广东省东莞市三校2023-2024学年高一上学期联考数学试题（含解析）

2023-2024学年广东省东莞市三校高一上学期联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
3.命题“，”的否定为
( )
A. ， B. ，
C. ， D.
4.下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )
A. B. C. D.
5.若幂函数在上单调递减，则( )
A. B. C. D.
6.已知为正数，且，则的最小值为
A. B. C. D.
7.若，，则的大小关系是
( )
A. B. C. D.
8.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.与表示同一个函数的是
( )
A. B. C. D.
10.对于实数、、，下列命题正确的是
( )
A. 若， B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则，
11.不等式的解集是，则下列结论正确的是
( )
A. B. C. D.
12.对任意两个实数，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是
( )
A. 函数是偶函数 B. 方程有三个解
C. 函数在区间上单调递增 D. 函数最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数，则________．
14.已知，则的解析式是_____
15.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是__________．
16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中．
当时，
若的值域是，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知集合，，求
，；
．
18.本小题分
计算下列各式式中字母均是正数
．
19.本小题分
设集合，，．
，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
20.本小题分
已知定义在上的函数是奇函数
求函数的解析式；
判断的单调性，并用单调性定义证明；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足万件时，万元；在年产量不小于万件时，万元每件产品售价为元．假设小王生产的商品当年全部售完．
写出年利润万元关于年产量万件的函数解析式注：年利润年销售收入固定成本流动成本；
年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
22.本小题分
已知函数的图象过点，且满足．
求函数的解析式；
设函数在上的最小值为，求的值域；
若满足，则称为函数的不动点．函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解．
解：集合，，
根据集合交集的概念及运算，可得．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．
由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出的不等式组，求解即可．
解：要使原式有意义只需：
，解得且，
故函数的定义域为．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可直接得到结果．
解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定为，
，，
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据基本函数的性质，结合函数奇偶性和单调性的定义逐项判断即可．
解：对于，函数为指数函数，不具有奇偶性，故错误；
对于，函数是二次函数，定义域为，
且，则函数为偶函数，
故错误；
对于，函数为幂函数型函数，定义域为，
且，
故函数为奇函数，
结合幂函数的性质易知，函数为上的减函数；
故正确；
对于，函数为反比例函数，定义域为，
易知满足，为奇函数，但在定义域上不具有单调性，
故错误，
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】由幂函数的定义和性质求解即可．
解：由幂函数的定义可知，，即，解得或．
当时，，在上单调递增，不合题意
当时，，在上单调递减，符合题意，故．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：变形为；，
所以，
当且仅当时等号成立．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用指数函数与幂函数的单调性比较大小，属于基础题．
由指数函数与幂函数的单调性即可得答案．
【解答】
解：因为是增函数，
所以．
因为是上的减函数，
所以，
所以．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：
先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；
根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；
结合求解出参数的最终范围．
将写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出的取值范围．
解：因为，所以
当在上单调递增时，，所以，
当在上单调递增时，，所以，
且，所以，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
分别判断各选项函数的定义域和对应法则是否和一致即可．
【解答】
解：对于，的定义域为，与定义域相同，对应法则相同，所以与是同一函数；
对于，中，所以与定义域不同，不是同一个函数；
对于，定义域为，对应法则相同，所以与是同一函数；
对于，定义域内没有，所以与定义域不同，不是同一个函数．
故选AC．
10.【答案】
【解析】【分析】根据不等式的性质以及利用作差法，即可判断选项．
解：当时，，故 A错误；
B.若，则，且，即，故 B正确；
C.，
因为，所以，，，
所以，即，故 C正确；
D.若，，则，且，则，可知，，故 D正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】根据二次函数图像与性质，以及二次不等式关系，列出不等式组，即可求解．
解：因为不等式的解集是，
可得，且，所以，所以，
所以、C正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下，
所以当时，，所以 B正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】根据函数定义，求出函数的解析式，画出函数图象，根据图象逐项判断即可．
解：令得，
，
故
则其图象如下：
根据图象可知，
函数图象关于轴对称，所以函数是偶函数，故正确；
函数图象与轴又三个交点，所以方程有三个解，故正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故错误；
函数的最大值是，故正确，
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】根据分段函数求函数值．
解：因为，所以，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】利用换元法计算可得．
解：因为，令，则，
所以，
所以．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】
不等式的解是全体实数或恒成立的条件是
当时，或当时，；
不等式的解是全体实数或恒成立的条件是
当时，或当时，．
对不等式的二次项系数进行分类讨论，分别求出不等式恒成立时实数的取值范围，最后求并集即可．
解：由题意得不等式对恒成立．
当时，不等式在上恒成立，符合题意．
当时，若不等式对恒成立，则
解得．
综上可得：，所以实数的取值范围是．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性、值域，考查二次函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
应用奇函数的定义，计算可得所求的值；
根据函数的奇偶性以及值域，结合判别式以及对称轴得到关于的不等式组，解出即可．
【解答】解：时，时，，
而函数是定义在上的奇函数，
故；
函数是定义在上的奇函数，
，
当时，，
故对称轴是，
若的值域是，
则或，
解得：或，
则的取值范围为：；．
17.【答案】解：
因为，，
所以，．
由可得，
，
或．

