2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区青剑湖实验中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区青剑湖实验中学九年级（上）10月月考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列方程是关于 的一元二次方程的是
( )
A. B.
C. D.
2.把一元二次方程化成的形式，下列正确的是
( )
A. B. C. D.
3.某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据随意，所列方程正确的是
( )
A. B.
C. D.
4.若点，，在抛物线上，则下列结论正确的是
( )
A. B. C. D.
5.如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为( )
A. B. C. D.
6.二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
8.已知抛物线的对称轴在轴左侧，现将该抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是
( )
A. 或 B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
9.抛物线的顶点坐标是 ．
10.若函数是二次函数，则的值为 ．
11.已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
12.已知二次函数，当时，函数的范围为 ___．
13.图中是抛物线形拱桥，处有一照明灯，水面宽以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，若点的坐标为因降暴雨水位上升，此时水面宽为 结果保留根号
14.如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
15.已知函数，当时，有最大值，最小值，则的取值范围是 ．
16.我们约定：为函数的关联数，当其图像与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图像与轴有两个整交点为正整数，则为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
解方程：
；
．
18.本小题分
若是关于的一元二次方程的一个根
求的值；
求出此方程的另一个根．
19.本小题分
已知二次函数．
完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；
根据图象，完成下列填空：
当时，随的增大而______；填“增大”或“减小”
当时，的取值范围是______．
20.本小题分
定义新运算“”如下：．
______；
若，求值．
21.本小题分
关于的一元二次方程的两个根．
求证：该方程始终有两个实数根；
等腰三角形一边长为，另外两边是该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
22.本小题分
已知抛物线．
该抛物线的对称轴为______；
若该抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式．
23.本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于点，在的左侧，与一次函数的图象交于，两点．

求点的坐标；
求的面积．
24.本小题分
“转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：
解无理方程
解：方程两边同时平方，得：，
解这个一元一次方程，得：，
检验：当时，左边右边，
所以，是原方程的解．
通过上面的学习，请解决以下三个问题：
方程的解为______；
解无理方程．
如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点的坐标．
25.本小题分
商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：
降价后每件商品可盈利______元，商场日销售量增加______件．用含的代数式表示；
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元，商场日盈利可达到元；
当降价多少元时，商场的日盈利最多，最多为多少元．
26.本小题分
已知抛物线与直线都经过点，抛物线与轴交点为，过点作轴平行线，与抛物线的另一个交点为，直线与抛物线对称轴交与点，将点向上平移一个单位得到点，点不在直线上方．
______；______；______；均用含的代数式表示
若抛物线的顶点为，求的最小值及此时的值；
连接、、，直接写出是______三角形．
27.本小题分
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标和为的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点是函数的图象的“等值点”．
分别判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
设函数，的图象的“等值点”分别为点，过点作轴，垂足为当的面积为时，求的值；
若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，请直接写出的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】只含有一个未知数元，并且未知数的指数是次的方程叫做一元二次方程它的一般形式是是常数且．
【详解】项，是二元一次方程，故A项错误项，是二元二次方程，故B项错误项，是一元二次方程，符合题意，项正确项，是一元一次方程，错误故答案选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的最高指数是，且二次项系数不是，这是这类题目的考查的重点．
2.【答案】
【解析】【分析】首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
【详解】解：
移项得：，
配方得：，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方法，解题关键是掌握完全平方式以及配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3.【答案】
【解析】【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格原价降低的百分率，第二次降价后的价格第一次降价后的价格降低的百分率，把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程，
故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
4.【答案】
【解析】【分析】把点、、的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．
【详解】解：将代入得，，
将代入得，，
将代入得，，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论．
【详解】解：当时，；当时，．
一元二次方程的一个近似解的范围为．
故选：．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，，的符号．
【详解】抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
当时，，
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，注意数形结合思想的运用．
7.【答案】
【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根可知道判别式大于等于零且，解不等式即可求解．
【详解】解：方程有实数根，
，，
，且．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根．
8.【答案】
【解析】【分析】由题意知对称轴为直线，则，解得，由，可得平移后的解析式为：，将代入得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：，
对称轴为直线，
由题意得，，解得，
，
平移后的解析式为：，
将代入得，，
解得，，舍去，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数图象的平移等知识．解题的关键在于熟练掌握：二次函数图象平移，左加右减，上加下减．
9.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的解析式利用二次函数的性质，即可找出抛物线的对称轴及顶点坐标，此题得解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式找出抛物线的对称轴及顶点坐标是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数的定义，即可解答．
【详解】解：函数是二次函数，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数．
11.【答案】
【解析】【分析】先将点代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
【详解】解：将代入函数解析式得，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点代入函数解析式得到有关的代数式的值．
12.【答案】
【解析】【分析】由解析式得到对称轴为直线，即当时，随的增大而增大，分别求出当和时的值，即可得解．
【详解】解：由可得抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
时，；时，，
当时，函数的范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质．
13.【答案】
【解析】【分析】先用待定系数法求出该抛物线的函数表达式，再求出当时自变量的值，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
该抛物线经过点，
设该抛物线的函数表达式为，
将代入得：
，解得
该抛物线的表达式为，
把代入得：，
解得：，
此时水面宽，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
14.【答案】
【解析】【分析】根据、两点的横坐标可得时，，即可得出的解集．
【详解】抛物线与直线交于，，抛物线开口向上，
时，，
的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的上下关系找出不等式的解集是解题关键．
15.【答案】
【解析】【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，有最小值，再把代入，求出的值，即可求出的取值范围．
【详解】解：，，
当时，有最小值，
把代入得：，
解得：，
当时，有最大值，最小值，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法．
16.【答案】或
【解析】【分析】由题意知，，令，则，解得，，，根据为正整数，可知当时，当时，符合题意，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
令，则，
解得，，，
当时，，符合题意；
当时，，符合题意，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了求抛物线与轴的交点坐标．解题的关键在于理解题意并正确的解方程．

