福建省福州市（华侨、金山、教院附中等八校）2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省福州市（华侨、金山、教院附中等八校）2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 377.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-01 01:02:40 | ||
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文档简介
2023-2024学年福建省福州市（华侨、金山、教院附中等八校）高二上学期期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.直线过点且与直线垂直，则的方程为
( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，设点是点关于坐标平面的对称点，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆的方程，半径为，则实数为
( )
A. B. C. 或 D. 或
5.平行于直线且与圆相切的直线的方程是
( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
6.如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数是
( )
A. B. C. D.
7.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，为的中点，在棱上，下列判断不正确的是
( )
A. 若平面，则为的中点
B. 平面平面
C. 若，则
D. 异面直线与所成角的余弦值
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知向量，则下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
10.已知直线和直线，下列说法正确的是
( )
A. 直线始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限
11.关于曲线，给出下列四个命题：
( )
曲线关于轴对称；曲线关于直线对称；
曲线关于原点对称；曲线所围成的区域面积大于
其中正确的为
( )
A. B. C. D.
12.如图，在四棱锥中，底面，点为的中点．，，则
( )
A.
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 与平面所成的角为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若直线经过两点，则直线的斜率为______
14.已知向量，，，则 ．
15.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 ．
16.已知圆与交于，两点若存在，使得，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，．
试用、、表示；
求的长度．
18.本小题分
已知直线和直线的交点为．
求过点且与直线平行的直线方程；
若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程．
19.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点．
求圆的方程；
当时，求直线的方程．
20.本小题分
在中，角、、的对边分别为，，已知．
求的值；
求的值；
求的值．
21.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，．
求证：平面；
求二面角的大小．
22.本小题分
如图，是三棱锥的高，，，是的中点．
证明：平面
若，，，求二面角正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而求出直线的倾斜角．
解：由直线的方向向量可知直线的斜率 ，
设直线的倾斜角为 ，且 ，
可知 ，可得 ，
即 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】由点斜式方程即可得出答案．
解：直线 的斜率为 ，
直线 过点 且与直线 垂直，
所以 ，化简为： ．
故答案为：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据题意求出点 的坐标，可得 的坐标，则答案可求．
解：因为点 是点 关于坐标平面 的对称点，
所以点 ，
，则 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可．
解：圆的方程 ，即 ，
因为半径为，所以 ，解得 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．
设出所求直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，即可求出直线方程．
【解答】
解：设所求直线方程为，
由于该直线与圆相切，
所以，
所以，
所以所求直线方程为：或，
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，向量的垂直和向量的数量积即可求出解
解：由图可知， ，
则 ，
因为棱长为 ，
所以 ，
故集合 中的元素个数为，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数学文化问题，点关于直线的对称问题，最短距离问题，属于基础题．
先求出点关于直线的对称点，则“将军饮马”的最短总路程为与之间的距离．
【解答】
解：设点关于直线的对称点，
的中点为，，故，解得
要使从点到军营总路程最短，
即为点到军营最短的距离，军营所在位置为，
“将军饮马”的最短总路程为．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，由 ，解得 ，判断选项；利用两平面法向量垂直判断选项；利用锥体体积公式判断选项，利用空间向量夹角公式判断选项．
解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为，
所以 ，
对于选项，所以 ，
设 是平面 的法向量，
则 ，即 ，故令 ，则 ，
所以 ，解得 ，此时 为 的中点，故A选项正确；
对于选项，设 是平面 的法向量，
由于 ，则 ，即 ，
令 得 ，由于 ，
所以 ，所以平面 平面 ，故B选项正确；
对于选项，若 ，则 ，故C选项正确；
对于选项， ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故D选项错误
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果．
解：因为 ，
则 ，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据已知条件，直接求出直线 的定点，即可判断，再结合直线平行、垂直的性质判断、，将直线方程化为斜截式，即可判断．
解：对于：直线 ，即 ，
令 ，解得 ，故直线 过定点 ，故A正确；
对于：若 ，则 ，解得 或 ，
当 时， ， ，则 与 重合，故舍去，
当 时，易得 ，所以 ，故B错误；
对于：若 ，则 ，解得 或 ，故C错误；
对于：当 时，直线 始终过点 ，且斜率为负，
故该直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】将 用 代替，可判断正确；将 用 代替，可判断正确；将 用 代替， 用 代替，可判断正确；求出曲线 所围成的区域面积可判断错误．
解：曲线 中，
将 用 代替，可得 ，即 ，
则曲线 关于 轴对称，故正确；
将 用 代替， 用 代替，可得 ，即 ，
则曲线 关于 对称，故正确；
