2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区教育科学研究院附属实验学校九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市姑苏区教育科学研究院附属实验学校九年级（上）10月月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列函数的解析式中，一定为二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.抛物线的顶点坐标是
( )
A. B. C. D.
3.下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值：
那么方程的一个近似根是
( )
A. B. C. D.
4.已知函数为常数的图象经过点，，，则有
．( )
A. B. C. D.
5.在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为
( )
A. B.
C. D.
6.二次函数为常数的图象如图，有实数根的条件是
( )
A. B. C. D.
7.如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是
( )
A. 或 B. 或 C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.若函数是关于的二次函数，则的值为 ．
10.抛物线在轴上截得的线段长度是 ．
11.将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．
12.已知函数，当时，函数的最大值是，则实数的取值范围是 ．
13.已知抛物线的顶点在轴上，则 ．
14.如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，右面的一条抛物线的解析式为表示，而且左右两条抛物线关于轴对称，则左面钢缆的表达式为 ．
15.关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是 ．
16.已知抛物线过，两点．若，则下列四个结论中正确的是 请将所有正确结论的序号都填写到横线上：；；点，在抛物线上，若，，则；关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解方程：
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．

求顶点的坐标；
求的面积．
19.本小题分
已知直线分别交轴和轴于点和，抛物线经过点和，且抛物线的对称轴为直线．
抛物线与轴的另一个交点的坐标为 ；
试确定抛物线的解析式；
在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象请用铅笔或黑色水笔加黑加粗，观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量的取值范围 ．
20.本小题分
已知二次函数是常数
求证，不论为何值，该函数的图像与轴没有公共点；
把该函数的图像沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与轴只有一个公共点？
21.本小题分
某商场购进一批单价为元的日用品．若按每件元的价格销售，每月能卖出件；若按每件元的价格销售，每月能卖出件，假定每月销售件数件与价格元件之间满足一次函数关系．
试求与之间的函数关系式；
当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
22.本小题分
若两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
已知关于的二次函数和，其中的图像经过点，，若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值．
23.本小题分
一座拱桥的轮廓是抛物线型如图，拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为将抛物线放在所给的直角坐标系中如图，
求抛物线的解析式．求支柱的长度．
拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽的隔离带，其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计？请说明你的理由．
24.本小题分
已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，
求抛物线的解析式；
若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
若抛物线上有一点，使，求点坐标．
25.本小题分
如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点且为常数，，分别过点，作，的垂线，交点为设的长为，的长为．

若，，则的值是________．
若时，求的最大值．
在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，求此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解．熟练掌握其定义：“一般地，形如，其中、、为常数的函数是二次函数”是解题的关键．
【详解】解：、，则不是二次函数，故不符合题意；
B、是二次函数，故符合题意；
C、根据二次函数的定义：不是二次函数，故不符合题意；
D、当时，原函数为：，则不是二次函数，故不符合题意，
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线的顶点式解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于基础题型，熟知抛物线的顶点式是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】【详解】解：观察表格得：方程的一个近似根为，
故选：
【点睛】考点：图象法求一元二次方程的近似根．
4.【答案】
【解析】【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上，由于在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为，在轴的右边随的增大而增大，可判断．
【详解】解：函数为常数，
对称轴为，图象开口向上，
在对称轴的左侧，根据二次函数图象的对称性可知，对称点为，在轴的右边随的增大而增大，
因为，于是．
故选C．
【点睛】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象的性质．
5.【答案】
【解析】【分析】先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，正确；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，错误；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，错误；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，错误．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们加强训练即可掌握，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】根据题意，利用图象直接得出的取值范围即可．
【详解】解：一元二次方程有实数根，可以理解为和有交点，
由图可得，
故选：．
【点睛】本题主要考查了利用图象观察方程的解，正确利用数形结合是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】依题意，该二次函数与轴的交点的值为所求．即在抛物线解析式中．令，求的正数值．
【详解】
解：把代入得：
，
解之得：．
又，解得．
故选：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线与直线交于，两点，可得直线与抛物线交于点，两点，根据图像即可得到答案．
【详解】解：抛物线与直线交于，两点，
与抛物线交于点，两点，
图像如图所示，
由图像可知，
当时，，
的解集是，
故选D．
【点睛】本题考查利用函数图像解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到与抛物线交于点．
9.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的定义：形如为常数且，可得且，然后进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得：或且，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】要求二次函数在轴上截得线段的长度，先将二次函数与轴的两个交点横坐标分别求出，再计算截得线段长度即可．
【详解】解：当，
解得：
所以截得线段长度为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】先将原函数化为：，再根据二次函数图象平移的规律即可求解．
【详解】解：原函数化为：，
则将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后，得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】结合函数的图象和性质，及已知中当时函数的最大值是，可得实数的取值范围．
【详解】解：函数的图象是开口向下，且以为对称轴的抛物线，
当且仅当时，函数取最大值，
函数，当时，函数的最大值是，
，
故答案为．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】顶点在轴上，所以顶点的纵坐标是据此作答．
【详解】根据题意，该抛物线与轴只有一个交点，得，
解得．
【点睛】待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】由于两个函数图象都交于轴上的同一点，则的值相等；两条抛物线的形状及开口方向相同，则值相等；由于两条抛物线关于轴对称，则两个函数的值互为相反数，由此即可得到答案．
【详解】解：把中的一次项系数变成相反数得到，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于轴对称的两条抛物线的特征，熟练掌握关于轴对称的两条抛物线的二次项系数、常数项不变，一次项系数互为相反数，是解此题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】先计算，再利用因式分解法解方程得，，再根据题意得到，然后解不等式组即可．
【详解】解：根据题意，，
解方程得，，
该方程有一个大于的非正数根，，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式组，理解一元二次方程的解，正确得到关于的不等式组是解答的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线过，两点，可得抛物线的对称轴为直线，再由，可得，故错误；把点代入抛物线解析式可得，从而得到，故正确；再由，可得抛物线的对称轴位于直线和之间，分两种情况分析，进而得到，故正确；然后根据，，可得，再利用一元二次方程根的判别式，可得关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故正确．
【详解】解抛物线过，两点，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
，故错误；
抛物线过，
，
，
，故正确；
，
，
，
即抛物线的对称轴位于直线和之间，
若点，都在对称轴左侧，
开口向上，
在对称轴左侧，随着的增大而减小，
，
，
若点在对称轴左侧，在对称轴右侧，
，，
点距离对称轴更远，
抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，
，故正确；
，，
，
，
，
，
，
即，
关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故正确；
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】
或
；
，
，，，
，
，
，；