17.【答案】解：，
，
解答：；
解：，
，
或，
解得：．

【解析】【分析】先移项，再用直接开平方法求解即可；
用因式分解法求解即可．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．
18.【答案】解：将代入得：，
解得：；
解：由可知，，
该方程为，
，
解得：，
该方程另一个根为．

【解析】【分析】将代入即可求解；
把中求出的的值代入，再求解方程即可．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元二次方程，解题的关键是掌握方程的解的定义，以及解一元二次方程的方法和步骤．
19.【答案】解：把代入得：，
把代入得：，
故答案为：，，
该函数的图象如图所示：

解：由图可知：
当时，随的增大而增大，
故答案为：增大；
当时，的取值范围是或，
故答案为：或．

【解析】【分析】把和代入求出的值，再在平面直角坐标系中描出各点，最后用平滑的曲线连接即可；
根据图象即可解答．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的函数值，画二次函数的图象，以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用．
20.【答案】解：根据题意可得：，
故答案为：；
解：根据题意可得：
，
，
，
，
或，
解得：．

【解析】【分析】根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可；
先根据题目所给新定义将方程化简，再进行计算即可．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算顺序和运算法则，以及解一元二次方程的方法和步骤．
21.【答案】证明：根据题意可得：
，
，
，
，
该方程始终有两个实数根；
解：，
，
解得：，
当等腰三角形腰长为时，，符合题意，
，解得：，
当等腰三角形腰长为时，，不符合题意；
该等腰三角形周长为：．

【解析】【分析】求出该方程根的判别式，即可求证；
先用因式分解法求出该方程的解，再根据等腰三角形的定义和三角形三边之间的关系，即可解答．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及解一元二次方程的方法和步骤．
22.【答案】解：根据题意可得：
该抛物线的对称轴为直线，
故答案为：直线．
解：该抛物线的顶点在轴上，
当时，，
即顶点坐标为，
把代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为．

【解析】【分析】根据抛物线的对称轴为直线，即可解答；
根据题意推出抛物线顶点坐标为，将代入求出的值，即可得出抛物线的解析式．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的对称轴，以及求二次函数的解析式，解题的关键是掌握抛物线的对称轴为直线，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤
23.【答案】解：把代入得：，
解得：，
在的左侧，
，；
解：，，
，
把代入得：，
解得：，
一次函数表达式为，
联立一次函数和二次函数表达式得：
，解得：或
，
．

【解析】【分析】把代入，求出自变量的值，即可得出点的坐标；
根据点和点的坐标，求出，再用待定系数法求出一次函数的表达式，进而求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式，即可求解．
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式等，理解题意，熟练掌握二次函数及一次函数的基本性质是解题关键．
24.【答案】解：，
方程两边同时平方，得：，
解这个一元一次方程，得：，
检验：当时，左边右边，
所以，是原方程的解，
故答案为：；
解：，
方程两边同时平方，得：，
解这个一元二次方程，得：，
检验：当时，左边右边，
是原方程的解，
当时，左边右边，
不是原方程的解；
解：，
轴，
，
点的纵坐标为，
设，
，，
，
，
整理得：，
方程两边同时平方，得：，
解得：，
检验：当时，左边右边，
是原方程的解，
．