将 用 代替， 用 代替，可得 ，即 ，
则曲线 关于原点对称，故正确；
当 时， ，
即为 ，
表示圆心为 ，半径为 的圆的一部分，
其面积为 ，
结合对称性，可知曲线 所围成的区域面积为 ，故错误；
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】建立空间直角坐标系 ，利用空间向量数量积公式判断；利用空间点到面的距离公式判断；利用空间向量夹角公式判断；利用空间向量求出线面角的正弦判断．
解：以 为原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系 ，
则 ．
，
则 ，A错误；
，
则异面直线 与 所成角的余弦值为 ，C正确．
设平面 的法向量为 ，
则 解得
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
点 到平面 的距离为 ，即选项B错误；
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
与平面 所成的角为 ，即选项 正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据已知条件，利用斜率公式即可求解．
解：直线 经过两点 ，
则直线 的斜率为 ，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量模的坐标运算，考查数量积的坐标运算，属于基础题．
由向量模的坐标公式运算可求得，再由向量数量积的坐标运算计算出数量积．
【解答】
解：由题意，解得，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间距离的求法，考查计算能力，属于基础题．
先求出向量，然后求出向量的夹角的正弦值，进而根据求解即可．
【解答】
解：由题意，可得 ， ，
，
，
所以点到直线的距离
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．
由题意结合圆与圆的位置关系可得公共弦为圆的直径，进一步分析可得，计算即可．
【解答】
解：由题意得，圆的圆心为，半径恒为，是在轴上移动的动圆，
圆的圆心为，半径恒为，是在轴上移动的动圆，
若存在，使得两圆的公共弦，则该公共弦必过圆的圆心，也即公共弦为圆的直径，
如图
圆：，圆：，
两式相减得，公共弦的方程为，
直线过点，
所以，
所以，
则．
故答案为：．
17.【答案】解：
，
，，
由底面是正方形，，，，
得
所以
．
【解析】本题考查向量的表示，考查线段长的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
，由此能求出结果．
由题意，结合，由此能求出的长度．
18.【答案】解：联立
解得可知交点，
设与直线平行的直线方程为，
把交点代入可得，
，
所求的直线方程为．
设与直线垂直的直线方程为，
到的距离为，
解得或，
直线的方程为：或．
【解析】本题考查直线的一般式方程、直线的平行与垂直的判定、点到直线的距离公式．
联立两直线方程，求出交点的坐标，设与直线平行的直线方程为，将点代入求出，则可得答案；
设与直线垂直的直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，则可得答案．
19.【答案】解：由题意知到直线的距离为圆的半径，
，
圆方程为；
设中点为，则由垂径定理可知，且，
在中，由勾股定理易知，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设动直线方程为：，
由到距离为，知，解得， 此时直线方程为．
直线方程为或．
【解析】本题考查圆的标准方程及直线与圆相交时的弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
利用点到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
根据垂径定理和勾股定理，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．
20.【答案】解：因为 ，即 ，而 ，
代入得 ，解得： ．
由可求出 ，而 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，故 ，
又 ，
所以 ， ，而 ，
所以 ，
故 ．
【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题．
根据余弦定理 以及 解方程组即可求出；
由可求出 ，再根据正弦定理即可解出；
先根据二倍角公式求出 ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
21.【答案】解：因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面．
由平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
【解析】本题考查了线面垂直的判断，平面与平面所成角的向量求法．
先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
结合中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解．
22.【答案】解：法一：连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，所以，，
所以，又，，所以，所以，
作中点，连接、，则有，又，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又、分别为、的中点，所以，在中，
又因为平面，平面，所以平面，
又、平面，，所以平面平面，
又平面，所以平面
法二：连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，所以，，
所以，又，，所以，
所以，又，在，为中点，
延长，交于，连接，
所以在中，、分别为、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面
法一：过点作，以为轴，为轴，为轴．
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，由，
又，所以，，
所以，，，，
设，则，
平面的法向量设为，直线的方向向量可设为，
直线平面，直线的方向向量为
，所以
所以，设，则，所以
平面的法向量设为，，
，所以，所以，设，则，
所以
所以，，
二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为
法二：过点作，以为轴，为轴，为轴
建立所示的空间直角坐标系．
因为，，由，
又，所以，，所以，，
，，设，则，
平面的法向量设为，，
，所以，所以设，则，
所以
平面的法向量设为，，
，所以
所以，设，则，所以
所以，
二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为．
【解析】本题考查线面平行与二面角的求解，考查学生的空间想象与计算能力，有一定的难度．
第2页，共18页
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.直线过点且与直线垂直，则的方程为
( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，设点是点关于坐标平面的对称点，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆的方程，半径为，则实数为
( )
A. B. C. 或 D. 或
5.平行于直线且与圆相切的直线的方程是
( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
6.如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数是
( )
