2023-2024学年北京市房山区九年级上学期期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市房山区九年级上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知，那么下列比例式中成立的是
( )
A. B. C. D.
2.抛物线的顶点坐标是
( )
A. B. C. D.
3.我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种法应用了( )
A. 黄金分割数 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数
4.如图，在中，，，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
5.把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )
A. B.
C. D.
6.已知蓄电池两端电压为定值，电流与的函数关系为当时，，则当时，的值为
( )
A. B. C. D.
7.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为
( )
A. B. C. D.
8.已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论：
；；；
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.在函数中，自变量的取值范围是 ．
10.已知，则 ．
11.请写出一个图象的顶点为的二次函数的表达式： ．
12.若两个相似三角形的相似比是：，则它们的周长比是 ．
13.如图，点，分别在的，边上．只需添加一个条件即可证明∽，这个条件可以是 写出一个即可
14.如图，已知反比例函数的图象经过点，且．的面积为，则的值为
15.如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园，其中一边靠墙，其余的三边，，用总长为米的栅栏围成．设矩形的边米，面积为平方米．
活动区面积与之间的关系式为 ；
菜园最大面积是 平方米．
16.二次函数的图象经过，，三点．
下面四个结论：
抛物线开口向下；
当时，取最小值；
当时，一元二次方程必有两个不相等实根；
直线经过点，，当时，的取值范围是．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，，相交于点，．
求证：．
18.本小题分
若，求的值．
19.本小题分
已知二次函数．

求出二次函数图象的对称轴和与轴的交点坐标；
在平面直角坐标系中画出图象，请结合图象直接写出时，的取值范围．
20.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为的小正方形的格点上．
则__________，__________；
判断与是否相似．若相似，请说明理由．
21.本小题分
已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
求这个二次函数的表达式及的值．
22.本小题分
同学们在探究学习中发现：“三角形内角的角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例”下面是小明同学思考出的两种不同的证明方法，请选择其中一种完成证明．
已知：如图，中，是角平分线．求证：．
方法一证明：如图，过点作，与的延长线交于点． 方法二证明：如图，过点作于，过点作于．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点．
求这个反比例函数的表达式；
请结合图象直接写出时，的取值范围是____________．
24.本小题分
小宇在学习过程中遇到了一个函数．
下面是小宇对其探究的过程，请补充完整：
对于函数，当时，随的增大而减小，
对于函数，当时，随的增大
而结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，当时，随的增大而____________；
当时，对于函数与的几组对应值如下表：
在平面直角坐标系中，画出当时函数的图象．
过点作平行于轴的直线，结合的分析，解决问题：
若直线与函数的图象有两个交点，则___________．
25.本小题分
如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接交于点．
求证：；
若，求的长．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线，若，为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为．
当时，求的值；
若对于，都有，求的取值范围．
27.本小题分
如图，在中，，，过点的射线与斜边交于点，于点．
求证：；
连接，若满足，，求的值．
28.本小题分
定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“和谐点”．
如图，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“和谐点”的是____________；
点是反比例函数图象上的一个“和谐点”，则该函数图象上的另一个“和谐点”的坐标是__________，直线的表达式是_____________；
已知点，是抛物线上的“和谐点”，点在点的左侧，点是抛物线的顶点，连接，，，求点，的坐标，并直接写出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：、 ，
，故A不符合题意；
B、 ，
，故B符合题意；
C、 ，
，故C不符合题意；
D、 ，
，故D不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如 的顶点坐标为 是解题的关键．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】根据黄金分割比可进行求解．
【详解】解：为黄金分割比，所以优选法中有一种法应用了黄金分割数；
故选A．
【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，即： ，
解得： ，
，
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．
【详解】解：二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，准确计算是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出 的值，由此即可得．
【详解】解：由题意得： ，
当 时， ，
，
解得 ，
，
则当 时， ，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点 ， ， 到对称轴的距离大小求解．
【详解】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据 和 平分 ， 平分 推出 即可证明 ，可证明正确；根据 推出 ，根据 推出 ，从而推出 ，即可推出 ，可证明正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定 后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出 可证明正确，不正确；即可选出正确答案．
【详解】 ，

