泉州城东中学、南安华侨中学、石狮第八中学、福建泉州外国语学校
2023~2024学年度上学期期中考 试卷
高二年数学答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3．考生须保持答题卡卡面清洁，并在考试结束后将答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线l：的倾斜角θ为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜率的定义即可求得倾斜角.
【详解】的倾斜角θ满足，故.
故选：D.
2. 已知直线：与：平行，则的值是（）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 或2
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可得，解得的值，再检验即可.
【详解】因为直线：与：平行，
所以，解得或，
当时直线：与：平行，
当时直线：与：平行，
所以或.
故选：
3. 直线被圆所截得的弦长为（）
A. B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解.
【详解】由题意知，圆心，圆C的半径为3，
故C到的距离为，
故所求弦长为．
故选：C
4. 若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率（）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意构建齐次式即可得到结果.
【详解】由题意知，又，
∴
∴，即或（舍），
故选:B．
5. 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】取的中点，则，
以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点到直线的距离．
故选：B.
6. 两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则的最大值为()
A. 5 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【详解】圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4=0的标准方程为（x+a）2+y2=4；圆C2：x2+y2﹣2bx﹣1+b2=0的标准方程为x2+（y﹣b）2=1∵两圆外切，∴ =3,∵a2+b2≥2ab,∴ab ,
故选B．
7. 已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（）
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.
【详解】连接，由切圆于知，，
因为直线与平行，则，，而圆半径为，
于是，由四边形面积，得，
所以.
故选：C
8. 已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.
【详解】如图，直线与直线相交于点N，
由于PM是的平分线，且，即PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，
所以，点M为中点，
因为O为的中点，
所以OM是三角形的中位线，
所以，
其中，
因为P与的四个顶点不重合，设，则，
则，
所以，又，
所以，
∴的取值范围是.
故选：D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确是（）
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
D. 两个不同的平面的法向量分别是，则
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A由不重合两直线方向向量平行可判断；对于B要考虑直线可能在面内；对于C，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直；对于D，由两法向量垂直可得两平面垂直.
【详解】对于A，两条不重合直线的方向向量分别是：
，
则，所以，即，故A正确；
对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，
所以，即或，故B错误；
对于C，直线的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故C错误；
对于D，两个不同的平面的法向量分别是，
则，
所以，故D正确．
故选：AD.
10. 下列结论正确的是（）
A. 若直线与直线平行，则它们的距离为
B. 点关于直线的对称点的坐标为
C. 原点到直线的距离的最大值为
D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为
【答案】BC
【解析】
【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果判断A；利用对称知识求出对称点判断选项B；求出直线系经过的定点，利用两点间距离公式求解最大值即可判断C；求解三角形的面积判断D．
【详解】对于A ，直线与直线平行，
显然，所以，且，解得，
故两条平行直线即为直线与直线，
则它们之间的距离为，所以A不正确；
对于B，假设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，，
即点关于直线的对称点的坐标为，故B正确；
对于C，由，得，由，得，
故直线过定点，
所以原点到直线的距离的最大值为，故C正确；
对于D，令，得，令，得，
所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D不正确.
故选：BC．
11. 已知直线经过椭圆C：（）的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有（）
A. 椭圆C的短轴长为
B. 弦的最大值为4
C. 存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点（1，0）
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】由于直线x＝my－1经过定点，则由题意得，再由离心率为可求出，从而可求出，则可求出椭圆方程，然后结合椭圆的性质逐个分析判断即可
【详解】依题意可知，直线x＝my－1经过定点，所以．又椭圆C的离心率为，所以a＝2，则，所以椭圆C的短轴长为，所以A选项不正确；
直线的斜率不为0，当直线的斜率越接近0时，弦长越大，并且接近长轴长4，但无法取到长度4，所以B选项不正确；
椭圆C的长轴长为2a＝4，所以，当最短时，此时点在以AB为直径的圆外，
当趋近于4时，点在以AB为直径的圆内，因此，存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点，所以C选项正确；
由，得，设，，则，
联立整理得，
恒成立，则，．
因为，所以解得，所以D选项正确．
故选：CD．
12. 已知点，，动点P在：上，则（）
A. 直线MN与相离
B. 线段PN的中点轨迹是一个圆
C. 的面积最大值为
D. P在运动过程中，能且只能得到4个不同的
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出直线的方程，利用圆的圆心到直线的距离判断A的正误；
求线段的中点轨迹判断B的正误；
利用圆的圆心到直线的距离，转化求解三角形的面积的最大值判断C；
判断为直径的圆与已知圆的位置关系，结合直角三角形的定义，判断D的正误.
