课件26张PPT。1.2.1 二次函数的图像与性质第一章 二次函数知识回顾1、二次函数的一般形式是怎样的？y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)正比例函数，反比例函数，一次函数的图象是怎么样的？二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？
列表描点连线情景导入二次函数的图像画函数y=x2的图像解:(1)列表(2) 描点(3) 连线y=x2A′AB′B 我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象．如右图y=x2新知探究我猜测 y=x2 的图象关于y轴对称．从图（1）看出，点A和点A′，点B和点B ′ ，……，它们有什么关系？点A和点A ′关于y轴对称，点B和点B ′也是……由此你能作出什么猜测？从图还可看出，y轴右边描出的各点，当横坐标增大时， 纵坐标怎样变化？纵坐标随着增大的图象在y轴右边的所有点都具有这样的性质吗？我猜想都有这一性质．可以证明上述两个猜测都是正确的，即y=x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升”．y=x2我们已经正确画出了y=x2的图象，因此，现在可以从图象（见图）看出 y=x2 的其他一些性质（除了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外）：图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而_________，简称为“左降”；对称轴与图象的交点是____________；图象的开口向_____________；O(0,0)上减小当 x =______时，函数值最_______．0小类似地，当a>0时，y=ax2的图象也具有上述性质，于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了（因为我们知道了图象的性质）．画二次函数 的图象．解：因为二次函数的图像关于y轴对称，因此列表时，自变量x应该从原点的横坐标0开始取值。例1：描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如右图连线：A′AB′B 根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分（把y轴左边的对应点和原点用一条光滑曲线顺次连接起来），这样就得到了 的图象．如图（1）抛物线y=6x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=6x2在x轴的 方(除顶点外).
（2）在同一坐标系中画出二次函数 及 的图象．并比较它们的共同点和不同点。描点连线列表描 点连 线列 表我们已经画出了 的图象，能不能从它得出二次函数 的图象呢？xOy24－2－424－2－4PQ1.在 的图象上任取
一点P（ ），它
关于x轴的对称点Q的坐
标是（ ）2.点Q的坐标是否在
的图象上？ 3.由此可知， 的图象与 的图象关于 对称xOy24－2－424－2－4PQx轴4.你怎样得到 的图象？因此只要把 的图象沿着x轴翻折将图象“复制”出来，就得到 的图象，1.对称轴是__________，对称轴与图象的交点是____________;图象的开口向___________；
2.图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而____________，简称为右______________;
3.图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而____________，简称为左______________;
4.当x=__________时，函数值最_____________.我们已经正确地画出了 的图象，因此现在可以从图象看出 的性质：y轴下O（0，0）减小降增大升0大当a<0时， 的图象也具有上述性质，于是今后在画 的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤就可以了. 【总结】例2.画二次函数 的图象.描点和连线：画出图象在y
轴右边的部分.利用对称性
画出y轴左边的部分.这样我们得到了
的图象，如图【解析】列表xOy－2－424－2－4讲例:观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线一般地，二次函数 的图象叫做抛物线 以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向水平向右，y 轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为 的图象的一段，由此受到启发，我们引进下述概念：二次函数 的图象关于y轴对称，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线 的顶点是原点.1、画出二次函数 的图象.xOy－2－424－2－4描点、连线画 图象左半部分.将右半部分翻折得到左半部分.随堂练习2、二次函数 的性质有：（3）抛物线在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ；
在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而 ；yO(0,0)下减小增大（1）对称轴是 轴 ，顶点是 ；（2）开口向 ， 描点法用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。抛物线y=ax2 (a>0)y=-ax2 (a<0)顶点坐标对称轴位置开口方向极值（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时， y最小值为0。当x=0时， y最大值为0。y=ax2与y=-ax2关于x轴对称类比 二次函数y=±ax2的图像和性质2.顶点坐标与对称轴3.位置与开口方向4.增减性与最值1.二次函数y=ax2的图象是什么？知识梳理人生不是受环境的支配，而是受自己习惯思想的恐吓.