平分 ， 平分
，
，
；
故正确；
，
，
，
，
，
，
故正确；

，
，
，故正确；
故不正确；
正确的有．
故选：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 ．
10.【答案】
【解析】【分析】由已知可得、的关系，然后代入所求式子计算即可．
【详解】解： ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质和代数式求值，属于基本题型，掌握求解的方法是关键．
11.【答案】
【解析】【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式“ 为常数， ”，是解题的关键．
【详解】解： 二次函数的顶点式为： 为常数， ，
图象的顶点为 的二次函数的表达式可以为： ，
故答案为： 答案不唯一．
12.【答案】：
【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可求得．
【详解】解：两相似三角形的相似比为：，
它们的周长比是：，
故答案为：：．
【点睛】本题考查了相似三角形的周长比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．
13.【答案】或或
【解析】【分析】由已知得到是公共角，只需添加另一组角相等过夹角的两条边成比例即可．
【详解】，
当或时， ∽ ；
当 时， ∽ ；
故答案为：或或 ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】根据反比例函数的性质可以得到 的面积等于 的一半，由此可以得到它们的关系．
【详解】解：依据比例系数的几何意义可得 面积等于 ，
解得： ，
反比例函数 为常数， 的图象在第一和第三象限，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例系数的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于 是解题的关键．
15.【答案】

【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，
表示出 ，由矩形面积公式可得函数关系式；
把面积配成顶点式，由二次函数性质可得答案．
【详解】解：由题意得： ，
，
，解得 ，
活动区面积与 之间的关系式为 ；
解：由得：活动区面积与 之间的关系式为 ，
，
当 时，取最大值，
菜园 最大面积是平方米；
16.【答案】
【解析】【分析】将点 的坐标代入抛物线表达式，求出抛物线的表达式为 画出函数图象，进而求解．
【详解】将点 的坐标代入抛物线表达式得
，解得 ，
故抛物线的表达式为 函数图象如下：
，故抛物线开口向上，故错误，不符合题意；
抛物线开口向上，顶点为
当 时，取最小值 ，故正确，符合题意；
函数的最小值为 ，
故 时，直线 和 有一个或没有交点，
故一元二次方程 无解或有两个相等实根，故错误，不符合题意；
观察函数图象，直线 经过点 ，
当 时， 的取值范围是 故正确，符合题意；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是确定函数图象的交点，根据交点处图象之间的位置关系，确定不等式的解．
17.【答案】解： ，


∽

【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握运用两角对应相等的两个三角形相似的判定方法是解题的关键．
18.【答案】解：化为分式方程得： ，
化为整式方程得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
因式分解得： ，
解得： ， ，
经检验： ， 都是原方程的解．

【解析】【分析】本题考查比例的性质，分式方程的解法，一元二次方程方程的解法，先将比例式方程化为分式方程，再按分式方程的解法求解即可．
19.【答案】解： ，
二次函数图象的对称轴为： ，
当 时， ，
与 轴的交点坐标为 ；
二次函数 图象的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
当 时， ，
解得： ， ，
二次函数图象与 轴交点坐标为 或 ；
图象如下：

时，自变量 的取值范围： ．

【解析】【分析】利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可得出对称轴；令 ，可得代入抛物线解析式，解方程即可得出与 轴交点坐标；
根据图象与 轴的交点坐标，可确定 时， 的取值范围．
【点睛】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系，抛物线的顶点式： ，顶点坐标为 ，对称轴 ，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
20.【答案】解：如图，令 的正方形顶点分别为 ， ， ， ，
由题意得 为边长为的小正方形的对角线，
，
，
由图可知， 是 的斜边， ，
．
解：判断： ，
解法一：
证明： 为边长为的小正方形的对角线， 为边长为的小正方形的对角线，
， ，
由图可得 是 的斜边， ，
，
又 ， ，
，
，
．
解法二：
证明： 为边长为的小正方形的对角线， 为边长为的小正方形的对角线，
， ，
又 ， ，
，
，
， 都是正方形的对角线，
，
，
．

【解析】【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定．
根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到 的度数，再根据邻补角定义即可得到 的度数；利用勾股定理，即可求出 的值，构造 利用勾股定理，是解题关键；
方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的 倍，可求出对角线 ， 的值，然后通过构造 ，利用勾股定理可求出 的值，由此即可得到 和 三边的值，根据相似三角形的判定“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出 ， 的值，由可得到 的值，同理可求出 的值，已知 ， 的值，然后根据相似三角形判定“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题关键．
21.【答案】解：解法一：由题意，设二次函数的表达式为
二次函数经过点