【解析】【分析】解出集合，按照集合的运算法则进行运算即可．
18.【答案】解：
．
【解析】本题考查指数幂的运算，属于基础题．
19.【答案】解：由题意知当 时， ，
故 或 ，
而
；
“”是“”的充分不必要条件，，
当时，，解得，成立；
当时，，又 和中等号不能同时取得，
解得 ，
综上，的取值范围是或．
【解析】本题考查集合的运算，考查交集、补集的定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
时，求出集合，，或，由此能求出；
由“”是“”的充分不必要条件，得，，分和两种情况讨论，从而求出的取值范围．
20.【答案】解：
因为是定义在上的奇函数，
所以，
即，解得，
所以经检验成立
因为
所以在上单调递减，
证明如下：设且
则
，
，
即，则在上单调递减．
不等式，
又在上单调递减，
所以，
故

【解析】【分析】利用奇函数的定义，建立方程，解出即可；
根据指数函数的性质判断出单调性，用函数单调性的定义证明即可；
利用函数是奇函数变形不等式，利用单调性转化不等式，解出即可．
21.【答案】解：因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元．
由题意得：
当时，，
当时，，
所以．
当时，，
此时，当时，取得最大值万元 ，
当时
当且仅当，即时取等号，
即时，取得最大值万元，
因为，所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．
【解析】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用二次函数与基本不等式求最值的能力，属于中档题．
根据年利润年销售收入固定成本流动成本，分和当两种情况得到与的分段函数关系式；
当时根据二次函数求最大值的方法来求利润最大值，当时，利用基本不等式来求的最大值，最后综合即可．
22.【答案】解：
因为函数的图象过点，所以，
又因为，所以二次函数对称轴方程为，解得，
所以函数的解析式为：．
由可知，，
分以下三种情形来讨论函数在上的最小值为：
情形一：当，即时，函数在上单调递减，
所以此时有；
情形二：当，即时，函数在上单调递减，在单调递增，
所以此时有；
情形三：当时，函数在上单调递增，
所以此时有．
综上所述：，其值域为．
因为函数有两个不相等的不动点，且，
所以令，即方程有两个不相等的正实根，
所以，即，所以．
，
因为，所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．

【解析】【分析】第一问比较常规；第二问的关键在于要分类讨论；第三问的关键是把问题转换为方程有两个不相等的正实根，列出等价条件求出的范围，进而结合韦达定理即可．
根据函数图象过点可得，再根据，利用二次函数对称性可得；
分类讨论对称轴与的关系求函数最小值；
转化为方程方程有两个不相等的正实根的问题即可解决．
第2页，共13页