广西梧州市新高考教研联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

2023-2024学年广西梧州市新高考教研联盟高二上学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角是
( )
A. B. C. D.
2.准线方程为的抛物线的标准方程是
( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线，则该双曲线的离心率为
( )
A. B. C. D.
4.若，，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示的直三棱柱容器中，，，把容器装满水容器厚度忽略不计，将侧面平放在桌面上，放水过程中，当水面高度为的一半时，剩余水量与原来水量的比值为
( )
A. B. C. D.
6.如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点若点在线段上，且满足平面，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为
( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知直线：，则下列说法正确的是
( )
A. 直线过定点
B. 直线与直线：一定平行
C. 直线一定不与坐标轴垂直
D. 直线与直线：一定垂直
10.将曲线向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 倍，纵坐标不变得到曲线，则下列说法正确的是
( )
A.
B. 函数在上单调递增
C. 函数 的 图象关于直线对称
D. 函数的图象关于点对称
11.已知曲线的方程为，则下列说法中正确的有
( )
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线关于原点中心对称
C. 若动点在曲线上，则的最大值为
D. 曲线与坐标轴交点围成四边形面积是
12.如图，矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成点不落在底面内，若为线段的中点，则在翻转过程中，以下命题正确的是
( )
A. 四棱锥体积最大值为 B. 长度是定值
C. 平面一定成立 D. 存在某个位置，使
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为 ．
14.已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为，则直线的方程为 ．
15.九章算术中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑中，平面分别为棱，上一点，则的最小值为______．
16.已知点为椭圆上的任意一点，到焦点的距离最大值为，最小值为，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知直线经过两条直线和的交点．
若直线与直线垂直，求直线的方程；
若直线与直线平行，求直线的方程及此时直线与直线的距离．
18.本小题分
已知双曲线．
若，求双曲线的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程；
若双曲线的离心率，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
设的内角的对边分别为，且为锐角，，求的周长．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面底面，，点为棱的中点．