解得
二次函数的表达式为 ．
当 时，
解法二：由题意，设二次函数的表达式为 ．
二次函数经过点 ，
．
．
二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，
解法三：由题意，设二次函数的表达式为
二次函数经过点 ，
．
．
二次函数的表达式为 ．
即 ．
当 时，

【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据选取的点设合适的二次函数解析式的形式．
22.【答案】解：方法一：证明：如图，过点作 与得延长线交于点．










方法二：证明：如图，过点作于，过点作于，过点作于．






【解析】方法一，过 作 交 的延长线于 ，利用平行线分线段成比例定理得到 ，可得结论；
方法二：过点作于，过点作于，过点作于，那么它们面积的比就等于底的比即可得出结论．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，掌握相似三角形的性质和角平分线的性质是解题的关键．
23.【答案】解： 一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，
当 时， ，
，
，
反比例函数的表达式为 ；
当 时， ， ，
一次函数与反比例函数的另一个交点为 ，
由图象可知，当 时， 的取值范围是 或 ，
故答案为： 或 ．

【解析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求反比例函数解析式，由函数图像求不等式解集．
把点 代入 求得 的值，求出 点坐标，然后根据待定系数法即可求出反比例函数解析式；
先求出一次函数与反比例函数的另一个交点，再根据函数图像即可求得．
24.【答案】解：对于函数 ，当 时， ，
则 随 的增大而减小，
对于函数 ，当 时， 随 的增大而减小，
故答案为：减小，减小；
如图所示：
由可得：对于函数 ，当 时， 随 的增大而减小，
而 中，值可以无限大，也可以无限小，
故直线在轴左侧必定与函数 有一个交点，
则只需在轴右侧与函数 有一个交点即可，
如图，当 时满足题意，
综上： ．

【解析】本题考查了函数的图象和性质，解题的关键是：
首先判断出当 时， 的变化，根据两部分的函数增减性一致即可分析；
利用表格中的数据，描点，连线即可；
根据中结论判断出直线在轴左侧必定与函数 有一个交点，再找到直线在轴右侧有一个交点时的值即可．
25.【答案】证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
．
解： 四边形 是平行四边形
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
．

【解析】由平行四边行的性质可得 ，再证 ，即可求证；
可证 ，可得 ，结合平行四边形的性质，即可求解．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握三角形相似的模型：“ ”字形和“ ”字形的判定方法是解题的关键．
26.【答案】 抛物线的对称轴为 ，且 ，
对称轴为： ，
即 ，
解得 ．
由题意可得，对于任意的 ， 随 的增大而减小，
当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，在对称轴的左侧满足题意，而在对称轴的右侧 都有 ，故不符合题意；
当 时，对于任意的 ， 随 的增大而减小，
从而 ，
解得： ．

【解析】由题意可得抛物线的对称轴为 ，再利用抛物线的对称轴公式 可得 的值；
对于任意的 ， 随 的增大而减小，分类讨论 和 时 的取值范围，当 时不能满足 ，都有 ，当 时可以满足对于 ，都有 的条件，使得对称轴 ，从而可求出 的取值范围．
【点睛】此题考查了抛物线的对称轴，解一元一次方程，抛物线的性质，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式，掌握抛物线的性质和对称轴公式是解题关键．
27.【答案】证明：
解：如图，过点作 ，交延长线与点，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ．

【解析】根据余角和互余的性质，即可证明结论；
过点作 ，交延长线与点，先证明 ，得到 ， ，再证明 ，得到 ，进而得出 ，最后利用勾股定理，即可求出 的值．．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的特征，垂线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
28.【答案】解：由图可得： ， 分别在矩形 的内部和边上，
是矩形 “和谐点”；
解：把 代入 得： ，
“和谐点”横坐标和纵坐标相等，
“和谐点”都在 上，
联立 ，解得： ，
点的坐标是 ，
的解析式是 ；
解：如图，
“和谐点”横坐标和纵坐标相等，
“和谐点”都在 上，
联立得： ，解得： ，
点 在点 的左侧，
，
，
， ， ，
，
是直角三角形，
．

【解析】通过观察图形和题中给的定义即可解答；
联立 ，可得点的坐标，根据待定系数法即可求出 的解析式；
根据“和谐点”横坐标和纵坐标相等，可得“和谐点”都在 上，和抛物线解析式联立可求，两点坐标，从而求出 ，即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．
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