2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校九年级（上）9月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区唯亭学校九年级（上）9月月考数学试卷
一、选择题（本大题共9小题，共27分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的两个根分别是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.中，，且，则．( )
A. B. C. D.
4.若关于的方程有一个根为，则另一个根为( )
A. B. C. D.
5.对于任意实数，关于的方程的根的情况为
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
6.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
( )
A. B. 且 C. 且 D. 且
7.如果一元二次方程的两个根是互为相反数，那么有( )
A. B. C. D. 以上结论都不对
8.如图，点、、均在的正方形网格的格点上，则( )
A. B. C. D.
9.设，，且，则代数式的值为
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
10.将方程化成一元二次方程的一般形式，得 ．
11.在中，，，则的值为 ．
12.关于的方程无实数解，则的取值范围 ．
13.已知一元二次方程两根为、，则的值是
14.已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 ．
15.在中，，则 ．
16.已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角的三个顶点分别在这三条平行直线上，则的值是 ．
17.已知，是方程的两个实数根，则的值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.本小题分
解下列方程：
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
由下列条件解直角三角形：在中，；
已知，
，．
21.本小题分
已知关于的方程有两个实数根
求的取值范围；
若方程的两实数根分别为，，且，求的值．
22.本小题分
如图，在中，，，，求的长．
23.本小题分
随着新能源汽车配套设施的不断普及，新能源汽车的销售量逐年增加，某小区物业统计年春节小区内停放新能源汽车数量正好是年春节小区内停放新能源汽车数量的倍．
求这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率；
若年春节小区内停放新能源汽车数量为辆，且增长率保持不变，请估计到年春节该小区停放新能源汽车的数量．
24.本小题分
在中，已知，为锐角，且，恰为一元二次方程的两个实数根．求的值并判断的形状．
25.本小题分
某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本元，散文类图书每本元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过本时，均按每本元价格销售；超过本时，每增加本，单价降低元．
如果购买古典诗词类图书本，则每本古典诗词类图书的单价是______元；
如果该校共购进图书本，用去购书款元．求该校购进古典诗词类图书多少本？
26.本小题分
综合与探究：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程是“邻根方程”例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
； ．
已知关于的一元二次方程是常数是“邻根方程”，求的值．
27.本小题分
四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接垂直于，垂足为，在处与篮板连接所在直线垂直于，是可以调节长度的伸缩臂旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度已知，测得时，点离地面的高度为调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高或降低了多少？参考数据：
28.本小题分
如图，在矩形中，，，，，分别从，，，出发，沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，，
当为何值时，点，重合；
当为何值是，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：、该方程中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含两个有未知数．不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项不符合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】利用直接开平方法解方程即可．
【详解】，
两边直接开平方得：，
则，，
解得：，．
故选．
【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
3.【答案】
【解析】【分析】直接利用锐角三角函数的定义求解．
【详解】在中，，且，
，
故选：．
【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义及运用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出的值和另一根．
【详解】设一元二次方程的另一根为，
关于的方程有一个根为，
，
解得：．
故选A．
5.【答案】
【解析】【详解】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号即可：
，，，
．
此方程有两个不相等的实数根．故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
7.【答案】
【解析】【详解】试题解析：设该一元二次方程的两个根分别是，则根据题意知
即
解得，
故选B．
点睛：一元二次方程的两根分别是
则
8.【答案】
【解析】【分析】取格点，连接，可得，根据格点和勾股定理先求出、，最后求出的正切．
【详解】解：如图，取格点，连接，
由格点图可以得出，，
由格点三角形可得：，，
，
故选：
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】根据已知得出，是一元二次方程的两根，则，，把代数式变形后整体代入即可．
【详解】解：，，且，
，，且，
，可以看作是一元二次方程的两根，
，，
．
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系，代数式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：是常数且据此，对原方程通过去括号、移项即可将原方程转化为一般式方程．
【详解】解：移项得，，
去括号得，，
合并同类项得，，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，理解一元二次方程的一般形式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：在中，，，
设，则，
，