证明：；
求直线与平面所成角的大小．
21.本小题分
已知点圆上运动，点．
若，求点的轨迹的方程；
过原点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，是否为定值？若是定值，求出该值；否则，请说明理由．
22.本小题分
已知曲线上的点满足．
化简曲线的方程；
已知点，点，过点的直线斜率存在与椭圆交于不同的两点，直线与轴的交点分别为，证明：三点在同一圆上．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角即得．
解：直线 的斜率 ，则该直线的倾斜角 ．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据题意可设抛物线的标准方程为 ，从而可得 ，求解即可．
解：由抛物线的准线方程为 ，可知抛物线是焦点在 轴负半轴上的抛物线，
设其方程为 ，则其准线方程为 ，得 ．
该抛物线的标准方程是 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题．
根据双曲线的方程直接求出离心率即可．
【解答】
解：由双曲线，可知该双曲线的离心率．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式以及同角三角函数的平方式，结合正弦函数的二倍角公式，可得答案．
解： ， ，
， ，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】根据柱体的体积公式求解即可．
解：如图所示：
分别为 的中点，
所以 ，
因为柱体体积公式是底面积乘高，高没变，所以放出水量是原来水量的 ，
所以没有水的部分底面积变为原来的 ，剩余水量是原来水量的 ．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查线面平行性质定理和相似三角形的计算等知识，属于中档题．
连结，交于点，连结、利用线面平行的性质定理，证出而为的中位线，证出∽，利用相似三角形的性质和平行线的性质，即可算出的值．
【解答】
解：连结，交于点，连结、，如图所示：
平面，平面，平面平面，
．
、分别是、的中点，
为的中位线，
因此，∽，可得，
，即的值为．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的一般方程与标准方程，圆有关的最值问题，属于基础题．
根据题意，将圆的方程变形为标准方程，得到其圆心半径，可得当圆的面积最小时，必有，此时，即可得此时面积最小时圆的方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆：，
变形可得，
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时，
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆及双曲线的定义和离心率，为基础题．
根据椭圆和双曲线的定义以及余弦定理进行解答．
【解答】
解：不妨令椭圆和双曲线的焦点在轴上，
如图，设交点在第一象限，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义得，
．
又，．
在中，由余弦定理得，
化简得，该式可变成．
故选A．
9.【答案】
【解析】【分析】选项A将点 代入直线 可判断；选项B分斜率存在和不存在分别判断即可；选项C由 时的情况可判断；选项D由两直线垂直的条件可判断．
解：选项A将点 代入直线 ： 得 ，
即点 满足直线 方程，所以直线 过定点 ，故选项A正确．
选项B当 时，直线 ： ；直线 ： ，直线
当 时，斜率 且在 轴上截距满足，故直线 ，所以选项B正确．
选项C当 时，直线 ： 与 轴垂直，故C不正确．
选项D由，可得直线 与 垂直，故选项D正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据题意确定 ，然后根据 的性质对应判断各个选项即可．
解：将曲线 向左平移 个单位长度，再将横坐标缩小为原来的 倍，纵坐标不变得到曲线 ，所以 ，A正确；
由可知， ，则 ，
根据 的性质，可得 在 上单调递减，B错误；
，则 的图象不关于直线 对称，C错误；
，则 的图象关于点 对称，D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】对于 ：根据对称理解运算即可判断；对于 ：设 ，根据基本不等式求解即可判断；对于，求得交点后即可判断．
解：对 ：曲线 的上任一点 关于原点的对称点为 ，
则 ，即 在曲线 上，
曲线 关于原点中心对称， 正确；
对 ：曲线 的上任一点 关于 轴的对称点为 ，
则 ，即 不在曲线上，
曲线 不关于 轴对称， 错误；
对：设 ，则 ， ，
而 ，所以 ，
当且仅当 或 时，等号成立，即 ，C正确；
对：由 令 ，得 ，令 ，得 ，
则曲线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，
所以曲线 与坐标轴交点围成四边形面积为 ，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】对选项A，取 的中点 ，连接 ，根据题意得到当平面 平面 时， 到平面 的距离最大，再计算四棱锥 体积即可判断A正确；对选项B，取 的中点 ，连接 ， ，根据等角定理得到 ，再利用余弦定理即可判断B正确；对选项C，首先根据题意易证平面 平面 ，再利用面面平行的性质即可判断C正确；对选项D，先假设存在，推出矛盾可判断错误．
解：对选项A，取 的中点 ，连接 ，如图所示：
当平面 平面 时， 到平面 的距离最大．
因为 ， 为 中点，所以 ．
又因为平面 平面 ，所以 平面 ．
，所以 ．
所以四棱锥 体积最大值为 ，
因为 为线段 的中点，所以 ，
四棱锥 体积最大值为 ，故A正确；
对选项B，取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
因为 分别为 的中点， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，故B正确；
对选项C，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，故C正确．
对选项D，若 ，则 四点共面，记所在平面为平面 ，
因为 ，则 ，又 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
这与 矛盾，所以不存在某个位置，使 ，D错误．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．
根据题意，分析圆的圆心，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，结合直线与圆相交的性质可得，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，圆的圆心为，半径为；
则圆心到直线的距离，
若，则有，
故．
故答案为：．
14.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于中等题．
根据题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消掉得关于的一元二次方程，利用韦达定理可得，由，解出，即可得到答案．
【解答】
解：根据题意可得抛物线的焦点，
根据题意可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，，
因为，
解得，，
则直线的方程为或．
故答案为：或．
15.【答案】
【解析】【分析】根据题意，求得 ，作出将 沿着 转动到 四点共面的平面图形，利用两角和的正弦公式得 ，进而求解即可．
解：因为 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，则 ．
因为 平面 平面 ，所以 ，
则 ，所以 ，
如图，将 沿着 转动到 四点共面，
此时
过 作 于 ，则 的最小值为
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】【分析】根据点 到椭圆焦点的距离的最大值为 ，最小值为 ，列出，的方程组，进而解出，，从而可得 ，再利用基本不等式即可求解．
解：因为点 到椭圆焦点的距离的最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
17.【答案】解：由 ，解得 ，即直线 和 的交点为 ，
由直线 与直线 垂直，设直线 的方程为 ，
把点 代入方程得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ．
由直线 平行于直线 ，设直线 的方程为 ，
把点 代入方程得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，直线 与直线 的距离 ．