——赫胥黎课件27张PPT。1.2.2 二次函数的图像与性质第一章 二次函数二次函数y=ax2的图象及其特点？1、顶点坐标？（0，0）2、对称轴？y轴（直线x=0）3、图象具有以下特点：一般地，二次函数y=ax2 （ a≠0 ）的图象是一条抛物线； 抛物线在x轴的下方（除顶点外）顶点是抛物线上的最高点。抛物线开口向下，当a<0 时， 抛物线在x轴的上方（除顶点外）。顶点是抛物线上的最低点；抛物线开口向上，当a>0 时，知识回顾把二次函数 的图象E向左平移1个单位，得到图形F，如图.EFO'新知探究由于平移不改变图形的形状和大小，因此在向左平移1个单位后；图形F也是抛物线点O'（－1，0）是F的顶点直线l`（过点O'与y轴平行）是F的对称轴F也开口向上 在抛物线 上任取一点 ，它在向左平移1个单位后，P的象点Q的坐标是什么？把点P的横坐标A减去1，纵坐标 不变，即象点Q的坐标为抛物线F是哪个函数的图象呢？这样我们证明了：函数 的图象是抛物线F，它的开口向上，它的顶点是O'（1，0），它的对称轴是过点O'（1，0）且平行与y轴的直线l ' ，直线l'是有横坐标为1的所有点组成的，我们把直线l '记做直线x =1，抛物线 的开口向上.记 从而点Q的坐标为 这表明：点Q在函数 的图象上，由此得出，抛物线F是函数 的图象， 证 明：类似地，我们可以证明下述结论： 二次函数 的图像是抛物线，它的对称轴是直线 它的顶点坐标是（h，0）抛物线的开口向上；当a>0时抛物线开口向上；当 时抛物线开口向下。由于我们已经知道了函数 的图象的性质，因此今后在画 的图象，只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分，在画图象的右边部分时，只需要“列表，描点，连线”三个步骤.画函数 的图象.解 抛物线 的对称轴是 x=2，顶点坐标是（2，0）列表：自变量x从顶点的横坐标2开始取值.描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分:这样我们得到了函数 的图象 . 1.说出下列二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；对称轴 x=5顶点坐标（5，0）对称轴 x=-2顶点坐标（－2，0）随堂练习2.画二次函数 的图象如何画二次函数 的图象？我们来探究二次函数 之间的关系.图象上的点横坐标纵坐标aa通过上表说明 与 之间的关系？从此表看出：对于每个给定x值函数 的值都要比函数 都要大3由此可见 函数 的图象向上平移3个单位，就得到函数 的图象.因此，二次函数 的图象也是抛物线，它的对称轴为直线 x=1 （与抛物线 的对称 轴一样），顶点坐标为（1，3）（它是由抛物线 的顶点（1，0）向上平移3个单位得到），它的开口向上.函数 的图象是抛物线，它的对称轴是
开口向上；当a＜0时，开口向下。
.
直线x=h它的顶点坐标是(h, k)当a ＞0时，抛物线的
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分（这只要先把对称轴左边的对应点描出来，然后用一条光滑曲线顺次连接他们和顶点）第二步：列表（自变量x从顶点的横坐标开始取值），描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；由于我们知道 的图像的性质
因此画 图像的步骤如下：解 对称轴是直线 x =－1，顶点坐标为（－1，－3）画二次函数 的图象列表：自变量x从顶点的横坐标－1开始取值.xOy24－2－424－2－4描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样我们得到了函数
的图象，如右图向右平移1个单位顶点坐标(0,0)(1,0)对称轴:直线x=0直线x=1向左平移1个单位顶点坐标(0,0)(-1,0)对称轴:直线x=0直线x=-1xyo-11当h>0时,向右平移当h<0时,向左平移a＞0时，开口________, 最 ____ 点是顶点; a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 ____
顶点坐标是 __________。直线x=h(h,0)的图象请你总结二次函数y=a(x-h)2的图象和性质.练习: 对于二次函数
请回答下列问题：1、把函数 的图象作怎样的平移
变换，就能得到函数 的图象。2、说出函数 的图象的顶点坐标
和对称轴。做一做:向上直线x=-3( -3 , 0 )直线x=1直线x=3向下向下( 1 , 0 )( 3, 0) 已知某抛物线的顶点坐标为（-2,1）且与y轴相交于点（0,4）求这个抛物线所表示二次函数的表达式。 例5 解：由于点（-2,1）是该抛物线的顶点，可设这个抛物线的所表示的二次函数表达式为y=a（x+2）2+1.由函数图像过点（0,4），可得：4=a(x+2)2+1解得：a=因此，所求得的二次函数的表达式为y= （x+2）2+1= x2+3x+4 1、 如果抛物线 的顶点坐标
