天津市南开中学2023-2024学年高一上学期11月第二次学情调查数学试题（含答案）

南开中学2023-2024学年高一上学期11月第二次学情调查
数学
一、单选题（共9小题，每小题4分；共36分）
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数定义在上的奇函数，且当时，，则等于（ ）
A． B．7 C． D．5
4．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
5．幂函数的图象过点，那么函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则函数的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数是定义在区间上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分；共24分）
10．已知，则______．
11．已知，则______．
12．函数的单调递增区间是______．
13．函数的定义域为，则实数的取值集合是______．
14．若函数的值域是，则实数的取值集合是______．
15．已知函数，若集合中恰有3个元素，且它们的和为0，则实数的取值集合是______．
三、解答题（共3小题；共40分）
16．（本小题12分）
（1）已知均为正数，且，求的值；
（2）若，求的值．
17．（本小题12分）
已知函数．
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）求关于的不等式的解集．
18．（本小题16分）
已知函数（是常数）．
（1）若，求函数的值域；
（2）若为奇函数，求实数，并证明的图象始终在的图象的下方；
（3）设函数，若对任意，以为边长总可以构成三角形，求的取值集合．
参考答案
一、单选题
1．C 2．B 3．D 4．C
5．C 6．C 7．D 8．A
9．B
二、填空题
10．27 11．64 12． 13．
14． 15．
三、解答题
16．（1）0； （2）2．
17（1）令，则，
由题意知，即，则，
所以，故．
（2）由（1）知，，
所以，
所以为奇函数．
（3）原不等式可化为，
即，解得或，
故原不等式的解集为．
18．（1）时，，
方法一：（反解法），
方法二：（换元法）令，则．
（2）因为为奇函数，
所以，化简得，
因为恒不为零，所以且，解得，
因为，
所以的图象始终在的图象的下方．
（3）由题意，得，，
令，则，其对称轴为，
①即时，此时单调递减，
所以，
即，解得或，
所以；
②即时，此时先减后增左端点高，
所以，即，无解；
③，即时，此时先减后增右端点高，
所以即，无解；
④，即时，此时单调递增，
所以即，解得或，
所以；
综上，．