【解析】【分析】求出两条直线的交点得 ，再利用直线垂直设 的方程为 ，把 代入方程即得．
由直线平行设直线 的方程为 ，把 代入方程即得，再求出平行线间距离．
18.【答案】解：由已知可得，双曲线的方程为 ，
所以，双曲线的焦点在 轴上，且 ， ， ，
所以， ， ， ，
所以，双曲线 的焦点坐标为 ， ；
顶点坐标为 ， ；
渐近线方程为
由已知可得， ， ， ，
所以， ， ， ，
，
因为 ，
所以有 ，即 ，
整理可得， ，
解得 ．

【解析】【分析】代入 ，求出 的值以及双曲线焦点的位置，即可得出答案；
根据已知求出 的值，得出 ，根据 的取值范围，即可得出答案．
19.【答案】解：函数 ，
所以函数 的最小正周期 ；
令 ，
解得 ，
所以函数的单调递增区间为 ；
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，根据正弦定理可得 ，
根据余弦定理可得 ，
解得 ， 舍去负值，
所以 的 周长 ．

【解析】【分析】应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最小正周期和增区间；
根据 求得 ，然后由正弦定理得到 ，然后利用余弦定理求得 ，进而可求周长．
20.【答案】解：取 中点，连接 ， ，
又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
在平面 内，过点 作 ，则 平面 ，
以为原点， 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
， ，
即 ， ；
因为 ，所以 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
平面 ，
所以平面 的一个法向量为 ，
令直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
又因为 ，所以 ．


【解析】【分析】取 中点，连接 ，推出 ，由平面 底面 ，推出 平面 ，建立空间直角坐标系，计算 ，从而得证；
求得直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式即可求解．
21.【答案】解：设 ， ，由 ，得 ，
则 ，于是 ，
而点 在圆 上，即 ，则 ，
整理得 ，所以点 的轨迹 的方程为 ．
由直线 过原点 且不与 轴重合，设直线 的方程为 ，
由 ，消去 并整理得 ，
依题意， 是方程 的两根，则 ， ．
因此 ，所以 是定值 ．

【解析】【分析】设 ， ，由 可得 与 ， 与 的关系，由点 满足圆的方程即可求解；
设直线 的方程为 ，与 的方程联立，结合韦达定理求出 、 ，再计算 ，即可得出答案．
22.【答案】解：由题意知曲线 上的点 满足 ，
则 ，
故 ，
即 ，故 ，
即 ，即化简曲线 的 方程为 ；
证明：由题意知直线 斜率存在，故设 ，联立 ，
得 ，

由于直线过点 ，而点 在椭圆 内，故必有 ，
设 ，则 ，
直线的方程为 ，直线的方程为 ，
令 ，可得 ，
故以 为直径的圆的方程为 ，
即 ，
而
，
即以 为直径的圆的方程为 ，
令 ，则 ，
即 在以 为直径的圆上，故 三点在同一圆上．

【解析】【分析】本题考查了曲线方程的化简以及直线和椭圆的位置关系的应用，解答的难点在于证明 三点，解答的思路时利用设直线方程并联立椭圆方程，表示相关点坐标，进而求出以 为直径的圆的方程，从而求得该圆与轴的交点，从而证明结论．
根据已知曲线方程，进行移项平方，化简的方法，即可得曲线 的方程；
设直线 的方程，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，进而表示点 的坐标，从而可得以 为直径的圆的方程，并化简，求出该圆与轴交点坐标，即可证明结论．
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