【解析】【分析】根据题目所给想运算方法进行计算即可；
根据题目所给想运算方法进行计算即可；
根据题意得出轴，则点的纵坐标为，设，得出，，根据，列出方程求出的值，即可得出点的坐标．
【点睛】本题主要考查了的解无理方程，解题的关键是掌握正确理解题意，掌握将无理方程化为整式方程求解的方法和步骤．
25.【答案】解：设每件降价元，
则商场日销售量增加多件，每件商品盈利元，
故答案为：；．
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
每件商品降价元或元时，商场日盈利可达到元．
解：由得：，
当时，最大，且，
当降价元时，商场的日盈利最多，最多为元．

【解析】【分析】根据降价元，可多售出件，设降价元，可多售出件，再根据盈利的钱数原来的盈利降低的钱数即可得到答案；
根据等量关系：每件商品的盈利可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可；
根据得到的关系式判断出二次函数的对称轴，此时二次函数取到最值．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用及二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程中的利润问题的等量关系和二次函数的最大、最小值问题是解此题的关键．
26.【答案】解：将代入得：，
解得：，
将、代入得：
，解得：
故答案为：；
解：，
抛物线的表达式为，
，
，
一次函数表达式为，
把代入得：，
，
点向上平移一个单位得到点，
，
点不在直线上方，轴，
，解得：
，，
轴，则，
点到的距离为，
，
，，
轴，则，
点到的距离为，
，
，
，
当时，有最小值；
解：抛物线的表达式为，
抛物线对称轴为直线，
设
，
，
解得：，
，
、，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
是直角三角形，
综上：是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．

【解析】【分析】将代入即可求出的值，将、代入，即可求出和的值；
根据可得抛物线的表达式为，一次函数表达式为，求出，则，即可求出和，再根据三角形的面积公式求出和，即可得出的表达式，将其化为顶点式，即可解答；
根据两点之间的距离公式求出，，，即可得出结论．
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数综合，等腰三角形的定义，勾股定理逆定理，解题的关键是掌握用待定系数大求解函数表达式的方法和步骤．
27.【答案】解：在中，令，
解得：，
当时，，
函数的图象上存在“等值点”，坐标为，
在中，令，此方程无解，
函数的图象上不存在“等值点”；
解：在函数中，令，
解得：或不符合题意，舍去，
当时，，
，
在函数中，令，
解得：，
当时，，
，
，
，
，
的面积为，
，
当时，，
，
整理得：，
解得：或不符合题意，舍去，
；
当时，，
，
整理得：，
，
方程没有实数根；
当时，，
，
整理得：，
解得：或不符合题意，舍去，
综上所述：的值为或；
解：在中，令，
解得：，，
当时，，
当时，，
函数的图象上有两个“等值点”，为或，
函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，
的解析式为：，
当时，函数的图象上有两个“等值点”，为或，
，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
函数的图象上没有“等值点”，
令，
整理得：，
函数的图象上没有“等值点”，
，
解得：；
当时，函数的图象上有两个“等值点”，为或，
的解析式为：，
令，
整理得：，
解得：不符合题意，舍去，，
当时，，
函数的图象上有一个“等值点”，为，
当时，，两部分组成的图象上有三个“等值点”，不符合题意；
当时，函数的图象上有个“等值点”，
根据对称性，与直线必有一个交点，
，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上有个“等值点”；
当时，函数的图象上有一个“等值点”，为，
的解析式为：，
令，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
当时，，
函数的图象上有一个“等值点”，为，
当时，，两部分组成的图象上只有一个“等值点”，不符合题意；
当时，函数的图象上没有“等值点”，
由折叠的性质可得：函数的图象上也没有“等值点”，
，两部分组成的图象上没有“等值点”，不符合题意；
综上所述，的取值范围为或．

【解析】【分析】根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
先根据“等值点”的定义求出点、的坐标，再根据的面积为可得，求解即可得到答案；
先求出函数的图象上有两个“等值点”，为或，再利用翻折的性质分类讨论即可得到答案．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，折叠的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
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