3.2圆的对称性 同步练习（含答案） 北师大版九年级数学下册

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《3.2圆的对称性》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（　　）
A．35° B．55° C．75° D．95°
2．如图，在⊙O中，＝＝，则∠BOC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．150°
3．如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C为的中点，OC与AB交于点D，若⊙O的半径是10，CD＝4，则AB＝（　　）
A．14 B．15 C．17 D．16
5．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则BD所对的圆心角的度数是（　　）
A．30° B．25° C．10° D．20°
6．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（　　）
A．x+y＝90 B．2x+y＝90 C．2x+y＝180 D．x＝y
7．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（　　）
A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O
C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°
8．如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（　　）
A． B．8 C．10 D．
二．填空题
9．一个圆被分为1：5两部分，则较大的弧所对的圆心角是 　 　．
10．如图，点A，B，C，D在⊙O上．
（1）若AB＝CD，则 　 　；
（2）若BD＝AC，则 　 　．
11．如图，AB是⊙O的直径，，∠COB＝40°，则∠A的度数是 　 　°．
12．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，的度数为 　 　．
13．如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝3，则⊙O的周长为 　 　．
14．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，BD是⊙O的直径，＝，若四边形ABCD的面积是10，则线段AC的长为 　 　．
15．如图，BC是⊙O的直径且BC＝8，A为的中点，P为上任意一点，AD⊥AP交BP于点D，连接CD，CD长的最小值为 　 　．
三．解答题
16．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
17．如图，半圆ACB中，点D是的中点，点E在直径AB上，且AE＝AC，半径OD交CE于点F．
（1）求证：OF＝OE；
（2）若OF＝6，DF＝4，求CF的长．
18．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
19．如图，线段AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，连结AD，AC．
（1）证明：AM＝DM．
（2）若AB⊥CD于点M，且弦AC的弦心距为4，求⊙O的半径．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E．连结BD交CF于点G，连结CD，AD，BF．
（1）求证：CF＝BD；
（2）若AD＝10，EF＝15，求⊙O的半径及BE的长．
21．已知：⊙O上两个定点A、B和两个动点C、D，AC与BD交于点E．
（1）如图1，若AC⊥BD，点O到AD的距离为a，求证：BC＝2a；
（2）如图2，若＝，AD是⊙O的直径，AD＝25，CD＝7，求四边形ABCD的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：∵，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．
故选：C．
2．解：∵＝＝，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
故选：C．
3．解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°．
故选：B．
4．解：连接AO，如图，
∵⊙O的半径为10，则OA＝10，
∵CD＝4，
∴OD＝10﹣4＝6，
∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
∴在Rt△AOD中，AD＝＝8，
∴AB＝16．
故选：D．
5．解：如图，连接BC，
∵∠AOC＝80°，
∴∠ABC＝∠AOC＝40°，
∵∠P＝30°，∠ABC＝∠P+∠BCD，
∴∠BCD＝10°，
∴BD所对的圆心角的度数的度数20°．
故选：D．
6．解：连接BC，
由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣x°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝x°，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA＝x°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，
∴x+y＝90，
故选：A．
7．解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
则＝，
∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，
∴＝＝，
∴AE＝BE＝BC，
∴2BC＞AB，故C错误；
∵OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，
∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；
∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，
∵∠BOE+∠OBA＝90°，
∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
故选：D．
8．解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
设OA＝OF＝x，
在Rt△OEF中，则有，
解得x＝4，
∴AB＝2x＝8．
故选：B．
二．填空题
9．解：∵一条弦把圆分成1：5两部分，
