数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质 课件（共20张ppt）

(共20张PPT)
3.3.2抛物线的简单几何性质
新知探究
问题1：在椭圆、双曲线里我们研究了它们的哪些几何性质？用什么方法研究的？
标准方程 图象 性质 研究方法
范围、对称性、顶点、离心率
直观猜想
方程验证
范围、对称性、顶点、离心率、渐近线
新知探究
标准方程 图象 性质
研究方法
范围、对称性、顶点、离心率
直观猜想
方程验证
下面我们以开口向右的抛物线 为例，对范围、对称性、顶点、离心率逐一研究．
新知探究
范围
因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，，当时，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
抛物线 ①
新知探究
对称性
抛物线 ①
以代，方程①不变，所以抛物线关于轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
新知探究
顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程①中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点.
抛物线 ①
新知探究
离心率
抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示.由抛物线的定义可知，.
抛物线 ①
习题训练
例1：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，且经过点 ，求它的标准方程．
习题训练
变式：如果把条件“关于 轴对称”改为“关于坐标轴对称”，那么结果有什么变化吗？
习题训练
难点1：求抛物线方程的问题
抛物线过某定点，求抛物线方程时，要注意两点：
1、关注问题是否说明抛物线的对称轴；
2、要准确设出抛物线方程，做到不重不漏．
习题训练
在图中，设，.由抛物线的定义可知，等于点到准线的距离.由，，得，于是.同理，，于是得.由此可见，只要求出点得横坐标之和，就可以求出.
例2.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长.
习题训练
思考：如果直线不经过焦点 ，那么 还等于 吗？
图象角度：
．
根据三角形两边之和大于第三边，
习题训练
变式
难点2：弦长问题
面对直线与抛物线相交问题，利用坐标法求解线段长时，可以先判断直线是否过抛物线的焦点。
若直线不过抛物线焦点，则利用两点间距离公式进行求解；
若直线过抛物线的焦点，可结合抛物线的图象，使用抛物线的定义进行快速求解．
习题训练
变式 .过抛物线的焦点作倾斜角为直线交抛物线于，两点， 如果，求线段的长.
解：因为抛物线的焦点是，
所以直线的方程为，
与抛物线方程联立消去得，
所以，从而.
习题训练
例3.已知是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线的方程.
解：由题知，抛物线的焦点.
∵抛物线关于轴对称，，∴为等腰三角形.
∴两点关于轴对称.
设，则.∵的垂心恰为抛物线的焦点，
∴，则，即.
又∵，∴.
∴直线的方程为.
习题训练
变式. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长.
解：如图所示，设正三角形的顶点在抛物线上，且坐标分别为，,则，.
又，所以，即，
整理得.
∵，，，∴，由此可得，
即线段关于轴对称.由此得，
∴，与联立，解得.
∴.
易错点：抛物线的标准方程的形式
在判断抛物线的开口，求解抛物线的范围、焦点坐标等问题时，要注意观察抛物线是否为标准方程．
若给定的方程形如 ，则要先变形为标准方程 ，再对范围、对称轴进行判断、求解．
知识归纳
本节课我们研究了抛物线的哪些几何性质？
标准方程 图像 性质 范围 对称轴 顶点 离心率