2023-2024学年江苏省扬州市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省扬州市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形是四家电信公司的标志，其中是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是
( )
A. 是的立方根 B. 负数没有平方根，但有立方根
C. 的平方根为 D. 的立方根为
3.下列各组数中互为相反数的一组是
( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
4.如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是
( )
A. B.
C. D.
5.若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的形状是
( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
6.已知等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长是
( )
A. B. C. D. 或
7.如图，在中，，的垂直平分线交于点若，则的度数是
( )
A. B. C. D.
8.如图，把长方形纸片折叠，、两点恰好重合落在边上的点处，已知，且，，那么矩形纸片的面积为
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.的立方根是 ．
10.的算术平方根是．的立方根是，则的算术平方根为 ．
11.已知，，，则 ．
12.如图是马口生态公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路”已知米，米，他们踩坏草坪，只为少走 米的路．
13.如图，在中，是边的垂直平分线，，的周长为，则的周长为 ．
14.如图，已知方格纸中是个相同的小正方形，则的度数为 ．
15.如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；作射线，交于点若点到的距离为，则的长为 ．
16.清初数学家梅文鼎在著作平三角举要中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则当，，时， ．
17.如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ．
18.如图，在长方形中，，，平分交于点，是的中点，则的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
已知一个正数的两个平方根分别是与，实数的立方根是，求的立方根．
21.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，已知的三个顶点均在格点上．
画出关于直线对称的；
在直线上找一点，使的长最短；
求的面积．
22.本小题分
如图，已知，，、是上两点，且求证：．
23.本小题分
如图，若，且．
求证：；
若，，求的度数．
24.本小题分
如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、．
若，求的度数．
若，的周长为，求的周长．
25.本小题分
如图，在四边形中，，，，，对角线．
求的长；
求四边形的面积．
26.本小题分
如图所示，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．
求证：；
若，，求的长．
27.本小题分
如图，在等边中，，点从点出发沿边向点以每秒个单位的速度移动，点从点出发沿边向点以每秒个单位的速度移动．，两点同时出发，它们移动的时间为秒．
用含的代数式表示：__，__；
在点，的运动过程中，是否存在，使得与全等？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由；
若、两点分别从、两点同时出发，并且都按逆时针方向沿的三边运动，请问经过几秒点与点第一次相遇？并说明相遇的位置．
28.本小题分
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形．
如图，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条内好线，则__度；
如图，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点求证：是的一条内好线；
如图，已知是内好三角形，且，为钝角，则所有可能的的度数为__直接写答案．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：选项、、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据平方根、立方根的定义，即可解答．
【解答】解：、是的立方根，故本选项错误；
、负数没有平方根，但有立方根，故本选项正确；
、的平方根是，故本选项错误；
、的立方根为，故本选项错误；
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】对每个选项进行计算，得出的结果直接用于选项正确性的判断．
【解答】解：，和互为相反数，故正确；
，不是的相反数，故错误；
和互为倒数，不互为相反数，故错误；
和相等，故错误．
综上可知只有正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定，而添加后则不能．
【解答】解：、添加，根据，能判定，
故选项不符合题意；
、添加时，不能判定，
故选项符合题意；
、添加，根据，能判定，
故选项不符合题意；
、添加，根据，能判定，
故选项不符合题意；
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据三边关系解答即可．
【解答】解：，不是直角三角形，
，是直角三角形，
，
所以这个三角形的形状是锐角三角形；
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长为时，底边长为，三角形的三边长为，，，不能构成三角形；
当底边长为时，腰长为，三角形的三边长为，，，构成等腰三角形；
所以等腰三角形的底边为．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形外角的性质得到，根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论．
【解答】解：，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】由折叠的性质可知，且与中边上的高相等，在中可求得及边上的高，则可求得答案．
【解答】解：
，且，，
，边上的高，
又由折叠的性质可知，，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据立方根的定义解答即可．
【解答】解：的立方根是．
故答案为：．
10.【答案】
【解析】【分析】先根据算术平方根和立方根的定义求出、的值，再代入计算可得．
【解答】解：的算术平方根是，
，
，
的立方根是，
，
，
则．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】【分析】先判断为直角三角形，然后根据勾股定理求出即可
【解答】解：在中，米，米，
，，
他们踩坏了米的草坪，只为少走米的路．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质结合的周长可求，进而可求解的周长．
【解答】解：是边的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】直接利用全等图形的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：，
则，
，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】根据角平分线的性质得到点到的距离．
【解答】解：由作图知平分，
，点到的距离为，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】根据和，，，可以计算出的长，再根据的长，即可计算出的长．
【解答】解：，，，，
，
，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】根据勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：正方形、的面积依次为、，
正方形的面积为，
又正方形的面积为，
正方形的面积，
故答案为．
18.【答案】
【解析】【分析】过作于，连接，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：过作于，连接，
四边形是矩形，
，
平分交于点，
，
在与中，
，
，
是的中点，
，
，
在与中，
，
，
，
故答案为：．
19.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，
，．

