江苏省响水县中2023~2024 学年度秋学期高二年级期中考试
数 学 试 题
考生注意：
1、试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共 4 页。
2、满分 150 分，考试试卷 120 分钟。
第Ⅰ卷 选择题（60 分）
一、单项选择题:(本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.)
1．椭圆 4x2 3y2 12的焦点坐标为（ ）
A． 1,0 B． 0, 1 C． 7,0 D． 0, 7
2．已知直线 l1 : ax 3y 5 2a， l2 : 2x (5 a)y 8．若 l1 l2，则 a的值为（ ）
A． 3 B． 6 C．1 D．1或 6
3．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次
第每人分十七，要作第八数来言”．题意是把 996斤绵分给 8个儿子做盘缠．按照年龄从大到
小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分 17斤绵．则年龄最小的儿子分到的绵是（ ）
A．65斤 B．82斤 C．184斤 D．201斤
4．已知双曲线C的焦点在 y轴上，渐近线方程为 y 2x，则C的离心率为（ ）
5
A． B．2 C． 32 D． 5
5．已知函数 f x 的导函数为 f x ，且 f x 2xf cos x，则 f （ ）
6 6
A 3 3 ． 1 B． 1 C． D．
2 2 2 6 2 6
6．过点 2,0 引直线 l与圆 x2 y2 2相交于 A，B两点，O为坐标原点，当DAOB面积取最大
值时，直线 l的斜率为（ ）
A．±1 B． 3
3 2
C． D．
3 2
高二数学试题 第1页,共4页
{#{QQABLQYAggggAgAAARgCAQGYCkIQkBCACIoORFAMIAIAQQNABAA=}#}
7．若正项数列{an}中， a a a 1 1 a (a )， n N ，则 a2023的值是（ ）1 2 3 n 2 n an
A． 2023 2022 B． 2024 2023 C． 2023 2022 D． 2024 2023
8 x y y y．已知实数 ， 满足 x x 1，则 3x y 6 的取值范围是（ ）
3
A． 6 6,3 B． 3 6 ,3 C． 6 6,6 D． 6,6 6
2
二、多项选择题:(本题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多
项符合要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 2分,有选错的得 0分.)
9．已知曲线C：mx2 ny2 1，则下列结论正确的是（ ）
A．若m n 0，则C是圆，其半径为 n
B．若m 0， n 0，则C是两条直线
C．若m n，则C是椭圆
D．若m n 0，则C是椭圆，其焦点在 y轴上
10．设数列 an 的前 n项和为 Sn，关于数列 an ，下列命题中正确的是（ ）
A．若 an 1 an，则 an 既是等差数列又是等比数列
B S An2 *．若 n Bn n N （A，B为常数），则 an 是等差数列
C S 1 1 n．若 n ，则 an 是等比数列
D．若 an 是等比数列，则 Sn ,S2n Sn ,S3n S2n n N* 也成等比数列
11．已知抛物线C : y 2 4x 的焦点为 F ， P x0，y0 为C上一动点，点 A 2，1 ，则 （ ）
A．当 x 2时， PF 3 B．当 y 10 0 时，C在点 P处的切线方程为 2x 2y 1 0
C． PA PF 的最小值为3 D． PA PF 的最大值为 2
12．为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列
的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为 0）．已知数列 an
是一个“等积数列”， a1 1， a99a100a101 2，其前 n项和为 Sn，则下列说法正确的是（ ）
A． a2023 1 B． S2023 3033
n
C 3 1 D 3 1
n 1
． a ．n Sn n 2 2 4
高二数学试题 第2页,共4页
{#{QQABLQYAggggAgAAARgCAQGYCkIQkBCACIoORFAMIAIAQQNABAA=}#}
第Ⅱ卷 非选择题（90 分）
三、填空题:(本题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.)
1
13．曲线 y lnx在 x 1处的切线方程为 ．
x
2 2
14．已知 F1,F2分别是椭圆 C
x y
： 1的左、右两个焦点，若椭圆 C上存在四个不同的点 P，使得△PF F
9 m 1 2
的面积为 2 2，则正实数 m的取值范围为 ．
15．如图，将数列 an 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列 a1、 a2、
a5、L构成一个公比为 2的等比数列，从第 2行起，每一行都是一个公差为d 的等差数列，若 a3 6，a69 272，
则 d .