A. B. C. D.
7.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，为的中点，在棱上，下列判断不正确的是
( )
A. 若平面，则为的中点
B. 平面平面
C. 若，则
D. 异面直线与所成角的余弦值
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知向量，则下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
10.已知直线和直线，下列说法正确的是
( )
A. 直线始终过定点 B. 若，则或
C. 若，则 D. 当时，始终不过第三象限
11.关于曲线，给出下列四个命题：
( )
曲线关于轴对称；曲线关于直线对称；
曲线关于原点对称；曲线所围成的区域面积大于
其中正确的为
( )
A. B. C. D.
12.如图，在四棱锥中，底面，点为的中点．，，则
( )
A.
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 与平面所成的角为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若直线经过两点，则直线的斜率为______
14.已知向量，，，则 ．
15.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为 ．
16.已知圆与交于，两点若存在，使得，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，．
试用、、表示；
求的长度．
18.本小题分
已知直线和直线的交点为．
求过点且与直线平行的直线方程；
若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程．
19.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点．
求圆的方程；
当时，求直线的方程．
20.本小题分
在中，角、、的对边分别为，，已知．
求的值；
求的值；
求的值．
21.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，．
求证：平面；
求二面角的大小．
22.本小题分
如图，是三棱锥的高，，，是的中点．
证明：平面
若，，，求二面角正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而求出直线的倾斜角．
解：由直线的方向向量可知直线的斜率 ，
设直线的倾斜角为 ，且 ，
可知 ，可得 ，
即 ．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】由点斜式方程即可得出答案．
解：直线 的斜率为 ，
直线 过点 且与直线 垂直，
所以 ，化简为： ．
故答案为：．
3.【答案】
【解析】【分析】根据题意求出点 的坐标，可得 的坐标，则答案可求．
解：因为点 是点 关于坐标平面 的对称点，
所以点 ，
，则 ．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可．
解：圆的方程 ，即 ，
因为半径为，所以 ，解得 ．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．
设出所求直线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出，即可求出直线方程．
【解答】
解：设所求直线方程为，
由于该直线与圆相切，
所以，
所以，
所以所求直线方程为：或，
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，向量的垂直和向量的数量积即可求出解
解：由图可知， ，
则 ，
因为棱长为 ，
所以 ，
故集合 中的元素个数为，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数学文化问题，点关于直线的对称问题，最短距离问题，属于基础题．
先求出点关于直线的对称点，则“将军饮马”的最短总路程为与之间的距离．
【解答】
解：设点关于直线的对称点，
的中点为，，故，解得
要使从点到军营总路程最短，
即为点到军营最短的距离，军营所在位置为，
“将军饮马”的最短总路程为．
故选A．
8.【答案】
【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，由 ，解得 ，判断选项；利用两平面法向量垂直判断选项；利用锥体体积公式判断选项，利用空间向量夹角公式判断选项．
解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的边长为，
所以 ，
对于选项，所以 ，
设 是平面 的法向量，
则 ，即 ，故令 ，则 ，
所以 ，解得 ，此时 为 的中点，故A选项正确；
对于选项，设 是平面 的法向量，
由于 ，则 ，即 ，
令 得 ，由于 ，
所以 ，所以平面 平面 ，故B选项正确；
对于选项，若 ，则 ，故C选项正确；
对于选项， ，
所以 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，故D选项错误
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果．
解：因为 ，
则 ，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据已知条件，直接求出直线 的定点，即可判断，再结合直线平行、垂直的性质判断、，将直线方程化为斜截式，即可判断．
解：对于：直线 ，即 ，
令 ，解得 ，故直线 过定点 ，故A正确；
对于：若 ，则 ，解得 或 ，
当 时， ， ，则 与 重合，故舍去，
当 时，易得 ，所以 ，故B错误；
对于：若 ，则 ，解得 或 ，故C错误；
对于：当 时，直线 始终过点 ，且斜率为负，
故该直线过第一、二、四象限，不过第三象限，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】将 用 代替，可判断正确；将 用 代替，可判断正确；将 用 代替， 用 代替，可判断正确；求出曲线 所围成的区域面积可判断错误．
解：曲线 中，
将 用 代替，可得 ，即 ，
则曲线 关于 轴对称，故正确；
将 用 代替， 用 代替，可得 ，即 ，
则曲线 关于 对称，故正确；
将 用 代替， 用 代替，可得 ，即 ，
则曲线 关于原点对称，故正确；
当 时， ，
即为 ，
表示圆心为 ，半径为 的圆的一部分，
其面积为 ，
结合对称性，可知曲线 所围成的区域面积为 ，故错误；
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】建立空间直角坐标系 ，利用空间向量数量积公式判断；利用空间点到面的距离公式判断；利用空间向量夹角公式判断；利用空间向量求出线面角的正弦判断．