【详解】对于A：因为，，所以，
所以直线的方程，即，
由，得，
所以圆心，半径为3，
所以圆心到直线距离为，
所以直线与圆相离，故A正确；
对于B：设线段的中点为，则，
因为点在圆上，
所以，即表示一个圆，
所以线段的中点轨迹是一个圆，故B正确；
对于C：因为圆心到直线的距离为，，
所以的面积最大值为，故C错误；
对于D，①设与直线垂直且过点的直线为，
则，得，即直线为，
因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆有两个交点，
所以以为直角顶点的直角三角形有2个；
②设与直线垂直且过点直线为，
则，得，即直线为，
因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，无公共点，
所以以为直角顶点的直角三角形不存在；
③以为直径的圆为，设圆心为，则，半径为，
所以，
因为，
所以以为直径的圆与圆相交，
所以以为直角顶点的直角三角形有2个；
综上，在运动过程中，能且只能得到4个不同的，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.
13. 已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先将椭圆方程化为标准式，即可得到、，根据焦距求出.
【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以，
所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得．
故答案为：
14. 已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件即可求出x的取值范围.
【详解】因为与的夹角为钝角，
所以且与不共线，
因，，
所以，且，
解得，且，
所以的取值范围是.
故答案为：.
15. 已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简直线为，得出直线过定点， 根据点的长度，进而求得点到直线的距离的取值范围.
【详解】把直线化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由，且，所以直线与不垂直，
所以点到直线的距离的最大值为，
即点到直线的距离的取值范围为
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及两点间的距离公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
16. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则______，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解．
【详解】由题，，所以．
如图，
连接，设内切圆半径为，
则，即，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，熟悉离心率公式即可，第二问的关键是利用数形结合，由结合椭圆定义、三角形的面积公式即可顺利求解.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，.
（1）求对角线的长度.
（2）计算与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）表达出，即可求出对角线的长度；
（2）设出与夹角，写出与夹角的余弦表达式，即可求出夹角的余弦值.
【小问1详解】
由题意及图得，,
,
所以, 即.
【小问2详解】
由题意及图得，
设与夹角为，
.
18. 已知圆的圆心在轴上，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；
（2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.
【详解】解：（1）设的中点为，则，
由圆的性质得，
所以，得，
所以线段的垂直平分线方程是，
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为；
（2）由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，
即；
综上直线的方程为或.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.
19. 在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角正弦值的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AC得中点O，得，，可知平面，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN与平面的法向量，根据向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
取AC得中点O，连接SO，OB，
，，，，
又SO，BO交于点O，平面，平面，
于是可知平面，
又平面，；
【小问2详解】
∵平面平面，平面平面，平面，，
∴平面，
以OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系,
那么，
∴，
设为平面CMN的一个法向量，
那么，取，那么，
∴，
又为平面的一个法向量，
，，
即二面角的正弦值为.
20. 已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求点的坐标.
(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1)或；(2)过定点，定点和.
【解析】
【分析】(1)由切线的性质可得，列方程求P的坐标；(2)由条件求出圆N的方程，根据恒等式的性质确定圆所过定点.
【详解】(1)由题可知圆圆心为，半径.
设，因为是圆的一条切线，所以.
在中，，故.
又，
所以，解得或.
所以点的坐标为或.
(2)因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆，且的中点坐标为，所以圆的方程为，
即.
由，解得或，
所以圆过定点和.
21. 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于，两点，求为坐标原点）面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）运用离心率公式和，，的关系，以及两点的距离公式，解方程可得椭圆方程；
（2）设，，，，将代入椭圆，可得的方程，运用韦达定理和判别式大于0，求得三角形的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值．
【详解】解：（1）由已知得，又由，
可得，，
得椭圆方程为，
因为点在第一象限且轴，
可得的坐标为，
由，解得，
所以椭圆方程为；
（2）设，，，，
将代入椭圆，可得，
由，即，可得，①
则有
所以，
因为直线与轴交点的坐标为，
所以的面积，
令，由①知，
可得，
所以时，面积最大为．
22. 已知圆：，为圆上一动点，，线段的垂直平分线交于点G.