16．已知圆 O： x2 y2 9，圆 N： x 5 2 y2 16交于 A，B两点，A在第二象限，则 AB ；若
过点 A的弦交两圆于 C，D，且 AC AD ，则直线 CD的斜率是 ．
四、解答题:(本题共 6小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．在平面直角坐标系 xOy中，设直线 l : k 1 x 2k 1 y 7k 4 0（ k R）．
(1)求证：直线 l经过第一象限；
(2)当原点 O到直线 l的距离最大时，求直线 l的方程．
18．已知数列 an 满足： a1 1， nan 1 4 n 1 an，设 abn n ．n
(1)求证： bn 是等比数列；
(2)求数列 an 的通项公式；
(3)求数列 an 的前 n项和 Sn．
高二数学试题 第3页,共4页
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19．在平面直角坐标系 xOy中，点 A 3,0 ，直线 l : y 2x 4，设 C的半径为 1，圆心 C在直线 l上．
(1)若圆心 C也在直线 y x 1上，过点 A作 C的切线，求切线的方程；
(2)若 C上存在点 M，使得 MA 2 MO ，求圆心 C的横坐标 a的取值范围．
2 2
20．已知椭圆M x y： 1 a b 0 ，点 F1 1,0 2 2 、C 2,0 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点 Fa b 1
的直线 l（不与 x轴重合）交椭圆M 于 A，B两点．
(1)求椭圆 M的标准方程；
(2)若 A 0, 3 ，求DAOB的面积；
(3)是否存在直线 l，使得点 B在以线段 AC为直径的圆上，若存在，求出直
线 l的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知数列 an 的前 n项和为 Sn，满足 2S *n 4an 4 n N ．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)记b a n ，Tn
2k
是数列 bn 的前 n项和，若对任意的 n N*，不等式n Tn 1 都成立，求 an 1 an 1 1 n 1
实数 k的取值范围．
22．已知抛物线 C： y 4x2上有一动点P x ,y ， x 00 0 0 ，过点 P作抛物线 C的切线 l交 y轴于点 Q．
(1)判断线段 PQ的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；
(2)过点 P作 l的垂线交抛物线 C于另一点 M，若切线 l的斜率为 k，设 PQM 的面积为 S S，求 的最小值．
k
高二数学试题 第4页,共4页
{#{QQABLQYAggggAgAAARgCAQGYCkIQkBCACIoORFAMIAIAQQNABAA=}#}响水县中 2023~2024 学年度秋学期高二年级期中考试
数学参考答案
1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．C 8．D
9．BD 10．BC 11．ACD 12．ACD
13． 2x y 3 0 14．1 m 8
15．4 16． 24 ； 7
5 24
17．【详解】（1）方程 k 1 x 2k 1 y 7k 4 0可化为 k x 2y 7 x y 4 0，
x 2 y 7 0, x 1,由 解得
x y 4 0,
y 3.
所以直线 l过定点M 1,3 ，因为M 1,3 在第一象限，所以直线 l经过第一象限．
（2）由题意可得，当 l OM 时，原点 O到直线 l的距离最大，
k 3 1因为 OM ，所以直线 l的方程为 y 3 x 1 ，3
即 x 3y 10 0．
18．【详解】（1）由 a 1， na 4(n 1)a ，可得 an 1 4a1 n 1 n n ，n 1 n
因为 b an n ，即bn n 1
4bn ，b1 1，
所以数列 bn 是首项为1，公比为 4的等比数列.
（2）由（1）可得：b 4n 1，即 ann 4n 1，所以 an n 4
n 1 .
n
（3）由（2）可知： a n 4n 1n ，
则 S 1 40 2 41 3 42 L n 4n 1n ，
可得 4S 1 41n 2 4
2 3 43 L n 4n，
n
上面两式相减可得： 3S 0n 4 4
1 42 4n 1 n 4n 1 4 n 4n，
1 4
所以 S (3n 1)4
n 1
n ．9 9
答案第 1页，共 4页
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19．【详解】（1）由题设，知圆心 C是直线 y 2x 4和 y x 1的交点，
y 2x 4 x 3
联立方程 ，解得 ，即两直线的交点坐标为 (3, 2)
y x 1
，
y 2
所以点 C的坐标为 (3, 2)，圆 C的方程为 (x 3)2 (y 2)2 1，
当过点 A(3,0)的切线的斜率不存在时，切线方程为 x 3，不满足条件；
当过点 A(3,0)的切线的斜率存在时，设切线方程为 y k(x 3)，即 kx y 3k 0，
2
由题意得 12 ，解得 k 3，k 1
所以切线方程为 3x y 3 3 0或 3x y 3 3 0；
综上所述：所求切线方程为 3x y 3 3 0或 3x y 3 3 0.
（2）因为圆心 C在直线 y 2x 4上，所以设点 C的坐标为 (a, 2a 4)，
圆 C的方程为 (x a)2 [y 2(a 2)]2 1，
设点M (x, y)，因为 |MA | 2 |MO |，
2
所以 x 3 y 2 2 x 2 y 2 ，化简得 x2 y2 2x 3 0 x 1 2，即 y 2 4，
所以点 M在以点D( 1,0)为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点M (x, y)在圆 C上，所以圆 C与圆 D有公共点，
则 | 2 1| |CD | 2 1 2
4
，即1 a 1 (2a 4)2 3，解得 a 2，5
4
所以圆心 C的横坐标 a的取值范围为
,2 .
5
20．【详解】（1）由左焦点 F ( 1,0)、左顶点C( 2,0)可知： c 1,a 2，则b2 a2 c21 3，
x2 y2
所以椭圆M 的标准方程为 1 .
