2023-2024学年江苏省无锡市新吴区新一教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省无锡市新吴区新一教育集团八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下面图形是轴对称图形的是
( )
A. B. C. D.
2.如图，已知，要说明，还需从下列条件中选一个，错误的选法是
( )
A. B.
C. D.
3.如图，，点在边上，，则的度数为
( )
A. B. C. D.
4.如图，用尺规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是
( )
A. B. C. D.
5.下列说法错误的是
( )
A. 关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B. 轴对称图形至少有一条对称轴
C. 全等三角形一定能关于某条直线对称 D. 角是轴对称的图形
6.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
7.如图，在中，垂直平分，若，，则的周长等于
( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，则的大小为
( )
A. B. C. D.
9.如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则的长为
( )
A. B. C. D.
10.和是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形内．若求五边形的周长，则只需知道
( )
A. 的周长 B. 的周长
C. 四边形的周长 D. 四边形的周长
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11.小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 ．
12.一个等腰三角形的两边长分为和，则三角形的周长为 ．
13.如果等腰三角形的顶角等于，那么它的底角为 ．
14.已知两边长为和，则其斜边上的中线为 ．
15.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为，两格点，之间的距离 填“”，“”或“”．
16.九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，
上与垣齐．引木却行一尺，其木至地，问木长几何？”其意思为：今有墙高丈，倚木杆于墙，使木之上端与墙平齐，牵引木杆下端退行尺，则木杆从墙上滑落至地上．问本木杆是多长？丈尺设木杆长为尺、根据题意，可列方程为 ．
17.九章算术有一个问题：一根竹子高丈丈尺，从处折断，折断后竹子顶端点落在离竹子底端点尺处，那么折断处离地面的高度是 尺．
18.如图，在中，，，．是边上一动点，连接，以为直角边在左侧作等腰直角，且，连接，则的最小值为 ，面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
作图题：如图，已知及点、两点，请利用直尺和圆规作一点，使得点到射线、的距离相等，且点到点、的距离也相等．
利用方格纸画出关于直线的对称图形，
判断的形状并说明理由．
20.本小题分
如图，在中，，为边上一点，，．
求的度数；
求证：．
21.本小题分
已知：如图，点、、、在一条直线上，、两点在直线的同侧，，，求证：．
22.本小题分
有一块四边形的花坛，其中，，，，，求这块花坛的面积．
23.本小题分
如图，中，，的垂直平分线分别交、于点、．
若，求的度数；
若，周长为，求的长．
24.本小题分
用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理．
如图，在中，，是边上的高，，，求的长度；
如图，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
25.本小题分
我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等．
小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是请你帮助小亮解决下列问题：
求，，三边之间的关系；
已知，，
与相交于，求的长；
求．
26.本小题分
如图，已知正方形的边长为，，，点为正方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为．
如图，当时，__；如图，当点在边上运动时，__；
当时，求的值；
若点是边上一点且，连接．
在正方形的边上是否存在一点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
点在运动过程中，为等腰三角形，求出此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．
【解答】解：根据轴对称图形的意义可知：中图形是轴对称图形；
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，排除错误的选项．本题中、与、组成了是不能由此判定三角形全等的．
【解答】解：、加，，，，，是正确选法；
、加，，，，是正确选法；
、加，满足，不能得出，是错误选法；
、加，，，，，是正确选法．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可得到答案．
【解答】解：，
，，
．
，
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】由作图可得，，，可利用定理判定三角形全等．
【解答】解：在和中，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称的定义和性质逐一分析四个选项的正误，由此即可得出结论．
【解答】解：、关于某条直线对称的两个三角形一定全等，正确；
、轴对称图形至少有一条对称轴，正确；
、两全等三角形不一定关于某条直线对称，错误；
、角是轴对称的图形，正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
【解答】解：、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，则的周长，以此即可选择．
【解答】解：垂直平分，
，
，
，，，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再由折叠可得的度数，再根据三角形外角的性质可得的度数．
【解答】解：在中，，，
，
根据折叠可得，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，设，则，，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可．
【解答】解：，，
，
，
根据折叠可得：，
，，
设，则，，，
在中：，
，
解得：．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】证明，得出由题意可知，则得出五边形的周长，则可得出答案．
【解答】解：为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
和是两个全等的等边三角形，
，
五边形的周长，
，
．
只需知道的周长即可．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称来解答此题．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为．
故答案为：．
12.【答案】或
【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长；
当腰长为时，根据三角形三边关系可知此情况成立；周长；
所以这个三角形的周长是或．
故答案为：或．
13.【答案】
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．
【解答】解：等腰三角形的顶角等于，
又等腰三角形的底角相等，
底角等于．
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】【分析】分为两种情况当，时，由勾股定理求出，根据直角三角形斜边上中线得出，求出即可；
当，时，根据直角三角形斜边上中线得出，求出即可．
【解答】解：分为两种情况：当，时，
由勾股定理得：，
是斜边上的中线，
；
当，时，
是斜边上的中线，
；
即或，
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】【分析】在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长，即两格点，之间的距离，再和比较大小即可．
【解答】解：如图所示：
，，，
，
两格点，之间的距离，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程．
【解答】解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端离墙的距离即的长有尺，
在中，
，
，
故答案为：．
17.【答案】
【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是尺，则斜边为尺．利用勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设折断处离地面的高度为尺，则斜边为尺，
由勾股定理得：，
即，
解得：尺，
即折断处离地面的高度是尺，
故答案为：．
18.【答案】