【解析】【分析】利用直接开平方法解方程；
利用直接开平方法解方程．
20.【答案】解：一个正数的两个平方根分别是与，
，
解得：，
实数的立方根是，
，
则，
则的立方根为．

【解析】【分析】根据平方根的性质及立方根的定义求得，的值，然后求得的值，进而求得其立方根．
21.【答案】解：如图，即为所求；
如图，点即为所求；
的面积为．

【解析】【分析】分别作出点、、关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
连接，与直线的交点即为所求点；
利用割补法求解即可．
22.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
．

【解析】【分析】根据证明即可．
23.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
解：，
，
，
．

【解析】【分析】证明，由全等三角形的性质可得出结论；
由全等三角形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出答案．
24.【答案】解：，，
，
垂直平分，
，
，
，
垂直平分，
，
，
的周长
，
，
的周长．

【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可；
根据三角形的周长公式解答即可．
25.【答案】解：，，，
，
，，，
，
是直角三角形，
四边形的面积．

【解析】【分析】根据勾股定理得出即可；
利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可．
26.【答案】证明：和都是等腰直角三角形，
，．
，，
，
．
在和中
．
解：又
，
即是直角三角形
．

【解析】【分析】根据同角的余角相等得到，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用即可证明；
根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到，，所以是直角三角形，利用勾股定理即可求出长度．
27.【答案】解：在等边中，，
，
点从点出发沿边向点以每秒个单位的速度移动，点从点出发沿边向点以每秒个单位的速度移动，，两点同时出发，它们移动的时间为秒，
，，
，
故答案为：；；
存在．
在与中，
，，
若，则，
此时，
解得：，
当运动时间为秒时，；
点的速度大于点的速度，
当点比点多运动个单位时，两点第一次相遇，
即，
，
，
点、在点处相遇，
即经过秒点与点第一次在点处相遇．

【解析】【分析】根据路程速度时间，解决问题即可；
根据全等三角形的判定，利用，构建方程求解即可；
根据点比点多运动个单位，构建方程求解即可．
28.【答案】解：，
，
平分，
，
是的一条内好线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；
是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是的一条内好线；
设是的内好线，
如图，
当时，则，
，
若时，则，
，
若时，则，
不合题意舍去，
若时，则，
不合题意舍去，
如图，当时，则，
，
，
，
，
如图，当时，则，
，，
，
，
，
设是的内好线，
当时，则，
，
，
不合题意舍去，
设是的内好线，
，
，
，
，
，
，
，，
，
综上所述：或或或．
故答案为：或或或．

【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得，由角平分线的性质可得，由“内好线”定义可得，可得，，由三角形的内角和定理可求解；
只要证明，是等腰三角形即可；
当是内好线时，分三种情形讨论，由等腰三角形的性质可求解；当是内好线时，当为内好线时，利用等腰三角形性质即可解决问题．
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