故答案为：．
【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．
12.【答案】
【解析】【分析】根据没有实数解可得，解之即可．
【详解】无实数解，
，
解得
故答案为．
【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程及平方根的概念，解题关键是知道负数没有平方根．
13.【答案】
【解析】【分析】由根与系数的关系可得，，然后将所求式子通分整理后代入进行计算即可得．
【详解】一元二次方程两根为、，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】根据非负数的性质，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：
，
故答案为：
【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出特殊角三角函数值是解题关键．
16.【答案】
【解析】【分析】过点作于，过点作于，设，，间的距离为，根据同角的余角相等求出，然后证明，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设，，间的距离为，

，，
，
在等腰直角中，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【分析】由一元二次方程根的概念及根与系数的关系可得与，然后代入所求的代数式中即可．
【详解】是方程的两个实数根，
，，
，
，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，整体代入思想，关键由是方程的解得到，再整体代入求值．
18.【答案】
解得：；
解得：

【解析】【分析】利用直接开方法求出的值即可；
利用配方法求解即可．
【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知利用配方法与直接开方法解一元二次方程是解答此题的关键．
19.【答案】原式，
；
原式，
，
，
．

【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案；
直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值运算，正确熟记相关数据是解题的关键．
20.【答案】，
，
，
，
，
，
，
，

【解析】【分析】先利用互余计算的度数，再利用的正弦得到，接着利用可计算出，从而得到，然后根据勾股定理计算的值；
先利用互余计算，的度数，再利用的正弦求，从而可得到的值；
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
21.【答案】关于的方程有两个实数根，
，解得；
方程的两实数根分别为，，
，，
，
，
，解得：，，
又，
．

【解析】【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
由根与系数的关系可用表示出和，利用已知条件可得到关于的方程，可求得的值．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别及根与系数的关系，掌握相关知识是解本题的关键．
22.【答案】过作于点，
设，则，
，
，
，
由勾股定理得，
，，
，
．
．

【解析】【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得到特殊三角形．过点作的垂线，根据勾股定理得到，然后利用，列方程求的长．
23.【答案】解：设这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为，
则，
解得：，舍去，
答：这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为；
答：辆，
答：估计到年春节该小区停放新能源汽车的数量约为辆．

【解析】【分析】设这两年小区内停放新能源汽车数量的平均增长率为，根据“年春节小区内停放新能源汽车数量正好是年春节小区内停放新能源汽车数量的倍”即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得解；
利用的结论得到，计算即可得解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】解：，
．
把代入方程，得，解得．
把代入方程得，解得，．
，即．
，
即是直角三角形．

【解析】【分析】先求出一元二次方程的解，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，判断三角形的形状．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程和判断三角形，解题关键是熟记特殊三角函数值．
25.【答案】解：由题意知，购买古典诗词类图书本，则每本古典诗词类图书的单价是：元，
故答案为：；
解：该校购进古典诗词类图书本，则购买散文类图书本．
若，则，
化简得，
解得或舍去；
若，则，
解得舍去；
综上可知，该校购进古典诗词类图书本．

【解析】【分析】根据“超过本时，每增加本，单价降低元”即可求解；
该校购进古典诗词类图书本，则购买散文类图书本，分和两种情况分别列方程，即可求解．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键，注意第二问需分情况讨论．
26.【答案】解：解方程得：，
，，
，
不是“邻根方程”；
，
，，
，
是“邻根方程”；
解：
，
，，
方程是常数是“邻根方程”，
或，
或．

【解析】【分析】根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为，可以确定方程是否是“邻根方程”；
先解方程，求出根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
27.【答案】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，
，

，，
四边形是平行四边形，
，
当时，则，
此时，，
，
当时，则，
，
而，，
点离地面的高度升高了，升高了．

【解析】【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
28.【答案】当、重合时有：，
即：，解得：舍去，
所以当时，，重合．
因为当点到达点时，，此时点和点还未相遇，
所以点只能在点的左侧．
当点在点的左边时有方程：
，
解得：或舍去．
当点在点的右边时有方程：
，
，解得：或舍去．
当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】当、重合时有：，解方程可得．
，时是平行四边形，其中不确定，的位置关系，所以需要分类讨论．
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