4 3
（2）因为 A(0, 3)， F1 1,0 ，
x y
则过 A,F1的直线 l的方程为： 1 1 ，即3 3x y 3 0，
3x y 3 0 x
8
x 0 2
1 5
解方程组 x2 y2 ，解得 或 ，
14 3
y1 3 3 3
y2 5
答案第 2页，共 4页
{#{QQABLQYAggggAgAAARgCAQGYCkIQkBCACIoORFAMIAIAQQNABAA=}#}
1 1 3 3 4 3
所以 AOB的面积 S△AOB OF1 y1 y 2 1 3 .2 2 5 5
（3）若点 B在以线段 AC为直径的圆上，等价于 AB BC，即 BF1 BC，
2 2 2
设B(x , y )(
x y x
2 x 2) 2，则 0 0 1 y 3 1 00 0 0 0 ，4 3 4
uuur uuur
因为C( 2,0),F1( 1,0)，则 BF1 ( 1 x0 , y0 ),BC ( 2 x0 , y0 ) ，
uuur uuur
令BF1 BC 1 x 2 x y 2 2 3x x 2 y 2
1
0 0 0 0 0 0 x
2
0 3x0 5 04 ，
解得： x0 2或 10，
又因为 2 x0 2，则不存在点 B，使得 BF1 BC，
所以不存在直线 l，点 B在以线段 AC为直径的圆上.
21 1 *．【详解】（ ）因为数列 an 的前 n项和 Sn满足 2Sn 4an 4 n N ，
当n 2时， 2Sn 1 4an 1 4，
两式相减得： 2an 4an 4an 1，即 an 2an 1(n 2) ，
当 n 1时， 2S1 2a1 4a1 4，解得： a1 2 0，
n 1 n
可知数列 an 是以 2为首项，2为公比的等比数列，所以 an 2 2 2 .
（2）由（1）可知：b a 2
n 1 1
n
n ，
a 1 a 1 2n 1 2n 1 1 2n
1 2n 1n n 1 1
所以T b b b 1 1 1 1 1 1 1n 1 2 n 21 1 22 1
1 ，
22 1 23 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 1
对任意的 n N*，不等式T 1 2k 1 2k 都成立，即n 1 1 ，n 1 2n 1 1 n 1
2k n 1化简得： ，
2n 1 1
设 c n 1 ，因为 c c n 2 n 1 n 2
n 1 1
0，n 2n 1 1 n 1 n 2n 2 1 2n 1 1 2n 2 1 2n 1 1
2
所以 cn 单调递减，则c
2
n c1 ，所以 2k ，则2k
2
所以实数 k的取值范围是 1 ,
．
3 3 3， 3
答案第 3页，共 4页
{#{QQABLQYAggggAgAAARgCAQGYCkIQkBCACIoORFAMIAIAQQNABAA=}#}
22【详解】（1）依题意可知切线 PQ的斜率存在，且斜率大于 0 .
设直线 PQ的方程为 y kx b， k 0 .
y kx b
由 y 2y 4x 2 消去 并化简得 4x kx b 0，
2
Δ 0 2 b k 4x2 kx b 4x2 kx k
2 k 2
由 得 k 16b 0， ，则 2x
16 16 4
0，
k k k 2
解得 x ，所以P , ，8 8 16
k 2
在 y kx b中，令 x 0得 y b，所以Q 0, ，
16
k , 0 y 1 k PQ中点为 ，所以线段 PQ的中垂线方程为 x ，
16 k 16
y 1 x 1 1 即 ，所以线段 PQ的垂直平分线过定点 F
k 16
0,
16
.
k 2 1
2
k 1 1 k 2
（ ）由（1）可知，直线 PM的方程为 y
16 k
x ，即 y x .
8 k 8 16
2
y
1 1 k
x 2
由 k 8 16消去 y 4x2 1 x 1 k并化简得： 0，
y 4x2 k 8 16
1 k 2
k 1 k
所以 x x 8 16 ，而 xP ，所以得 xM ，P M 4 8 4k 8
k 2 2 2 2 2 2P ,
k Q 0, k k k k 1 k， ，
8 16
PQ
16 8 8 8
PM 1 1 x 1 k 1
k 2 P
xM 1 2 .k 4 4k
2 2 2
所以 PQM 1的面积 S PQ PM 1 k 1 k 1 k 1 1 1 k
2 2 8 k 2 4 4k
，
64k
2 21 k
所以 S k 4 2k 264k 1 1 k 2 1 1
1 1
2 2 2
2 k
2 2 2
.
k k 64k 64 k 64 k 16
k 2 1当且仅当 2 ,k 1
S 1
时等号成立. 所以 的最小值为 .
k k 16
答案第 4页，共 4页
{#{QQABLQYAggggAgAAARgCAQGYCkIQkBCACIoORFAMIAIAQQNABAA=}#}