∴较大的弧所对的圆心角的度数为360°×＝300°．
故答案为：300°．
10．解：（1）∵AB＝CD，
∴＝；
故答案为：＝．
（2）∵BD＝AC，
∴＝．
故答案为：＝．
11．解：∵AB是⊙O的直径，＝，
∴∠AOD＝∠DOC，
∵∠COB＝40°，
∴∠AOD＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠D＝×（180°﹣70°）＝55°，
故答案为：55．
12．解：连接OB，如图，
∵OB＝OC，OC＝AB，
∴OB＝AB，
∴∠A＝∠BOA，
∴∠EBO＝∠A+∠BOA＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠E＝∠EBO＝2∠A，
∵∠EOD＝∠E+∠A，
∴2∠A+∠A＝84°，解得∠A＝28°，
∴∠E＝∠EBO＝56°，
∴∠BOE＝180°﹣∠E﹣∠EBO＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴的度数为68°．
故答案为68°．
13．解：连接AB，AO，DO，
∵⊙O的弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC＝（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝3，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝3，
∴⊙O的周长是2×π×3＝6π，
故答案为6π．
14．解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴AB＝AD，
∵∠CBD＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，
∴∠CBD+∠ABD＝∠CAD+∠ACD，
即∠ABC＝∠ADE，
作AE⊥AC交CD的延长线于点E，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE，S△ABC＝S△ADE，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝AC AE＝AC2＝10，
∴AC＝，
故答案为：2．
15．解：如图所示，连接AB，AC，PC，
∵A为的中点，
∴，
∴AB＝AC，
∵是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥AP，即∠PAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CAP，
又∵∠ABD＝∠ACP，
∴△ABD≌△ACP（ASA），
∴AD＝AP，
∴∠ADP＝45°，
∴∠ADB＝135°，
如图所示，以AB为斜边，向上作等腰直角△ABE，则点D在以E为圆心，BE的长为半径的圆上，
∴当C、D、E三点共线时，CD有最小值，
同理可得∠ABC＝45°＝∠ABE，
∴∠CBE＝90°，
在Rt△ABC中，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△CBE中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：．
三．解答题
16．证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴＝，
∴AD＝BC．
17．（1）证明：如图，连接BC，交OD于点G，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵D是 的中点，OD是半径，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠OFE＝∠ACE，
∵AE＝AC，
∴∠OEF＝∠ACE，
∴∠OFE＝∠OEF，
∴OF＝OE；
（2）解：∵OF＝6，DF＝4，
∴OE＝OF＝6，OA＝OB＝OD＝OF+DF＝10，
∴AC＝AE＝AO+OE＝16，AB＝20，
在Rt△ACB 中，，
∵OD是半径且OD⊥BC，
∴BG＝CG＝6，
在 Rt△OBG 中，，
∴FG＝OG﹣OF＝2，
∴在 Rt△CFG中，．
18．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB CE＝BC AC，
∴CE＝＝＝．
19．（1）证明：∵AB＝CD，
∴，
∴，
∴∠DAM＝∠D，
∴AM＝DM；
（2）解：连接OA、OC，过点O作ON⊥AC于点N，
∴ON＝AN＝4，
∵AB⊥CD于点M，AM＝DM，
∴∠D＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴OA＝＝＝4．
即⊙O的半径为4．
20．（1）证明：∵C是 中点，
∴＝，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
，
∴△BFG≌△CDG（AAS），
∴BF＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝BD；
（2）解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣102，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即OE2＝r2﹣152，
∵＝＝，
∴＝，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2＝900，
∴（2r）2﹣102＝900，
∴r＝5或r＝﹣5（舍去），
∴OE2＝（5）2﹣152，
∴OE＝5或OE＝﹣5（舍去），
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣5．
21．（1）证明：如图1中，作直径AF，连接DF，过点O作OG⊥AD于G．
∵AF是直径，
∴∠ADF＝90°，
∴∠DAF+∠F＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CAB+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝∠F，
∴∠FAD＝∠CAB，
∴＝，
∴BC＝DF，
∵OG⊥AD，
∴AG＝DG，
∵AO＝OF，
∴DF＝2OG＝2a，
∴BC＝2a．
（2）解：如图2中，连接OB交AC于点Q．
∵＝，
∴OB⊥AC，
∴AQ＝CQ，
∵AO＝OD，
∴OQ＝CD＝，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝＝＝24，
∴OB＝AD＝，
∴BQ＝OB﹣OQ＝9，
∴S四边形ABCD＝S△ACD+S△ABC＝×AC×CD+×AC×BQ＝×7×24+×24×9＝192．