【解析】【分析】作于点，由，，，得，，由，，得，因为垂线段最短，所以的最小值为，则的最小值为；再证明，则，，所以，则，可知当时，，于是得到问题的答案．
【解答】解：作于点，
，，，
，，
，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
，
的最小值为，
当时，，
的最小值为；
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
当时，，
故答案为：，．
19.【答案】解：如图所示，点即为所求．
如图所示，即为所求．
，，，
，
是直角三角形．

【解析】【分析】连接，分别作线段垂直平分线和的平分线，其交点即为所求；
分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可；
利用勾股定理逆定理求解即可．
20.【答案】解：，
，
，
，
，
；
证明：，，
，
，
，
，
．

【解析】【分析】由，根据等腰三角形的两底角相等得到，再根据三角形的内角和定理可计算出，而，则；
根据三角形外角性质得到，而由得到，再根据等腰三角形的判定可得，这样即可得到结论．
21.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
．

【解析】【分析】利用平行线的性质推知，由证得，即可得出结论．
22.【答案】解：连接，如图所示：
，
的面积，
，
，
，
，
，
的面积，
这块花坛的面积的面积的面积．

【解析】【分析】连接，由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求出，这块花坛的面积的面积的面积，即可得出结果．
23.【答案】解：，，
，
又垂直平分，
，
，
；
垂直平分，
，
，
又，周长为，
．

【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，求出的度数，计算即可；
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
24.【答案】解：如图，大正方形的面积，
整理得，；
在中，，，，
，
，
；
大正方形的面积是，小正方形的面积是，
，，
，
，
，
即的值为．

【解析】【分析】根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；
根据直角三角形的面积公式求解即可；
根据小正方形的为得出，再结合即可求解．
25.【答案】解：由翻折得，，
，
，
，
是直角三角形，
；
四边形是矩形，
，，
，，
，，
，，
，
，，，
，
，
将翻折至与重合，折痕是，
，
，
，
；
，，
，
，
，
，
．

【解析】【分析】由翻折得，，则，所以是直角三角形，则可得出结论；
由折叠的性质及直角三角形的得出答案；
求出的长，由勾股定理可得出答案．
26.【答案】解：，，，
；
点在边上运动，
；
故答案为：；；
由已知得只有当点在边或边上运动时，，
当点在边上运动时，
，
，
解得，
即；
当点在边上运动时，
，
，
解得：，
；
综上所述，当时，或；
当点在边或边上运动时，存在一点，使得与全等．
如图，当点在上时，，
，
，
．
如图，当点在上时，，
，
．
综上所述，或时，使得与全等；
当点在边或边或边上运动时，为等腰三角形，
，
，
如图，当点在上时，为等腰三角形，
，
，
；
如图，当点在上时，为等腰三角形，
，
，
；
如图，当点在上时，为等腰三角形，
，
在的垂直平分线上，
，
；
综上所述，为等腰三角形，此时的值为或或．

【解析】【分析】由，可得，然后由；直接由，求得答案；
由已知得只有当点在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案；
分三种情况，当点在边或边上运动时，分别画出图形，由全等三角形的性质求出的值即可；
分三种情况，当点在边或边或边上运动时，分别画出图形，由等腰三角形的性质求出的值即可．
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