解：以 为原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系 ，
则 ．
，
则 ，A错误；
，
则异面直线 与 所成角的余弦值为 ，C正确．
设平面 的法向量为 ，
则 解得
令 ，则 ，所以平面 的一个法向量为 ，
点 到平面 的距离为 ，即选项B错误；
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
与平面 所成的角为 ，即选项 正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】根据已知条件，利用斜率公式即可求解．
解：直线 经过两点 ，
则直线 的斜率为 ，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量模的坐标运算，考查数量积的坐标运算，属于基础题．
由向量模的坐标公式运算可求得，再由向量数量积的坐标运算计算出数量积．
【解答】
解：由题意，解得，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间距离的求法，考查计算能力，属于基础题．
先求出向量，然后求出向量的夹角的正弦值，进而根据求解即可．
【解答】
解：由题意，可得 ， ，
，
，
所以点到直线的距离
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．
由题意结合圆与圆的位置关系可得公共弦为圆的直径，进一步分析可得，计算即可．
【解答】
解：由题意得，圆的圆心为，半径恒为，是在轴上移动的动圆，
圆的圆心为，半径恒为，是在轴上移动的动圆，
若存在，使得两圆的公共弦，则该公共弦必过圆的圆心，也即公共弦为圆的直径，
如图
圆：，圆：，
两式相减得，公共弦的方程为，
直线过点，
所以，
所以，
则．
故答案为：．
17.【答案】解：
，
，，
由底面是正方形，，，，
得
所以
．
【解析】本题考查向量的表示，考查线段长的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
，由此能求出结果．
由题意，结合，由此能求出的长度．
18.【答案】解：联立
解得可知交点，
设与直线平行的直线方程为，
把交点代入可得，
，
所求的直线方程为．
设与直线垂直的直线方程为，
到的距离为，
解得或，
直线的方程为：或．
【解析】本题考查直线的一般式方程、直线的平行与垂直的判定、点到直线的距离公式．
联立两直线方程，求出交点的坐标，设与直线平行的直线方程为，将点代入求出，则可得答案；
设与直线垂直的直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，则可得答案．
19.【答案】解：由题意知到直线的距离为圆的半径，
，
圆方程为；
设中点为，则由垂径定理可知，且，
在中，由勾股定理易知，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设动直线方程为：，
由到距离为，知，解得， 此时直线方程为．
直线方程为或．
【解析】本题考查圆的标准方程及直线与圆相交时的弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
利用点到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
根据垂径定理和勾股定理，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．
20.【答案】解：因为 ，即 ，而 ，
代入得 ，解得： ．
由可求出 ，而 ，
所以 ，又 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，故 ，
又 ，
所以 ， ，而 ，
所以 ，
故 ．
【解析】本题考查利用余弦定理和正弦定理解三角形，三角恒等变换的综合应用，以及由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题．
根据余弦定理 以及 解方程组即可求出；
由可求出 ，再根据正弦定理即可解出；
先根据二倍角公式求出 ，再根据两角差的正弦公式即可求出．
21.【答案】解：因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面．
由平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为．
【解析】本题考查了线面垂直的判断，平面与平面所成角的向量求法．
先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；
结合中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解．
22.【答案】解：法一：连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，所以，，
所以，又，，所以，所以，
作中点，连接、，则有，又，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又、分别为、的中点，所以，在中，
又因为平面，平面，所以平面，
又、平面，，所以平面平面，
又平面，所以平面
法二：连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，所以，，
所以，又，，所以，
所以，又，在，为中点，
延长，交于，连接，
所以在中，、分别为、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面
法一：过点作，以为轴，为轴，为轴．
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，由，
又，所以，，
所以，，，，
设，则，
平面的法向量设为，直线的方向向量可设为，
直线平面，直线的方向向量为
，所以
所以，设，则，所以
平面的法向量设为，，
，所以，所以，设，则，
所以
所以，，
二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为
法二：过点作，以为轴，为轴，为轴
建立所示的空间直角坐标系．
因为，，由，
又，所以，，所以，，
，，设，则，
平面的法向量设为，，
，所以，所以设，则，
所以
平面的法向量设为，，
，所以
所以，设，则，所以
所以，
二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为．
【解析】本题考查线面平行与二面角的求解，考查学生的空间想象与计算能力，有一定的难度．
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