别为、，、分别是两边上的点，将四边形沿直线折叠，使点落在点处，则图中阴影部分的周长为 ．
18.如图，在中，，，是的中点，如果在和上分别有一个动点、在移动，且在移动时保持若，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
求下列各式中的值：
；
．
20.本小题分
方格纸中每个小方格都的边长为的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．
在图中确定格点，并画出一个以、、、为顶点的四边形，使其为轴对称图形；
在图中画一个格点正方形，使其面积等于．
21.本小题分
已知：如图，、相交于点，且是、的中点．求证：．
22.本小题分
如图，已知在中，，，，，，求的面积．
23.本小题分
如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接、．
求证：垂直平分；
若，求证：是等边三角形．
24.本小题分
【概念呈现】：当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．
【概念理解】：如图，若，，，则四边形__填“是”或“否”真等腰直角四边形；
【性质应用】：如图，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，__；
【深度理解】：如图，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系，并说明理由．
25.本小题分
如图，四边形的对角线、交于点，证明：；
如图，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，连接、、．
已知，，求的值；
若分别取，的中点、，连接，，，判断的形状为__；
如图，对于任意，以和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，连接、、，分别取，的中点、，连接，，，则的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【解答】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据勾股数的定义对各个选项逐一判定即可．
【解答】解：、不是正整数，
这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
、，，不是正整数，
这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
、，
这一组数能构成勾股数，符合题意；
、，，不是正整数，
这一组数不能构成勾股数，不符合题意；
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
【解答】解：公路，互相垂直，
，
为的中点，
，
，
，
即，两点间的距离为，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据作图痕迹分别判断是否是等腰三角形，即可得出答案．
【解答】解：由作图痕迹可知，是以为圆心，为半径作圆，交于点，得出，是等腰三角形，故选项不符合题意；
由作图痕迹可知，是以为圆心，为半径作圆，交于点，得出，是等腰三角形，故选项不符合题意；
由作图痕迹可知，作线段的垂直平分线，得出，是等腰三角形，故选项不符合题意；
由作图痕迹可知，不是等腰三角形，故选项符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在、两内角平分线的交点处．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】首先根据非负数的性质求得、的值；然后由勾股定理求得斜边的长度即可．
【解答】解：，
，
，，
，，
该直角三角形的斜边长为：．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据图形成轴对称和轴对称图形的定义逐一判断即可，全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的．
【解答】解：、全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的，原说法错误，不符合题意；
、等腰三角形是以底边中线所在直线为对称轴的轴对称图形或者说等腰三角形被中线所在直线分成的两个三角形成轴对称，原说法错误，不符合题意；
、成轴对称的两个三角形一定是全等的，正确，符合题意；
、成轴对称的图形必须是两个，一个图形只能是轴对称图形，原说法错误，不符合题意．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接，．
是等腰三角形，点是边的中点，
，
，解得，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
，
，
的长为的最小值，
的周长最短．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：的算术平方根为，
故答案为：
10.【答案】
【解析】【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，求出，再根据全等三角形的判定定理添加一个条件即可．
【解答】解：，
理由是：，
，
，
在和中，
，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】依据轴对称的性质，即可得到的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【解答】解：从图中可知，，，
与关于直线对称，
，
，
．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】根据平方根的定义求出的值，再求出这个正数的平方根，进而得出答案．
【解答】解：一个正数的两个平方根是和，
，
解得，
，
这个正数为，
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：，点为边的中点，
，，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】首先根据三角形的三边关系推出腰长为，底边长为，即可推出周长．
【解答】解：若为腰长，为底边长，
，
腰长不能为，底边长不能为，
腰长为，底边长为，
周长．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等，可求得的周长．
【解答】解：与关于对称，
为线段的垂直平分线．
．
同理可得：．
，
的周长．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】要求两平行线与间的距离，即就是求与之间的垂线长度；过点作，交于点，交于点，与之间的垂线长度即为线段的长度；根据角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，再结合已知条件可求出、，即可求出的长度．
【解答】解：过点作，交于点，交于点．
，，
，
．
，，，的角平分线与的角平分线相交于点，
，，
．
两平行线与间的距离为．
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长为：，进而求出即可．
【解答】解：将四边形沿直线折叠，使点落在点处，
，，
图中阴影部分的周长为：，
长方形的长和宽分别为、，
图中阴影部分的周长为：，
故答案为：．
18.【答案】
【解析】【分析】连接，通过证明，可证明是等腰直角三角形，得，只要最小时，即最小，从而解决问题．
【解答】解：连接，
，，点为的中点，
，，，
在和中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
当时，最小值为，
的最小值为：．
故答案为：．
19.【答案】解：，
．
．
，
．
或．

【解析】【分析】先求得，然后再利用平方根的定义回答即可；
先利用平方根的定义求得，然后再求解即可．
20.【答案】解：如图中，四边形即为所求；
如图中，正方形即为所求．

【解析】【分析】作一个等腰梯形即可；
作一个边长为的正方形即可．
21.【答案】证明：是、的中点，
，．
在和中，
．

【解析】【分析】根据线段中点的定义得出，，由对顶角相等得出，根据即可证明．
22.【答案】解：，，，
，
，，
，
是直角三角形，，
的面积．

【解析】【分析】根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理推出是直角三角形，，根据三角形面积公式求解即可．
23.【答案】证明：，且，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
垂直平分．
，，
，
又，
是等边三角形．

【解析】【分析】先证，即可得出是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
证出，又根据，即可证明结论．
24.【答案】解：，，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
是等腰三角形，
四边形是真等腰直角四边形，
故答案为：是；
对角线是这个四边形的真等腰直角线，
是等腰三角形，
当时，由勾股定理得：；
当时，由勾股定理得：；
故答案为：或；
，理由如下：
由题意知：和都是等腰直角三角形，，
，，，
，
在和中，
，
．

【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理证明，从而是等腰直角三角形，又因为是等腰三角形，即可得出结论；
由题意知是等腰三角形，当时，由勾股定理得：，当时，由勾股定理得：；
利用证明，得．
25.【答案】证明：如图中，
，
，
，，，，
，，
．
解：如图中，设交于点，交于点．
在中，，，，
，
，都是等腰直角三角形，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
；
结论：是等腰直角三角形．理由如下：
如图中，
由知，
，，
，，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形；
解：中结论成立．理由如下：
如图中，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形．

【解析】【分析】利用勾股定理证明即可；
利用勾股定理求出，再证明，利用中结论，解决问题即可；
如图中，设交于点，交于点证明，可得结论；
证明，推出，，再证明，可得结论．
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