【解析】【分析】利用因式分解法解方程；
先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法及公式法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和解分式方程．
18.【答案】解：，
抛物线的顶点坐标为；
令，则，
，
令，则，
，
解得：，，
，，
；

【解析】【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据顶点式可得顶点坐标；
先求解，，的坐标，再求解三角形的面积即可．
【点睛】本题考查的是把抛物线化为顶点式，抛物线与纵坐标的交点坐标，坐标与图形面积，掌握以上基础知识是解本题的关键．
19.【答案】解：直线分别交轴和轴于点和，
点，点，
抛物线的对称轴为直线抛物线与轴的另一个交点为，
点，
故答案为；
抛物线经过点，，点，
，解得：
二次函数的解析式为：；
如图所示：
当时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：．

【解析】【分析】先求出点，点坐标，由对称性可求点坐标；
利用待定系数法可求解析式；
由图象可求解．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求解析式，求出抛物线的解析式是本题的关键．
20.【答案】解：当时，
，
方程没有实数解．
不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点．
，
把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，
得到函数的图象，它的顶点坐标是．
这个函数的图象与轴只有一个公共点．
把函数的图象延轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点．

【解析】【分析】当时，得出一元二次方程，求出根的判别式，即可得出答案．
先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．
【点睛】本题考查了二次函数和轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．
21.【答案】由题意，可设，把代入得：
所以与之间的关系式为：；
设利润为，则
因为，所以当时，最大为元．
答：当销售价格定为元时，每月的利润最大，每月的最大利润为元．

【解析】【分析】设出解析式，把代入求出系数即可；
根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．
【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数解析式和二次函数的应用，正确运用待定系数法、掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】两个二次函数图像的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
与是“同簇二次函数”．
把点代入，得
，
解得，
，，
的开口向上，抛物线的顶点坐标为
，
，
与为“同簇二次函数”，
的开口向上，抛物线的顶点坐标为
，
解得
函数的表达式为或，
抛物线的对称轴为直线，
，且，
根据抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大性质，得到
当时，取得最大值，且为．

【解析】【分析】根据新定义条件写出即可．
把点代入的解析式，确定，得到，，计算，利用新定义，确定的解析式，根据开口方向，界点与对称轴的距离，判定最值界点，代入计算即可．
【点睛】本题考查了抛物线的新定义计算，抛物线的对称性，增减性，熟练掌握定义，灵活应用性质是解题的关键．
23.【答案】解：根据题目条件，，的坐标分别是，，，
设抛物线的解析式为，
将，的坐标代入，得
解得
所以抛物线的表达式．
当时，
从而支柱的长度是米．
如图，
设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．
过点作垂直交抛物线于，
则．
根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．

【解析】【分析】根据题目可知，，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．再把代入抛物线的解析式求解可求出支柱的长度．
设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和．做垂直交抛物线于则可求解．
【点睛】本题考查的是待定系数法求抛物线的解析式、点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解本题的关键．
24.【答案】，，
．
把点，的坐标代入得
解得：
抛物线的解析式；
令，则，解得：，
，
设直线的解析式为，
由，在直线上得：
，解得：
得直线的解析式为，
如图，过点作轴分别交线段和轴于点，．
设，则，
，
，
当时，有最大值，
，
此时四边形面积有最大值为；
如图，过作交于点，作轴于点，
，
，
，，
≌，
，，
，
设直线的解析式为
，
，
直线的解析式为，
联立
解得舍去，或，

【解析】【分析】根据，，求出点坐标，把点，的坐标代入，求出与的值，即可求出函数解析式；
先求出直线的函数关系式，如图，过点作轴分别交线段和轴于点，设则，然后表示出的长，然后根据，转化为二次函数求最值；
过作交于点，作轴于点，证明≌，可得，用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立解交点即可得出的坐标；．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，三角形的面积公式等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
25.【答案】解：在矩形中，，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，设的长为，的长为，
，，
，
，
，，
，
解得：．
故答案为：；
由知：，
当时，，
，
当时，有最大值，的最大值是．
的最大值是；
在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，
的最大值是，
由知：，
当时，即，有最大值，
当时，的最大值是，
，
．
此时的值为．

【解析】【分析】先证明，由相似三角形的性质得到，再与的值代入得到关于的方程，求解即可；
由知：，当时，可得到，再利用二次函数的最值求解即可；
根据题意可得的最大值是，再由知：，根据二次函数的最值可得，当时，的最大值是，从而得到关于的方程，求解即可．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，二次函数的最值．根据相似三角形的性质建立与的函数关系式是解题的关键．
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