是（-1，5）则随堂练习它的对称轴是：直线x=-1 ２、 如果一条抛物线的形状与
的形状相同，且顶点坐标是（４，-２）则函数关系式是____________h=-1，k=53、指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：(1)(2)(3)(4)4、画出二次函数y=-2（x-2）2+3的图像。5、已知某抛物线的顶点坐标为（-3,2）且与y轴相交于点（-1,0）求这个抛物线所表示二次函数的表达式。讨论归纳:当h>0时,向右平移当h<0时,向左平移当k>０时向上平移当k<０时向下平移顶点坐标：(０,０)（h,0)(h,k)的图象：对称轴是 _____________，
顶点坐标是 __________。直线x=h(h, k)h左加右减
k上加下减 一般地，平移二次函数 的图象就
可得到二次函数 的图象，因此，二次函数h左加右减 k上加下减顶点坐标与 h 和 k的值有关，且是(h，k)对称轴与h的值有关，对称轴是直线x=h结束语 忍耐之草是苦的，但最终会结出甘甜而柔软的果实.
——辛姆洛克课件21张PPT。1.2.3 二次函数的图像与性质第一章 二次函数时，图象将发生怎样的变化？二次函数y=ax2y = a(x-h)2y = a(x-h)2 +k1、顶点坐标？（0，0）（h，0）（h，k ）2、对称轴？y轴（直线x=0）（直线x= h）（直线x=h ）3、平移问题？一般地，函数y=ax2的图象先向左（当h<0）或向右（当h>0）平移|h|个单位可得y = a(x-h)2的图象；若再向上（当k>0 ）或向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到y = a(x-h)2 +k的图象。
知识回顾说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴做一做：直线直线直线直线(5)(6) 对于二次函数y=ax2+bx+c （ a≠0 ）的图象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？通过变形能否将y=ax2+bx+c转化为
y = a(x-h)2 +k的形式 ？新知探究一般地，对于二次函数配方：顶点坐标是因此，当时，函数达到最大值（当a<0）或最小值（当a>0）：如何画二次函数 的图象
我们会画y = a(x-h)2 +k的图象了。因此只需把 配方成 的形式就可以了。 配方：故对称轴是直线 ，顶点坐标是对称轴是直线 ，顶点坐标是列表：自变量x从顶点的横坐标 开始取值描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分，这样就得到函数 的图象，如图3－1xyo1234－1－2－3－43241－5－1描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性，画出图象在对称轴
左边的部分，这样就得到 函数 的图象，如图从图看出，当x等于多少时，函数 的值最大？这个最大值是多少？当x等于项点的横坐标 时，函数值 最大。这个最大值等于顶点的纵坐标xyo1234－1－2－3－43241－5－1从图看出，二次函数 ，当x等于多少时，函数值最小?这个最小值等于多少？一般地，有下述结论：二次函数 当
x等于顶点的横坐标时，达到
最大值（当a<0）或最小值
（当a>0），这个最大（小）
值等于顶点的纵坐标.Oy24－2－424－2－4 求函数 的最大值解 配方：顶点坐标是（2，1），于是当x=2时，y达到最大值1.一般地，对于二次函数配方：顶点坐标是因此，当时，函数达到最大值（当a<0）或最小值（当a>0）：1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴并画出它们的图像.开口方向:顶点坐标：对称轴:随堂练习2.求下列二次函数的图象的顶点坐标：配方 得顶点坐标为顶点坐标为（－3，4）3.求下列各个二次函数的最大值或最小值．解：配方得配方得4.已知二次函数y= x2+4x–3,
请回答下列问题：画函数图象（1）、函数 的图象能否由函数
的图象通过平移变换得到？若能，请说出平移的过程，并画出示意图；（2）、说出函数图象的开口方向、对称轴
和顶点坐标。抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 知识梳理请写出如图所示的抛物线的解析式： （0，1）（2，4）xyO课后练习 人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰 结束语