（1）求动点G的轨迹C的方程；
（2）已知，轨迹C上关于原点对称的两点M，N，射线AM，AN分别与圆交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为，.
①求AM与AN的斜率的乘积；
②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）.
（2）①. ②为定值.
【解析】
【分析】（1）根据已知条件知点G的轨迹符合椭圆定义，运用椭圆定义求解即可.
（2）①设出M、N坐标，运用点M、N在椭圆上进行等量代换及斜率公式计算即可；
②设出直线AM与直线AN的方程，联立直线AM方程与椭圆方程可得、，进而求得，联立直线AM方程与圆方程可得、，同理可得、，进而求得，代入计算可得结果.
【小问1详解】
由题意知，，，因为，所以点在圆内，
如图所示，
由题意知，，所以，
所以动点G的轨迹为：以、为焦点且长轴长为4的椭圆.
即：，，所以，，
所以动点G的轨迹C的方程为.
【小问2详解】
①由题意知，直线AM与直线AN的斜率存在且不为0，
设，，，则，
∵M、N在椭圆上，∴，即，
∴,
即：直线AM与直线AN的斜率的乘积为.
②设直线AM方程为，
由①知，，所以，则直线AN方程为，
联立，
因为A、M在轨迹C上，所以，即：，所以，
所以，
联立，
因为A、P在圆上，所以，即：，所以，
同理：，，
所以，
所以，即为定值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值．
(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．
(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
1泉州城东中学、南安华侨中学、石狮第八中学、福建泉州外国语学校
2023~2024学年度上学期期中考试卷
高二年数学学科
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3．考生须保持答题卡卡面清洁，并在考试结束后将答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线l：的倾斜角θ为（）
A. B. C. D.
2. 已知直线：与：平行，则的值是（）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 或2
3. 直线被圆所截得的弦长为（）
A. B. 4 C. D.
4. 若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率（）．
A. B.
C. D.
5. 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
6. 两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则的最大值为()
A. 5 B. C. 4 D.
7. 已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（）
A. B. C. D. 4
8. 已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（）
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则
B. 直线方向向量，平面的法向量是，则
C. 直线方向向量，平面的法向量是，则
D. 两个不同的平面的法向量分别是，则
10. 下列结论正确的是（）
A. 若直线与直线平行，则它们距离为
B. 点关于直线的对称点的坐标为
C. 原点到直线的距离的最大值为
D. 直线与坐标轴围成的三角形的面积为
11. 已知直线经过椭圆C：（）的一个焦点F，且与C交于不同的两点A，B，椭圆C的离心率为，则下列结论正确的有（）
A. 椭圆C的短轴长为
B. 弦的最大值为4
C. 存在实数m，使得以AB为直径的圆恰好过点（1，0）
D. 若，则
12. 已知点，，动点P在：上，则（）
A. 直线MN与相离
B. 线段PN的中点轨迹是一个圆
C. 的面积最大值为
D. P在运动过程中，能且只能得到4个不同的
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.
13. 已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为________．
14. 已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是______.
15. 已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为__________.
16. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆E：（）是“黄金椭圆”，则______，若“黄金椭圆”C：（）两个焦点分别为、，，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则______．
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，.
（1）求对角线的长度.
（2）计算与夹角余弦值.
18. 已知圆的圆心在轴上，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
19. 在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面平面，，、分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角正弦值的大小.
20. 已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为.
(1)当切线的长度为时，求点的坐标.
(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
21. 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且满足轴，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交椭圆于，两点，求为坐标原点）面积的最大值．
22. 已知圆：，为圆上一动点，，线段的垂直平分线交于点G.
（1）求动点G的轨迹C的方程；
（2）已知，轨迹C上关于原点对称的两点M，N，射线AM，AN分别与圆交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为，.
①求AM与AN的斜率的乘积；
②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.
1
